【高中数学】23个典型的数列专题解析

23个典型的数列专题23个典型的数列专题(修正版)23个典型的数列专题(修正版)数列的重要公式：1、等差数列通项：a=a,+(n-1)d2、等差数列求和：3、等比数列通项：a=a₁q"⁻¹4、等比数列求和：5、求和与通项的关系：a+1=Sₙ+,-S 、等差数列{an}中，前三项依次为,求：a105=? 例2、前100个自然数(1到100)中，除以7余2的所有数之和S=? 例3、在等差数列{an}中，前n项和为Sn若a₁>0,S1₆>0,S₁₇<0,则S,最大时， 、数列{an}的通项公式,若它的前n项和Sn=9,求：n=?、等差数列{an},其公差d≠0,其中，a₂、a₃、a₆依次构成等比数列，求公比q=?是等比数列，并求其前n项和Tn.若x≠y,且两个数列：x,aj,a₂,y和x均为等差数列，求： 例8、已知正项数列{an}的前n项和S,满足：10Sn=a,²+5an+6,且a₁、a₃、a₁s成等比数列，求数列{an}的通项an=? 例9、已知数列{an}的前n项和,试求数列的前n项和Tn=? 例10、已知数列{a}的前n项和为Sn,其首项a₁=1,且满足3Sn=(n+2)an,求通项 例11、如果数列{an}中，相邻两项an和an+1是二次方程xn²+3nxn+Cn=0(n=1,2,3,….) 例12、有两个无穷的等比数列{an}和{bₙ},其公比的绝对值都小于1,其各项和分别是和,对一切自然数都有：a,²=b₂,求这两个数列的首和项和公比. 例13、已知数列{an}的前n项和为Sₙ,当n≥2时，满足：a+2S,S=0; 求证：数列为等差数列；并求{Sn}的通项公式Sn=?例14、已知等比数列{an}的首项且满足：2¹⁰S₃-(2¹⁰+1)S₂₀+S₁₀=0.(1)求{an}的通项；(2)求{nsn}的前n项和Tn. 例15、若等差数列{log₂xn}的第m项等于k,第k项等于m(其中m≠k),求数列的前m+k项的和. 例16、如果数列{an}中，,求通项an=? 例17、设数列{a,a₁=4,且当n≥2时满足：a=3a1+2n-1,求通项a=?例18、设数列{an},a₁=1,a₂=2,且满足：a₄+2=3a+1-2an,(例19、已知正项数列{an},a=1,且满足：求通项an=?例20、已知数列{an}中，a₁=2,且满足：(n∈N),求通项an=? 例21、已知数列{an}中，a₁=3,且满足：,求通项a=? 23个典型的数列专题例23、已知数列{a}中，a₁=4,且满足：且满足：23个典型的数列专题(修正版)解答 例1、等差数列{an}中，前三项依次为,求：a105=? 则数列通项为： 求等差数列通项公式就可以通解 解析：由题意，这是一个首项为a,=2,公差为d=7的等差数列.故，这些数构成的数列为：aₙ=2+7(n-1)=7n-5;在100之内，设n的最大数m,则：100=7m-5,即：m=15;这些数之和S为： 余数是常数的问题要转化为等差数列问题 23个典型的数列专题解析：等差数列通项为：an=a₁+(n-1)d其求和公式为：将⑤代入②得：⑥故由④⑥知，S,求和累加时，加到ag时S,在增加；加到a,时S开始减小，则最通项公式和求和公式都要很熟啊 23个典型的数列专题本法相当于裂项法 例5、等差数列{a},其公差d≠0,其中，a2、a3、a₆依次构成等比数列，求公比q=?解析：由等差数列通项：a=a,+(n-1)d,得：a₃=a₂+d,a₆=a₂+4d,因为a2、43、a6依次构成等比数列，a3是比例中项所以公比q:: 由比例中项直接列式，导出d与a₂的关系. 例6、已知等差数列{an}的前n项和S,且a₁=1,S=33.设求证：{是等比数列，并求其前n项和T.证明：等差数列通项：a=a,+(n-1)d,求和公式：于是，将a₁=1,带入通项公式得：当n=1时，数列首项故{bn}是首项为,公比为的等比数列，23个典型的数列专题证毕.