专题08 线段上动点问题的三种考法（原卷版）（人教版）

专题08线段上动点问题的三种考法

类型一、求值问题

例.数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，nmn，点C在B的右侧，ACAB2．

(1)如图1，若多项式n1x32x7m3x1是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：

(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段EF（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，

B重合），点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF滑动过程中，线段MN的长度是否发生变化，请判断

并说明理由；

(3)若点D是AC的中点．

①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；

②若AD2BD4，试求线段AB的长．

【变式训练1】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB，AC和BC，若其中有一条线段的长度是

另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．

（1）线段的中点__这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）；

（2）如图2，已知AB＝15cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动；点Q从点B出

发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移

动的时间为t（s），当t＝__s时，Q为A，P的“巧点”．

【变式训练2】已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s

的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）

(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．

(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．

2MN

(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．

3AB

【变式训练3】如图，数轴上有两点A,B，点C从原点O出发，以每秒1cm的速度在线段OA上运动，点

D从点B出发，以每秒4cm的速度在线段OB上运动．在运动过程中满足OD4AC，若点M为直线OA

AB

上一点，且AMBMOM，则的值为_______．

OM

类型二、证明定值问题

例.如图，已知线段ABm，CDn，线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左

2

侧），若m126n0．

（1）求线段AB，CD的长；

（2）若点M，N分别为线段AC，BD的中点，BC4，求线段MN的长；

（3）当CD运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段AB的延长线上任意一点，下列两个结论：

PAPBPAPB

①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．

PCPC

【变式训练1】已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且

m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.

（1）m＝，n＝；

（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．

①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；

②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是

线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若

是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

【变式训练2】如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，

B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．

（1）若点P表示的有理数是0，那么MN的长为________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为________；

（2）点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求

MN的长的过程；若改变，请说明理由．

【变式训练3】(1)如图1，在直线AB上，点P在A、B两点之间，点M为线段PB的中点，点N为线段AP

的中点，若ABn，且使关于x的方程n4x6n无解.

①求线段AB的长；

②线段MN的长与点P在线段AB上的位置有关吗？请说明理由；

PAPB

(2)如图2，点C为线段AB的中点，点P在线段CB的延长线上，试说明的值不变.

PC

类型三、数量关系

例.数轴上A、B两点对应的数分别是4,12，线段CE在数轴上运动，点C在点E的左边，且CE8,点F是

AE的中点．

（1）如图1，当线段CE运动到点C,E均在A,B之间时，若CF1，则AB_________，点C对应的数

为________，BE________；

（2）如图2，当线段CE运动到点A在C、E之间时，画出草图并求BE与CF的数量关系．

4

【变式训练1】如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．

3

AC

（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝_______；

AB

（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运

动．

AD

①当点D在线段AB上运动，求的值；

CE

②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的

三等分点时，求MN的长．

【变式训练2】已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，

（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，

①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；

②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；

ADEC3CD

（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝．

BE2AB

课后作业

1.已知有理数a，b，c在数轴上对应的点从左到右顺次为A，B，C，其中b是最小的正整数，a在最大的负

整数左侧1个单位长度，BC=2AB．

（1）填空：a=，b=，c=

（2）点D从点A开始，点E从点B开始，点F从点C开始，分别以每秒1个单位长度、1个单位长度、4

个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，点F追上点D时停止动，设运动时间为t秒．试问：

①当三点开始运动以后，t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的中点？

②F在追上E点前，是否存在常数k，使得DFkEF的值与它们的运动时间无关，为定值．若存在，请

求出k和这个定值；若不存在，请说明理由．

2．已知点C在线段AB上，AC2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB18，DE8，

线段DE在线段AB上移动．

(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；

(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF3AD，CEEF3，求AD的长．

3.已知线段AB，点C在直线AB上，D为线段BC的中点．

(1)若AB8，AC2，求线段CD的长．

(2)若点E是线段AC的中点，请写出线段DE和AB的数量关系并说明理由．

4.已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线

BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）

(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．

(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．

2MN

(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．

3AB

5．如图，在数轴上A点表示的数为a，B点表示的数为b，C点表示的数为c，b是最大的负整数，且a，c

2

满足a3c90．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回到点C，

到达点C后再返回到点A并停止．

（1）a________，b________，c________．

（2）点P从点B离开后，在点P第二次到达点B的过程中，经过x秒钟，PAPBPC13，求x的值．

（3）点P从点B出发的同时，数轴上的动点M，N分别从点A和点C同时出发，相向而行，速度分别为每

秒4个单位长度和每秒5个单位长度，假设t秒钟时，P、M、N三点中恰好有一个点是另外两个点的中

点，请直接写出所有满足条件的t的值．

6．七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.

（1）发现：

如图1，线段AB12，点C,E,F在线段AB上，当点E,F是线段AC和线段BC的中点时，线段EF的长为

_________；若点C在线段AB的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的

线段EF与线段AB之间的数量关系为_________.

（2）应用：

如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳AB，其左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳

不再符合比赛要求.已知磨损的麻绳总长度不足20米.小明认为只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪

断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF.小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线

段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳EF，请你尝试着“复原”他们的做法：

①在图中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；

②请说明①题中所标示E,F点的理由.

7．问题背景

整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、

有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．

(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数

为（直接写出答案）．

(2)当x＝1时，代数式ax3+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式ax3+bx+2021的值．

(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀

AC

速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值；

AB

②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、

AD

Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值．

AB

8．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的

速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）

（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝，DM＝；（直接填空）

（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．

（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝（填空）

MN

（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．

AB

9．如图，数轴正半轴上的A，B两点分别表示有理数a，b，O为原点，若a3，线段OB5OA.

（1）a______，b______；

（2）若点P从点A出发，以每秒2个单位长度向x轴正半轴运动，求运动时间为多少时；点P到点A的距

离是点P到点B距离的3倍；

（3）数轴上还有一点C表示的数为32，若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒2个单位长度和

每秒1个单位长度的速度向C点运动，P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A，求点P

和点Q运动多少秒时，P、Q两点之间的距离为4.

10．已知数轴上三点M，O，N对应的数分别为－3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．

(1)如果点P到点M，点N的距离相等，那么x的值是______；

(2)数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，请直接写出x的值；若不存在，

请说明理由．

(3)如果点P以每分