专题05 整式中的两种规律探索问题（解析版）（人教版）

专题05整式中的两种规律探索问题

类型一、数字类规律探索

例.观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当

（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2019﹣1的值为_____．

【答案】0或﹣2

【详解】解：根据题意得∶（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，

（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，

（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，

……

∴（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1

∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，

∴x6﹣1＝0，

解得：x＝1或x＝﹣1，

则x2019﹣1＝0或﹣2，

故答案为：0或﹣2．

11

【变式训练1】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为-1，－1的差倒

1-a1-2

11

数为，已知a5，a是a差倒数，a是a差倒数，a是a差倒数，以此类推……，a的值

1(1)212132432021

是（）

144

A．5B．C．D．

435

【答案】B

11

【解析】∵a5，a是a的差倒数，∴a，

1212154

141

aa5

∵a是a的差倒数，a是a的差倒数，∴315，∴44，

32431-1

45

141

根据规律可得a以5，-，为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以a．

n4520214

故选B．

【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一

个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2021个数的和是______．

【答案】01

【解析】由题意得：第3个数是101，

第4个数是110，第5个数是011，第6个数是101，

则前6个数的和是0110110，

第7个数是1(1)0，第8个数是0(1)1，

归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1循环往复的，

202163365，且前6个数的和是0，

这2021个数的和与前5个数的和相等，即为011011，

故答案为：0，1．

11315

【变式训练3】有一列数,,,,，…，那么第n个数为______．

228432

nn

【答案】1

2n

111222333

【详解】解：1，1，1，

222422823

1444555

1，1，……

416243225

nn

由此发现：第n个数为1．

2n

nn

故答案为：1

2n

【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉

7

三角：按照前面的规律，则ab的展开式中从左起第三项为______．

1

abab

2

aba22abb2

3

aba33a2b3ab2b3

4

aba44a3b6a2b24ab3b4

【答案】21a5b2

【详解】解：根据题意，

7

ab=a77a6b21a5b235a4b335a3b421a2b57ab6b7，

7

∴ab的展开式中从左起第三项为21a5b2，

故答案为：21a5b2．

类型二、图形类规律探索

例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，

n条直线相交最多有______个交点．

n(n1)

【答案】6

2

221

【详解】解：如图，两条直线相交最多有1个交点，即1；

2

331441

三条直线相交最多有3个交点，即3；四条直线相交最多有6个交点，即6，

22

551

五条直线相交最多有10个交点，即10，……

2

n(n1)

∴n条直线两两相交，最多有个交点（n为正整数，且n≥2）．

2

n(n1)

