点的应变状态、体积不变条件资料

河南科技大学材料学院第三章金属塑性变形的力学基础

应变分析位移：变形体内任一点变形前后的直线距离位移分量：在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量。用u，v，w或ui表示。位移场：变形体内不同点的位移分量不同。根据连续性基本假设，位移分量应是坐标的连续函数，而且一般都有连续的二阶偏导数。或位移及其分量即设M(x,y,z)M1

(x+u,y+v,z+w)位移分量：

M'(x+dx,y+dy,z+dz)M1'

(x+dx+u+△u,y+dy+v+△v,z+dz+w+△w)位移分量：将ui'按泰勒数展开

M'点相对于M点的位移增量变形体内无限接近两点的位移分量间的关系若无限接近的两点的连线MM'平行于某一坐标轴，例如MM'∥x轴，则若已知变形物体内一点M的位移分量，则与其无限邻近点M′的位移分量可以用M点的位移分量及其增量来表示。位移及其分量名义应变及其分量设单元体PABC→P1A1B1C1PB:r

→r1=r+△r线变形(△r)：单元体棱边的伸长或缩短线应变（正应变—ε）：单位长度上的线变形棱边PB的线应变：应变及其分量单元体在xy面内发生变形，相对切应变（工程切应变）：单位长度上偏移量或两棱边所夹直角的变化量。同理有：φyz,φzx显然：应变及其分量棱边PA在x方向的线应变：同理：应变及其分量φyx也可以看成PA、PC同时向内偏转引起的。切应变：角标的意义：第一个角标表示线元（棱边）的方向，第二个角标表示线元的偏转方向。如γxy表示x方向的线元向y方向偏转的角度。变形单元体有三个线应变和三组切应变。统称为应变分量。应变及其分量绕z轴的刚体转动角，研究应变时，应将刚体转动去掉。过一点三个互相垂直方向上有9个应变分量所以只有六个独立的应变分量应变及其分量因为对数应变相对线应变变形体由l0→ln可看作是经无穷多个中间数值逐渐变成。应用微分的概念——自然应变（对数应变），反映了物体变形的实际情况，也称真实应变。定义：塑性变形过程中，在应变主轴方向保持不变的情况下应变增量的总和叫对数应变。应变及其分量只能用于小变形分析，在大变形中不能反映实际情况。1.表示变形的真实情况；2.具有可加性：总应变为各阶段应变之和。eg拉伸拉伸拉伸显然对数应变3.具有可比性：拉伸后再压缩至原长，对数应变相等，仅差一符号。eg.拉伸压缩和对数应变的特点任意方向上的应变设任意点a(x,y,z)的应变分量：设线元ab=rr在三个坐标轴上的投影：dx,dy,dz方向余弦：长度：a)线应变点的应变状态与应变张量变形后ab移至a1b1

r1在三个轴上的投影：dx+△u,dy+△v,dz+△w略去δr,δu,δv,δw的平方项两边同除以r2点的应变状态与应变张量(3-43)式比较：点的应变状态与应变张量b)切应变(线元变形后的偏转角）设r=1,引NM⊥a1b1在ΔNMb1中，有由于故于是：如果没有刚体转动，则求得的

，就是切应变点的应变状态与应变张量如果有刚体转动，纯剪切变形引起的位移增量刚性转动引起的位移增量去除刚性转动所以比较结论：若一点互相垂直的三个方向上的应变分量已知，则该点任意方向应变可求。点的应变状态与应变张量

一点的应变状态可以用过该点三个互相正交方向上的九个应变分量来表示。与应力状态相似，当坐标轴旋转后在新的坐标系中的九个应变分量与原坐标系中的九个应变分量之间的关系也符合学数上张量之定义，即εij为二阶对称张量。点的应变状态与应变张量应变张量设单元体初始边长为dx,dy,dz变形前的体积变形后边长变形后的体积展开，略去高阶微量体积变化率在弹性变形中，θ可正可负，在塑性变形中，认为体积不变θ为零