证毕.其求和公式：例不若x≠y,且两个数列：x,aj,a₂,J和.x,b₁,b₂,b₃,y均为等差数列，求：解析：设两个等差数列的公差分别为：d₁和d₂, 利用等差数列的等差性质来求本题 例8、已知正项数列{a}的前n项和S满足：10S,=an²+5an+6,且a₁、a3、a15成等比数列，求数列{an}的通项an=? 由②-①:10an+,=(a²+,-a²)+5(a+1-an)由于正项数列(a++an)>0,所以：a+1-a-5=0,即：a+1-a=5由此得到{an}是公差为d=5的等差数列设：等差数列an=a,+5(n-1),则：a₃=a₁+10,a₁s=a₁+70由a₁、13、a15成等比数列得：a²=a,a15,即：(a₁+10)²=a,(a,+70)23个典型的数列专题本题由等式条件得出公差是d=5,由等比条件确定首项 得到上面求和公式可分成两部分，一个a=n²求和，一个aₙ=n求和所以：要熟悉一些基本的求和公式，还有裂项求和方法 23个典型的数列专题由此递推得： 得到③式是关键! 例11、如果数列{an}中，相邻两项an和an+1是二次方程x,²+3nxn+cn=0(n=1,2,3...)又因a₁=2,代入①式可得：a₁+a₂=-3,于是得到等差数列为：a₂k-1=a₁+(k-1)(-3)=2-a₂k=a₂+(k-1)(-3)=-5-3那么由⑥得：a100=-2-3×50=-152都是公差为-3的等差数列⑤⑥本题由韦达定理得出{a}为等差数列，算出首项得到a,再计算出c. 例12、有两个无穷的等比数列{an}和{bn},其公比的绝对值都小于1,其各项和分别是和,对一切自然数都有：an²=bn,求这两个数列的首项和23个典型的数列专题公比.解析：由和得数列的首项：设这两个等比数列的通项公式分别为：a=a₁q”⁻¹=(1-4)q”⁻①将①②两式代入a²=b,并采用赋值法，分别令n=1和n=2得：a²=b₁,即：(1-q²=2(1-r)③a²=b₂,即：(1-4²q²=2(1-r)r④由③④得：r=q²⑤将⑤式代入③式得：(1-4)²=2(1-q²)将⑥代入⑤式得：⑦将⑥和⑦分别代入①式和②式得：故本题答案：23个典型的数列专题本题采用赋值法求解 例13、已知数列{an)的前n项和为S,,当n≥2时，满足：an+2SSn-1=0; 求证：数列为等差数列；并求{Sn}的通项公式Sn=? 解析：将a=Sₙ-S;代入aₙ+2S„S₋,=0得：S-S-+2SS₋;=0由①②式表明：是一个首项为公差为的等差数列.于是： 注意求和化通项的方法，即：a=S,-S-1. 例14、已知等比数列{an}的首项且满足：2S₃0-(2¹0+1)S₂0+S0=0.(1)求{an}的通项；(2)求{nSn}的前n项和Tn.①由于{{an}为等比数列所以其前n项的求和为：①23个典型的数列专题代入2¹⁰S₃0-(2¹⁰+1)S₂+S₁₀=0得：即：20(1-q°)-(2¹⁰+1)(1-q²°)+(1-q"°)=0除以(1-q°)得：2¹⁰(1+q¹⁰+q²°)-(2⁰+1)(1+q°)+1=0即：20(1+q”)+2"q²⁰-2¹(1+q¹°)-(1+q¹°)+1=0注意求和化通项的方法.第14题第(2)问解答：(2)求{nS}的前n项和T,A.对于等比数列：,其求和公式为：由④-③得：综合1>和2>得：B.对于等比数列：其求和公式为：③由③+④得：23个典型的数列专题于是：例15、若等差数列{log₂xn}的第m项等于k,第k项等于m(其中m≠k),求数列的前m+k项的和.解析：等差数列通项为：log₂x,=log₂x,+(n-1)d; 由①-②得：k-m=(m-k)d,故公差：d=-1③将③代入①得：k=log₂x,-(m-1) 公比为等比数列 求公差③式和求首项⑦是求通项的关键.23个典型的数列专题解析：整式递推数列用待定系数法.