核心素养视域下分数乘法的意义与算法深度探究-小学六年级数学上册导学案

核心素养视域下分数乘法的意义与算法深度探究——小学六年级数学上册导学案

  一、指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生核心素养。秉持“建构主义学习理论”，认为知识不是被动接受，而是学习者在原有经验基础上，通过主动建构获得。本课将分数乘分数的学习置于真实、有意义的问题情境中，引导学生经历从具体操作、直观几何表征到抽象符号表达的完整数学化过程，实现对新知的意义建构。同时，借鉴“具身认知”理念，设计多样化的操作活动（如折纸、画图），促进学生在“做数学”中深化理解。教学贯彻“以学生为主体，教师为主导”的原则，通过设计有层次、有挑战性的探究任务，激发学生的高阶思维，培养其数感、几何直观、运算能力、推理意识及应用意识。

  二、教材与学情分析

  （一）教材分析

  分数乘法是“数与代数”领域“数与运算”主题的核心内容之一。在本套教材体系中，学生已在五年级下册系统学习了分数的意义与性质、分数加减法，为本课学习奠定了坚实的认知基础。本课“分数乘分数”是分数乘法单元的关键节点与教学难点，它上承整数乘法、分数乘整数，下启分数除法、比、百分数及解决复杂实际问题，是贯通小学阶段“数”的运算体系的重要枢纽。教材通常通过几何直观（面积模型）引入，引导学生理解“求一个数的几分之几是多少”用乘法计算这一核心意义，并探索分子相乘、分母相乘的算法算理。然而，教材的编排往往侧重于算法得出，对算理的深度挖掘与多元表征间的内在联系揭示不足。因此，本设计将着力于填补这一空白，通过多层次活动，深度揭示“分数单位”“计数单位”的运算一致性思想。

  （二）学情分析

  教学对象为六年级上学期的学生。其认知特点处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期，抽象逻辑思维能力正在快速发展，但仍需直观经验和表象支持。

  已有认知基础：1.熟练掌握分数的意义，理解分数单位。2.理解整数乘法的意义（求几个相同加数的和）。3.掌握了分数乘整数的计算方法与算理（转化为分数单位累加）。4.具备一定的几何直观能力，能通过画图表示简单的分数。

  潜在学习困难：1.意义理解的跨越：从“分数乘整数”（求几个几分之几的和）到“分数乘分数”（求一个数的几分之几是多少），乘法意义的扩展是认知难点。学生容易将算法机械记忆，而对其背后的数学本质理解模糊。2.算理抽象的困难：如何从“分与取”的折纸或画图操作，自然地抽象概括出“分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”这一简洁算法，并理解其合理性（即分数单位与个数同时发生变化），是本节课的思维挑战。3.几何模型与算法模型的割裂：学生可能仅将画图视为验证计算结果的工具，而非理解算理、沟通直观与抽象的桥梁。

