专题01 绝对值的三种化简方法（解析版）（人教版）

专题01绝对值的三种化简方法

绝对值版块的内容在我们这学期比重较大，尤其是绝对值的化简。并且，在压轴题中，常见的题型是

利用数轴化简绝对值和利用其几何意义化简绝对值，本专题就这两块难点详细做出分析。

【知识点梳理】

1.绝对值的定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|

2.绝对值的意义

①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；

②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离

原点的距离越近，绝对值越小。

a(a0)

3.绝对值的化简：

|a|0(a0)

a(a0)

类型一、利用数轴化简绝对值

例1．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则acabbc的值为（）．

A．2aB．2a2b2cC．0D．2c

【答案】A

【详解】根据数轴上点的位置得：bc0a，且ab，

则ac0，ab0，bc0，

则acabbcacabbc2a．

故选A．

ab1ab

例2．有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是()

ab1ab

A．-1B．1C．3D．-3

【答案】D

【详解】解：根据数轴可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，

a1bab

∴原式1113．

ab1ab

故选：D．

【变式训练1】已知，数a、b、c的大小关系如图所示：化简|ac||ba|2|ac|3|bc|____．

【答案】2a2b2c

【详解】由数轴可得：b＜0，0＜a＜c，

∴（a+c）＞0，（b-a）＜0，（a-c）＜0，（b-c）＜0，

∴|ac||ba|2|ac|3|bc|a+c-（a-b）-2（c-a）+3（c-b）

=a+c-a+b-2c+2a+3c-3b=2a-2b+2c，

故答案为：2a-2b+2c．

【变式训练2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图．

（1）判断正负，用“>”或“<”填空：bc0，ab0，ac0．

（2）化简：|bc||ab|∣ac|

【答案】（1）＜，＜，＞；（2）2c-2b-2a

【详解】解：由图可知，a＜0，b＞0，c＞0，且|b|＜|a|＜|c|，

（1）b−c＜0，a＋b＜0，−a＋c＞0；故答案为：＜，＜，＞；

（2）|bc||ab|∣ac|＝c−b−a-b-a+c=2c-2b-2a．

【变式训练3】有理数a，b在数轴上的对应点如图所示：

（1）填空：ba______0；b1______0；a1______0；（填“＜”、“＞”或“＝”）

（2）化简：bab1a1

【答案】（1）<，<，>；（2）2a

【详解】（1）从数轴可知：2b10a1，ba0,b10,a10，故答案为：<，<，>；

（2）2b10a1，ba，

bab1a1ba1ba1ba1ba12a．

【变式训练4】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：

(1)用“＞”或“＜”填空a_____0，b_____0，c﹣b______0，ab_____0．

(2)化简：|a|+|b+c|﹣|c﹣a|．

【答案】(1)＜，＞，＞，＜；(2)b

【解析】(1)解：由有理数a、b、c在数轴上的位置可知，a＜0＜b＜c，

∴c﹣b＞0，ab＜0

故答案为：＜，＞，＞，＜；

(2)由有理数a、b、c在数轴上的位置可得，

b+c＞0，c﹣a＞0，

∴|a|+|b+c|﹣|c﹣a|＝﹣a+b+c﹣c+a＝b．

类型二、利用几何意义化简绝对值

例1.同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两

点之间的距离．试探索

（1）求|5-（-2）|=________；

（2）同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则

x=________；

（3）类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件

的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________．

（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说

明理由．

3

【答案】（1）7；（2）；（3）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2；（4）有最小值，最小值为3．

2

【详解】（1）|5-（-2）|=52=7，故答案为：7

（2）∵|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，

∴x所对点为-1008和1005所对点的中点，∴x+1008＞0，x-1005＜0，

33

∵|x+1008|=|x-1005|，∴x+1008=-（x-1005），解得：x，答案为：

22

（3）当x+5=0时，x=-5，当x-2=0时，x=2，

当x＜-5时，|x+5|+|x-2|=-（x+5）-（x-2）=7，-x-5-x+2=7，解得：x=5（范围内不成立，舍去）

当-5≤x＜2时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）-（x-2）=7，x+5-x+2=7，7=7，

∵x为整数，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1

当x≥2时，∴|x+5|+|x-2|=（x+5）+（x-2）=7，x+5+x-2=7，2x=4，解得：x=2，

综上所述：符合条件的整数为-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，

故答案为：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2

（4）∵|x-3|+|x-6|表示数轴上有理数x所对点到3和6所对的两点距离之和，

∴由（2）得3≤x≤6时|x-3|+|x-6|的值最小，

∴|x-3|+|x-6|=x-3-(x-6)=3，∴|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3．

【变式训练1】阅读下面的材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点

时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：

①如图2，点A、B都在原点的右边：

∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；

②如图3，点A、B都在原点的左边：

∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；

③如图4，点A、B在原点的两边：

∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，

综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．

回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数

轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；

(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2，那么x为__________．

(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．

【答案】(1)3，3，4；(2)x1，1或-3；(3)1x2

【解析】(1)解：数轴上表示2和5的两点之间的距离为523，

数轴上表示-2和-5的两点之间的距离为253，

数轴上表示1和-3的两点之间的距离为134；

故答案为：3，3，4；

(2)解：数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是x(1)x1，

根据题意得x12，即x1±2，所以x=1或-3，

故答案为x1，1或-3；

(3)解：代数式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距离和，只有在-1和2之间才会有最小距离3，所以x