比较得：λ=-3于是由①得：⑤ 其通项为：⑥ 待定系数法确定新构建的等比数列b通项 例17.设数列{an},a₁=4,且当n≥2时满足：an=3an-1+2n-1,求通项an=?解析整式递推数列用待定系数法令：an+λn+c=3a₋,+2(n-1)+c]①与已知aₙ=3aₙ₋1+2n-1比较得：2λ=2,-3λ+2c=-123个典型的数列专题②b₁=a₁+1+1=6④将②③代入①得：b₀=3bₙ₋1,故由④⑤得：{b}是首项为b₁=6,公比为q=3的等比数列.于是由②得：a,=b,-n-1=2·3”-n-1待定系数法是如何构造等比数列{b}的? 例18、设数列{an},a₁=1,a₂=2,且满足：am+2=3an+-2an,(neN*),求通项an=? 解析：本题是二阶递推数列，且看如何解：待定系数法：令：an+2-Aa₄+1=x(am+1-λa)①与已知an+2=3a+1-2a比较系数得：若将x、λ看成是一元二次方程的两个根，则又韦达定理得到这个方程为：x²-3x+2=0,而这正是采用特征根法的特征方程上述方程的解为：x=1,λ=2,或x=2,λ=1,这两组解推出的数列通项的结果是一样的.取x=2,λ=1②令：bₙ=am+1-a,则b₁=a₂-a,=1,b₄+1=a+2-a+1④将③④代入①得：⑤则{b.}是首项为b,=1,公比为x=2的等比数列23个典型的数列专题再用待定系数法，令：+1+r·2”⁺¹=p(an+r·2”)⑦与⑥式比较得：p=1,2pr-4r=1,即：则：Cn+=am++r·2"+¹,代入⑦式得：Cn+2=pen⑨由于p=1,于是由⑨式得：cm+=c,=代入⑧式得：an-2”⁻¹=c=0,故：a,=这就是采用二次待定系数法解得的数列的通项. 另解：用特征根法求解：前面由an+2=3an+1-2an得an+2-3an+1+2an=0即特征方程：x²-3x+2=0,其两个根为：x,=1,x₂=2代入特征根法的二异根解得：a=c,x"+c₂"=c₁+c₂·2”用a₁=1,a₂=2代入上式，以确定ci、C₂这就是采用特征根法解得的数列的通项.对于二阶递推数列，采用特征根法比较简洁例19、已知正项数列a₁=1,且满足：求通项an=?23个典型的数列专题① 这是递推数列的递推法 例20、已知数列{an}中，a₁=2,且满足：(n∈N°),求通项an=? 解析：将化简为：4a,a++6a+-2a,+1=0即：① 不动点法的不动点方程： 23个典型的数列专题即：4x²+4x+1=0,方程的根为二重根：结合不动点法解方程，我们采用待定系数法设：②通分化简得：c(a,-x₂)(a+,-x,)=(a,-x₂)-(am+-x,)即：③对比③①得：④代入④得：故：c=±1⑥代入②式得：⑦23个典型的数列专题化简⑦式可得：,故⑦式与①式等价.y取c=-1,则：化简⑧式得：故⑧式与①式等价. 由此可见，⑦⑧两式是等价的.代入⑦式得：b+-bₙ=1 由和b+,-bₙ=1可得：{b}是首项为,公差为1的等差数列. 故：则：另解：采用不动点法将化简为：4aa+,+6a,-2a„+1=0①不动点法的不动点方程：即：4x²+4x+1=0,方程的根为二重根：那么,二重根的不动点解为：23个典型的数列专题(c为待定常数)②通分化简得：(a„-x₂)-(a₁+-x,)=c(a-x₂)(a+-x,)即：4ca,a+;+(2c+4)a₄++(2c-4)aₙ+c=0将③式与①式对比得：c=1.代入②式得：b+-b₀=1即：{b.}是一个首项为公差为1的等差数列.不动点法根为二重根时，可构造等差数列解之 用不动点法解不动点方程：即：x²-3x+2=0,方程的根为二异根：x,=1,x₂=2;结合不动点法解方程，我们采用待定系数法23个典型的数列专题即：(λ-1)aa+1+(x₂-λx,)an+1-(λx₂-x₁)a+(λ-1)x,x₂=0比较