  基于以上分析，本设计将搭建“情境激活—操作探究—多元表征—抽象建模—迁移应用”的学习支架，引导学生在突破难点中实现思维进阶。

  三、教学目标

  依据课标要求、教材本质与学情分析，确定以下体现核心素养发展的三维教学目标：

  （一）知识与技能

  1.理解分数乘分数的意义，即“求一个数的几分之几是多少”用乘法计算。

  2.经历分数乘分数算理的探索过程，掌握分数乘分数的计算方法，并能正确、熟练地进行计算。

  3.能运用分数乘分数解决简单的实际问题。

  （二）过程与方法

  1.通过动手操作（折纸、涂色）、几何画图等直观手段，发展几何直观和空间观念。

  2.经历从现实情境抽象出数学问题，通过观察、比较、归纳、概括等活动，发展合情推理与初步的演绎推理能力。

  3.学会用数形结合、语言表述、符号表达等多种方式表征算理，体会数学知识间的内在联系，构建知识网络。

  （三）情感、态度与价值观

  1.在探索分数乘分数计算方法的过程中，体验数学研究的乐趣和成功的喜悦，增强学好数学的自信心。

  2.感受数学的严谨性与简洁美，体会数学与生活的密切联系，培养应用意识。

  3.在小组合作探究中，学会倾听、表达与交流，培养合作精神和科学探究的态度。

  四、教学重难点

  （一）教学重点：理解分数乘分数的算理，掌握其计算方法。

  （二）教学难点：理解分数乘分数的算理，特别是沟通几何直观（面积模型）与抽象算法之间的内在逻辑联系。

  五、教法与学法

  （一）主要教法

  1.情境创设法：创设真实且富有数学内涵的问题情境，激发探究欲望。

  2.直观演示法：利用多媒体课件动态演示分、取过程，化静为动，化抽象为具体。

  3.问题驱动法：设计环环相扣、层层递进的关键性问题链，引领学生思维纵深发展。

  4.启发引导法：在学生探究的“愤悱”之处适时点拨，促进思维突破。

  （二）主要学法

  1.探究学习法：学生通过自主操作、合作讨论，亲身经历知识的“再创造”过程。

  2.多元表征学习法：鼓励学生运用操作、画图、语言、符号等多种方式表达和理解算理。

  3.归纳概括法：在充分感知的基础上，引导学生观察、比较、归纳，抽象出计算法则。

  4.迁移应用法：运用所学新知解决变式问题，在应用中巩固和深化理解。

  六、教学准备

  （一）教具准备：多媒体课件（内含动态分、取动画，互动练习）、实物投影仪。

  （二）学具准备：每位学生准备若干张长方形纸（用作单位“1”）、彩色笔、学习任务单。

  （三）信息技术支持：利用几何画板或互动白板软件，实现分数乘法面积模型的动态生成与分解。

  七、教学实施过程（详细阐述）

  （一）第一阶段：创设情境，关联已知——在认知冲突中激活新知生长点（约8分钟）

  1.情境导入，提出问题

  师：同学们，我们的校园生态园里有一块长方形的实验田，负责园艺的李师傅遇到了一个规划问题。我们一起来帮帮他。（课件出示）这块实验田的长是4米，宽是2米。李师傅想划出这块田的3/4来种植西红柿。请问种植西红柿的面积是多少平方米？

  生1：这是一个长方形面积问题，先算总面积：4×2=8（平方米），再求8平方米的3/4是多少，就是8×3/4。

  师：很好！8×3/4，这是我们学过的什么运算？

  生（齐）：分数乘整数。

  师：如何计算？

  生2：8×3/4=(8×3)/4=24/4=6（平方米）。可以把8看作8/1，用分子乘整数，分母不变。

  师：思路清晰，计算正确。李师傅又有了新想法（课件动态变化）：如果他想更精细地规划，决定只用划出的西红柿地（即那6平方米）的2/3来种植樱桃番茄。那么，种植樱桃番茄的面积又是多少平方米呢？

  （设计意图：从真实情境出发，第一个问题复习分数乘整数，实现知识顺向迁移。第二个问题自然引出“求6平方米的2/3是多少”，即“求一个数的几分之几是多少”，为分数乘分数意义的理解埋下伏笔。同时，数据设计为整数，便于学生先运用旧知“6×2/3”解决，为后续分数乘分数的必要性做铺垫。）

  2.转化问题，聚焦核心

  师：现在要求的是什么？

  生：求6平方米的2/3是多少。

  师：用什么运算？

  生：乘法，6×2/3。

  师：会算吗？试试看。

  生3：6×2/3=(6×2)/3=12/3=4（平方米）。

  师：非常棒！看来同学们对分数乘整数掌握得很扎实。现在，李师傅想做一个更一般的规划方案。他设想，如果这块实验田本身就是一个单位“1”，他先划出其中的1/2种花卉，再在花卉区中划出其中的3/4种郁金香。请问，郁金香的种植面积占整个实验田的几分之几？（课件呈现文字与示意图雏形）

  师：这个问题还能直接用我们学过的分数乘整数来解决吗？为什么？

  生4：好像不能直接用了。因为现在是“求1/2的3/4是多少”，两个数都是分数了。

  师：你抓住了关键！“求一个数的几分之几是多少”用乘法，当这个“数”和“几分之几”都是分数时，就产生了一种新的运算——分数乘分数。今天我们就来深入探究“分数乘分数”的奥秘。（板书课题：分数乘分数）