故答案为6；．

2

【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有

45个小球．

【答案】9

【详解】解：第1个图中有1个小球，

第2个图中有3个小球，3=1+2，

第3个图中有6个小球，6=1+2+3，

第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……

1

照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=n（1+n）个小球，

2

1

∴n（1+n）=45，

2

解得n=9或-10（舍去），

故答案为：9．

【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：

按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．

【答案】10

【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，

∵摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，

∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．

故答案为：10．

【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正

方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角

形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．

【答案】11412n6

【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，

第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，

依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，

则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=12n6个，

故答案为：114，12n6．

【变式训练4】观察下列图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．

【答案】2021

【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，

第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，

第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，

第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯

第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，

60641

∵2021，

3

∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，

故答案为：2021．

课后训练

1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5

张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色

正方形纸片，则n的值为（）

A．99B．100C．101D．102

【答案】B

【详解】

解：观察图形知：

第一个图中有3=1+2×1个正方形，

第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，

第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，

…

故第n个图中有1＋2×n＝2n+1=201（个）正方形，

解得n=100

故选B．

2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放

的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第

（）颗棋子．

A．85B．86C．87D．88

【答案】B【详解】偶数列数与排数表：

偶数列数排数

22

43

64

85

……

n

n1

2

n

∴当n=16时，排数为：19，

2

910

∴前16列共有棋子：2123…+9-3=2-3=87（颗），

2

∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．

故选B．

3．将一正方形按如图方式分成n个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n的

值为（）

A．12B．16C．18D．20

【答案】C

【详解】解：设长方形的长为a，宽为b，

根据题意得，2a+2b=3a，整理得，a=2b，

∴竖排的一行的长方形的个数为3a÷b=（3×2b）÷b=6，

∴n=3×2+6×2=6+12=18．

故选：C．

4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空

格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）

是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）

A．9B．10C．11D．12

【答案】D

【详解】

解：设如图表所示：

根据题意可得：x+6+20=22+z+y，

整理得：x-y=-4+z，

x+22+n=20+z+n，20+y+m=x+z+m，整理得：x=-2+z，y=2z-22，

∴x-y=-2+z-(2z-22)=-4+z，解得：z=12，

∴x+y=3z-24=12

故选：D．

5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．

【答案】16674

【详解】每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10,……，

第n行的最后一个数字为：1+3(n1)3n2，

第6行最后一个数字为：36216；3n22020，解得：n674，

故答案为：16,674．

6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中m11，n12，则M的值

为________．

【答案】143

【详解】解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，

∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∴M=m（n+1），

∴M=11×(12+1)=143．

故答案为：143．

7．为了求122222021的值，可令S122222021，则2S22222022，因此

2SS220221，所以122222021220221．按照以上推理计算出1313232021的值是______．

2021

【答案】33

2

【详解】解：令S1313232021，

1

则S31323202132022，

3

2021

120222202233

因此SS31，则S31，得：S，

332

332021

所以1313232021．

2

2021

故答案为：33．

2

8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴

按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n（n为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．

【答案】（6n+2）

【详解】

解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人．

拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人．

拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人．

…

拼接n（n为正整数）张桌子，可以坐（6n+2）人．

故答案是：（6n+2）．

9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其

中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147，

172316247，不难发现，结果都是7．

2012年8月

日一二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；

（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？

（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．

【答案】（1）111710187，符合；（2）392107；（3）见解析

【详解】解：（1）由题意得：

111710187，符合；

（2）392107；

答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；

（3）设上边第一个数为x，则其后的数为（x+1），第二行的两个数分别为（x+7），（x+8），

根据题意，得(x1)(x7)x(x8)x28x7x28x7．

10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？

（2）完成下表：

边上的小圆圈数12345

每个图中小圆圈的总数

（3）如果用n表示六边形边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n的关系是什么？

【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图

形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）m3n23n1

【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，

第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，

第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，

第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，

由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；

（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，

边上的小圆圈数12345

每个图中小圆圈的总数17193761

（3）结合（1）（2）可知，m与n之间的函数关系为：

mnn1...nn2nn1nn2...n1n

n13n2

首尾相加得m2nn1...(nn2)nn122n13n23n1

2

m3n23n1．

11．对任意一个四位正整数m，如果m的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m的千位数字等于十位

数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m为“筋斗数”．例如：m＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，

所以5321是“筋斗数”．例如：m＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．

(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；

(2)若m是“筋斗数”，且m与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m．

【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”；理由见解析

(2)m的值为9909或2110或6422

【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：

∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗数”；

∵6=4+2，28+2，∴2642不是“筋斗数”；

(2)设m的个位数为a，0≤a≤9，十位数为0＜b≤9，且a、b为整数

∵m是“筋斗数”，

∴m的百位数为a+b，千位数为2b+a；

∴m=1000（2b+a）+100（a+b）+10b+a=1100a+110b+2000b+a

∵m与13的和能被11整除，

∴1100a+110b+2000b+a+13能被11整除，

∵2b+a≤9且a、b为整数，∴b≤4.5

∵1100a+110b能被11整除，

∴2000b+a+13能被11整除，

∴b=0，a=9或b=1，a=0或b=2，a=2或b=3，a=4，或b=4，a=6，

∴a+b=9，2b+a=9或a+b=1，2b+a=2或a+b=4，2b+a=6或a+b=7，2b+a=10（舍去）或a+b=10，2b+a=14（舍

去），∴m的值为9909或2110或6422

11

12．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形

22

111

等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成面积为的长方形，如此进行下去……

448

111111111

(1)试利用图形揭示的规律计算：＝_______．

2481632641282562n

并使用代数方法证明你的结论．

11111

(2)请给利用图（2），再设计一个能求：的值的几何图形．

22223242n

1

1

【答案】(1)2n，证明见解析；(2)见解析

1

【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为时，

2n

111111111