的取值为1x2，

故答案为：1x2．

【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，

数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离

可以表示为，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为．

（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2

之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；

（3）当a＝时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．

【答案】（1）3，5，|x-5|，|y+1|；（2）1或-5；|a+4|+|a-2|=6；（3）1，9．

【详解】（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是4-1=3；表示-3和2两点之间的距离是2-（-3）=5；一

般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m-n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的

距离可以表示为|x-5|，表示数y与-1两点之间的距离可以表示为|y+1|．

故答案为：3，5，|x-5|，|y+1|；

（2）如果表示数a和-2的两点之间的距离是3，那么|a-（-2）|=3，

∴|a+2|=3，∴a+2=3或a+2=-3，解得a=1或a=-5；

∵|a+4|+|a-2|表示数a与-4的距离与a和2的距离之和，

若数轴上表示数a的点位于-4与2之间，则|a+4|+|a-2|的值等于2和-4之间的距离，等于6．

即|a+4|+|a-2|=6，故答案为：1或-5；

（3）|a+5|+|a-1|+|a-4|表示一点到-5，1，4三点的距离的和，

∴当a=1时，该式的值最小，最小值为6+0+3=9．

∴当a=1时，|a+5|+|a-1|+|a-4|的值最小，最小值是9．故答案为：1，9．

【变式训练3】（问题提出）a1a2a3a2021的最小值是多少？

（阅读理解）为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．a的几何意义是a这个数在数轴上对应的

点到原点的距离，那么a1可以看作a这个数在数轴上对应的点到1的距离；a1a2就可以看作a这

个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究a1a2的最小值．

我们先看a表示的点可能的3种情况，如图所示：

（1）如图①，a在1的左边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．

（2）如图②，a在1，2之间（包括在1，2上），看出a到1和2的距离之和等于1．

（3）如图③，a在2的右边，从图中很明显可以看出a到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出

结论：当a在1，2之间（包括在1，2上）时，a1a2有最小值1．

（问题解决）

（1）a4a7的几何意义是，请你结合数轴探究：a4a7的最小值是．

（2）请你结合图④探究a1a2a3的最小值是，由此可以得出a为．

（3）a1a2a3a4a5的最小值为．

（4）a1a2a3a2021的最小值为．

（拓展应用）如图，已知a使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出a的取值范围是．

【答案】（1）a这个数在数轴上对应的点到4和7两个点的距离之和，3；（2）2，2；（3）6；（4）1021110；

拓展应用1.5a2.5．

【详解】（1）a4a7的几何意义是a这个数在数轴上对应点到4和7两个点的距离之和；

当a在4和7之间时（包括4，7上），

可以看出a到4和7的距离之和等于3，此时a4a7取得最小值是3；

故答案为：a这个数在数轴上对应的点到3和6两个点的距离之和，最小值是3.

（2）当a取中间数2时，绝对值最小，a1a2a3的最小值是1+0+1=2；

如图所示：

故答案为：2，2；

（3）当a取最中间数时，绝对值最小，

a1a2a3a4a5的最小值是210126；

（4）当a取中间数1011时，绝对值最小，a1a2a3a2021的最小值为：

1010+1009+1008+1007+……+1+0+1+2+3+……+1010=1010101011021110；

拓展应用

∵a使它到-1，2的距离之和小于4，∴a1a24，

∴①当a2时，则有a1a24，解得：a2.5，∴2a2.5；

②当1a2时，则有a12a34，∴1a2，

③当a1时，则有1a2a4，解得：a1.5，∴1.5a1，

综上：1.5a2.5，数轴上表示如下：

类型三、分类讨论法化简绝对值

例1.化简：x2x1x4.

7x,x1

53x,1x2

【答案】x2x1x4{

1x,2x4

x7,x4

【解析】试题解析：①当x1时，原式2xx14x7x

②当1x2时，原式2xx14x53x

③当2x4时，原式x2x14x1x

④当x4时，原式x2x1x4x7

7x,x1

53x,1x2

综上所述：x2x1x4{

1x,2x4

x7,x4

a2ab3abc

【变式训练1】若abc0,abc0，则的值为_________．

aababc

【答案】0或2或4

【详解】∵abc0,abc0，

∴a、b、c三个数中必定是一正两负，

a2ab3abc

∴当a0,b0,c0时，ab0，此时1234

|a||ab||abc|

a2ab3abc

当a0,b0,c0时，ab0，此时1230

|a||ab||abc|

a2ab3abc

当a0,b0,c0时，ab0，此时1232

|a||ab||abc|

故答案为：0或2或4

ab

【变式训练2】（1）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x的值．

ab

请补充以下解答过程（直接填空）

①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x=；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x=；

③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x=；综上，当a，b均不为零，求x的值为．

（2）请仿照解答过程完成下列问题：

abc

①若a，b，c均不为零，求x的值．

abc

bcacab

②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．

abc

【答案】（1）①2，②0，③-2，2或0或-2；（2）①1或3或-3或-1；②-1或1

ab

【详解】（1）①∵a、b都是正数，∴a=a，b=b，∴x=1+1=2，

ab

故答案为：2；

ab

②设a是负数，b是正数，∴a=-a，b=b，∴x=-1+1=0，故答案为：0；

ab

ab

③∵a、b都是负数，∴a=-a，b=-b，∴x=-1-1=-2，故答案为：-2；

a