  （设计意图：通过问题变式，将乘数从整数自然过渡到分数，制造认知冲突，使学生明确感受到学习“分数乘分数”的必要性，从而激发强烈的探究动机。课题的揭示水到渠成。）

  （二）第二阶段：多元表征，探究算理——在操作与思辨中建构意义（约22分钟）

  核心探究问题：1/2公顷的3/4是多少公顷？（将单位“1”具体化为1公顷土地，更符合实际，同时延续面积模型）

  活动一：折纸涂色，初建直观模型

  师：我们先借助一张长方形纸来研究。把这张纸看作1公顷的土地。如何表示出它的1/2？

  生：把纸对折，涂出其中的一份。

  师：请同学们动手折一折，用斜线涂出这1/2公顷。

  （学生操作，教师巡视）

  师：现在，我们要表示的是“这1/2公顷的3/4”。怎么理解“这1/2公顷的3/4”？

  生5：就是把我们已经涂出的这1/2公顷，再看作一个整体，平均分成4份，取其中的3份。

  师：表述非常准确！那怎么在图上操作呢？

  生6：把涂了色的部分再对折两次，就平均分成了4份。

  师：好主意！但要注意，是对谁再对折？是对整张纸，还是仅对涂色部分？

  生6（思考后）：应该是对涂色部分，因为我们现在关注的是“这1/2公顷”。

  师：逻辑严密。但实际操作中，我们可以通过折叠整张纸来实现。请同学们将手中的纸再次对折、对折（即共对折三次）。展开后观察，整张纸被平均分成了多少份？

  生：8份。

  师：原先表示1/2公顷的涂色部分，现在被分成了几份？

  生：4份。

  师：我们要取这4份中的几份来表示3/4？

  生：3份。

  师：请用另一种颜色或图案（如网格）涂出这3份。

  （学生再次操作涂色）

  师：现在，表示郁金香面积的双重涂色部分，占整张纸（1公顷）的几分之几？你是怎么看的？

  生7：整张纸平均分成了8份，双重涂色部分占了其中的3份，所以是3/8公顷。

  师：那么，用算式来表示刚才的过程，就是？

  生（齐）：1/2×3/4=3/8。

  （设计意图：折纸操作是学生建立分数乘分数直观印象的第一步。通过两次“分”与“取”的动手实践，学生能亲眼看到“1/2的3/4”如何转化为“整体的3/8”，初步建立面积模型，为算理理解积累丰富的感性经验。）

  活动二：几何画图，深化模型理解

  师：折纸能帮助我们理解，但如果数字不那么规整，比如求2/3的4/5是多少，折纸就不方便了。我们可以用画长方形图的方法。请在任务单上画一个长方形表示1公顷。

  第一步：如何表示出它的1/2？（引导学生画图：将长方形纵向平均分成2份，涂出其中1份）

  第二步：如何表示出“这1/2的3/4”？（引导学生思考：将涂色部分横向平均分成4份，用另一种标记取出其中的3份）

  师：观察最终表示结果的双重阴影部分，它占整个长方形的几分之几？整个长方形被平均分成了多少份？双重阴影占了多少份？

  生8：整个长方形被纵横的线平均分成了（2×4）=8份，双重阴影部分占了（1×3）=3份，所以是3/8。

  师：你的发现非常重要！我们把分的过程和取的过程联系起来看：第一次平均分（分整体），分母是2；第二次平均分（分部分），分母是4。总份数就是这两个分母相乘的积：2×4=8。第一次取出的份数，分子是1；第二次取出的份数，分子是3。最终取出的总份数就是这两个分子相乘的积：1×3=3。所以，结果就是3/8。

  （设计意图：从折纸到画图，是从具体操作到半抽象图示的进阶。引导学生分析画图过程中“分”与“取”的数学本质，将操作动作与分数单位（份数）的变化建立联系，初步点明算法与算理的几何对应关系。）

  活动三：数形对应，抽象算法雏形

  师：我们再用一个例子巩固一下。请大家画图表示2/3×4/5的意义，并推测结果。

  （学生独立尝试画图，教师选取典型作品投影展示）

  生9展示并解释：先画一个长方形表示“1”，平均分成3份，取2份表示2/3。再把这份涂色部分平均分成5份，取其中的4份。最后看整个长方形被平均分成了3×5=15份，双重阴影占了2×4=8份，所以2/3×4/5=8/15。

  师：非常清晰！观察这两个例子，1/2×3/4=3/8，2/3×4/5=8/15。你发现了分数乘分数在计算方法上有什么规律？

  （小组讨论后汇报）

  生10：分子和分子相乘的积作分子，分母和分母相乘的积作分母。

  师：这只是算法的发现。谁能结合我们刚才画图的过程，解释一下为什么可以这样算？（指向算理理解，突破难点）

  生11：分母相乘，就像我们把整体先按第一个分母平均分，再把分出的部分按第二个分母平均分，总共平均分的份数就是两个分母的乘积，它决定了新分数的分数单位大小（比如1/8,1/15）。分子相乘，就像我们第一次取了几份，第二次又在第一次取出的份数里取了几份，总共取出的份数就是两个分子的乘积，它表示有多少个这样的新分数单位。

  师：精彩绝伦的解释！你不仅说出了算法，更深刻地揭示了算理。分数乘分数，实质上就是“分数单位”和“分数单位的个数”同时发生变化的运算。第一个分数决定了“初始单位”和“初始个数”，第二个分数表示将“初始单位”再次细分，并用新的、更小的分数单位去度量“初始个数”中的一部分。最终的结果，就是用这个“更小的分数单位”度量的数量。这体现了数学运算中“计数单位”思想的一致性。

  （设计意图：这是本节课思维攀登的高峰。通过第二个例子进行方法迁移与规律猜想，再通过关键性问题“为什么可以这样算”，迫使学生的思维从现象归纳回溯到本质阐释。引导学生用“分数单位”的视角统整算理，实现从直观几何模型到抽象数理逻辑的飞跃，真正打通算理与算法的隔阂，渗透运算一致性的高阶思想。）

  （三）第三阶段：算法抽象，形成模型——在概括与表达中凝聚智慧（约5分钟）

  师：通过以上的探究，谁能完整地概括分数乘分数的计算法则？

  生12：分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

  师：还有补充吗？在计算时要注意什么？

  生13：为了计算简便，可以先约分再相乘。

  师：为什么可以先约分？这体现了什么数学思想？

  生14：因为分子分母同时除以它们的公因数，分数大小不变，这运用了分数的基本性质。先约分能使数字变小，计算更简便。

  师：是的，先约分体现了“优化”的数学思想。请同学们尝试计算5/6×9/10，并体验先约分的好处。

  （学生计算，教师强调格式规范：能约分的要先在原数的分子分母上划去，约分后的数写在旁边，然后再乘。）

  （设计意图：在学生充分理解算理的基础上，引导其用简洁、准确的数学语言概括计算法则，并补充强调“先约分”的优化策略，完成从探究发现到方法建模的升华。）

  （四）第四阶段：变式应用，深化理解——在辨析与拓展中稳固认知（约12分钟）

  1.基础应用，巩固算法

  计算：3/7×2/5，4/9×3/8，5/12×6/5。（强调先约分，规范书写）

  2.情境应用，回归意义

  （1）一台拖拉机每小时耕地2/3公顷，1/4小时耕地多少公顷？2/5小时呢？

  （引导学生理解：工作效率×工作时间=工作总量，此情境是分数乘分数意义的另一典型应用，可辅以线段图帮助理解“求2/3的1/4是多少”。）

  3.综合辨析，沟通联系

  （2）判断并说明理由：

  ①3/5吨的1/2和1/2吨的3/5同样重。（）

  （引导学生从乘法意义和计算结果两个角度说明：3/5×1/2=3/10，1/2×3/5=3/10，不仅结果相同，都表示3/10吨，而且都符合“求一个数的几分之几是多少”的意义，只是叙述顺序不同。渗透乘法交换律在分数中的适用。）

  ②一个数（0除外）乘真分数，积一定小于这个数。（）

  （引导学生举例验证，并思考原因：因为真分数小于1，求一个数的几分之几（小于1的部分），所以结果小于原数。为后续学习分数乘大于1的数和积与因数关系规律做铺垫。）

  4.挑战拓展，发展思维

  （3）下面两个长方形，阴影部分都是整个图形面积的1/2。请根据图示，写出一个分数乘分数的算式。

  （出示两个不同分割方式的图形：第一个整体被分成3列，阴影占2列，阴影内部又被分成4行，取3行；第二个整体被分成5行，阴影占3行，阴影内部又被分成2列，取1列。）

  （要求学生逆向从图形中抽象出算式，如第一图：2/3×3/4=6/12=1/2；第二图：3/5×1/2=3/10。此题强化数形结合，考查学生对算理模型的灵活运用。）

  （设计意图：设计有梯度、多层次的练习。从纯计算到情境应用，巩固双基；从判断题深化对意义和规律的理解；从拓展题进行逆向思维训练和数形结合能力提升。确保不同层次的学生都能得到有效发展。）

  （五）第五阶段：回顾梳理，构建网络——在反思与联结中升华认知（约3分钟）

  师：同学们，回顾今天这趟探究之旅，你有哪些收获？

  （引导学生从知识、方法、思想、情感等多维度进行梳理）

  生15：我学会了分数乘分数的计算方法，知道了它是“求一个数的几分之几是多少”的运算。

  生16：我明白了为什么计算时是分子乘分子、分母乘分母，是因为分数单位变了，取的份数也变了。

  生17：我学会了用折纸、画图的方法来帮助理解抽象的算理，数形结合真是个法宝。

  生18：我觉得数学知识是前后联系的，分数乘分数和以前学的整数乘法、分数乘整数，在“计数单位”的思想上是一样的。

  师：总结得非常深入！今天我们不仅掌握了算法，更理解了算理，还体会了“数形结合”、“转化”、“单位细分”等重要的数学思想方法。分数乘法的学习至此告一段落，它和整数、小数乘法一起，构成了完整的乘法运算体系，都是“计数单位”的运算。课后，希望大家能带着这些思考去完成作业，并找一找生活中还有哪些分数乘分数的例子。

  （设计意图：通过系统的课堂小结，引导学生将零散的知识点串联成线、编织成网，实现知识的系统化、结构化。强调数学思想方法的提炼与核心概念的贯通，使学习从“知其然”上升到“知其所以然”乃至“何由以知其所以然”的境界。）

  八、板书设计（结构化呈现思维脉络）

  分数乘分数

  意义：求一个数的几分之几是多少。

  探究：1/2×3/4=？

  操作·画图：

   （图示：一个长方形，先纵向分2份取1，再横向分4份取3，最终阴影占3/8）

  算理：

   分：2份→再分4份→总共2×4=8份（分数单位：1/8）

   取：1份→再取3份→总共1×3=3份（分数单位个数：3）

   核心：分数单位细分，单位个数重组。

  算法：分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

  优化：先约分，后计算。

  九、分层作业设计

  （一）基础巩固层（必做）

  1.看图写算式并计算。（提供2-3个分数乘分数的面积模型图）

  2.计算下列各题，注意先约分。

   3/4×2/9，7/8×4/21，5/6×12/25，11/15×5/33

  3.解决问题。

   （1）一个正方形的边长是5/6米，它的面积是多少平方米？

   （2）一辆汽车每分钟行驶4/5千米，照这样计算，3/4分钟行驶多少千米？

  （二）能力拓展层（选做）

  4.思维体操。

   （1）在（）里填上合适的数，使等式成立。

    ()/9×3/()=2/15

   （2）已知A×3/4=B×4/5=C×5/6（A、B、C均不为0），请比较A、B、C的大小。

  5.实践与应用。

   找一找家中或社区里的长方形物体（如桌面、窗户、宣传栏），估计其长和宽，并计算其面积的1/2或几分之几是多少，写一篇简短的数学日记。

  （三）探究挑战层（供学有余力者选择）

  6.跨学科链接：分数乘法与科