初中数学九年级下学期专题教案：构造法求特殊角三角函数值探究

初中数学九年级下学期专题教案：构造法求特殊角三角函数值探究

  本教学方案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》对初中阶段“图形与几何”领域的高阶要求，旨在超越对30°、45°、60°等常规特殊角的机械记忆，引导学生深入理解三角函数的内涵。教学核心是传授“构造法”这一重要的数学思想与方法，通过构造含目标角的特定几何图形（如直角三角形、等腰三角形、或通过图形变换产生特殊角），将未知角的三角函数值问题转化为已知边角关系的可解三角形问题，从而求解诸如15°、22.5°、75°、18°等非标准特殊角的三角函数值。本设计聚焦于发展学生的几何直观、逻辑推理、数学运算和数学建模核心素养，通过项目式、探究式的深度学习，培养学生从“解题”到“解决问题”、从“记忆”到“建构”的关键能力。

一、单元整体规划与学习目标

（一）单元内容解析

  本专题隶属于“锐角三角函数”章节的拓展与深化部分。学生已掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并具备利用直角三角形边角关系和解直角三角形的初步技能。本单元承接已有知识，但视角从“应用已知”转向“探究未知”。核心知识脉络为：三角函数定义（基石）→常规特殊角三角形（等腰直角三角形、含30°角的直角三角形）的几何特征（基础模型）→图形构造与变换方法（拼合、分割、折叠、外延等）→推导新特殊角的三角函数值（成果）→思想方法提炼与迁移应用（升华）。教学难点在于如何启发学生自主发现并实施有效的几何构造策略，将陌生的角关联到熟悉的图形结构中。

（二）单元学习目标

  1.知识与技能：

    （1）熟练运用锐角三角函数的定义，能在具体构造的直角三角形中准确标识目标角的对边、邻边与斜边。

    （2）掌握通过构造含30°、45°角的直角三角形或其组合图形，推导出15°、75°、22.5°、67.5°等角的正弦、余弦、正切值，并能用根式进行准确表达。

    （3）初步了解通过构造含有36°、72°的等腰三角形（黄金三角形）求18°、72°等角三角函数值的思路，感受数学的统一美。

    （4）能综合运用勾股定理、相似三角形性质、角平分线性质等工具，计算构造图形中的相关边长。

  2.过程与方法：

    （1）经历“问题提出→模型构造→推理论证→得出结论”的完整数学探究过程，深刻体验“构造法”在解决几何问题中的威力。

    （2）通过小组合作探究、方案对比与优化，发展多角度思考问题和优化解题策略的能力。

    （3）学会使用“代数设元”与“几何关系建立方程”相结合的方法，处理较复杂的线段计算。

  3.情感、态度与价值观：

    （1）在构造与推导的活动中，感受数学的严谨性与创造性，体会“化未知为已知”的转化思想。

    （2）通过欣赏不同构造方法所体现的数学智慧，提升对数学学习的兴趣和探索精神。

    （3）形成对特殊角三角函数值之间内在联系（如互余角关系、半角关系）的结构性认识，构建更为完善的知识网络。

（三）单元教学重点与难点

  教学重点：运用“构造法”，通过拼合含30°、45°角的基本直角三角形，推导15°、22.5°、75°角的三角函数值。

  教学难点：构造几何模型的思路生成；复杂构造图形中边角关系的分析与简化计算；构造法的迁移应用（如向18°角拓展）。

（四）单元课时安排（建议4课时）

  第一课时：构造法导论——从45°与30°的“和差”视角切入，探究15°与75°角的三角函数值。

  第二课时：构造法进阶——聚焦22.5°角（45°的半角）的多种构造策略与求解。

  第三课时：综合应用与变式——复杂情境下的构造应用及非标准特殊角的计算。

  第四课时：思想拓展与评价——探索18°角的构造（黄金三角形引入）及单元总结反思。

二、第一课时教学设计：和差生新角——15°与75°的构造探索

（一）课时学习目标

  1.理解15°角可以视为45°角与30°角的差，75°角可以视为它们的和，从而萌生通过拼接两个基本直角三角形来构造包含这些角的图形的想法。

  2.掌握至少一种有效构造图形（如外延拼接法、折叠法）来形成包含15°或75°角的直角三角形。

  3.能在构造的图形中，设定合适的未知数，利用线段和差关系与勾股定理，推导出15°和75°角的正弦、余弦、正切值。

  4.体会“数形结合”与“转化与化归”的数学思想。

（二）教学准备

  教师准备：几何画板动态课件（展示图形构造过程）、实物展台、三角板（30°-60°、45°各一副）。

  学生准备：直尺、圆规、练习本。

（三）教学过程实施

环节一：情境创设，问题驱动（约8分钟）

  师：（展示一个精密的工程图纸局部，图纸中某支撑结构的角度标注为15°）同学们，在实际的工程技术中，我们经常会遇到诸如15°、75°这样的非标准特殊角。已知这个结构中，某根钢梁的长度和水平距离，需要计算其倾斜面的受力，这归根结底需要用到15°角的三角函数值。然而，我们的三角函数表中并未直接列出它的精确值。我们能否利用已有的知识，像数学家一样，“创造”出这个角的精确三角函数值呢？

  生：（产生认知冲突，陷入思考）我们只知道30°、45°、60°的值，15°和这些角有什么关系？

  师：很好！这正是关键。观察：15=45-30，75=45+30。这给我们什么启示？

  生：是不是可以把45°角和30°角“拼”在一起，或者从一个角里“切”出另一个角，从而得到新角？

  师：非常精彩的直觉！这就是我们今天要学习的核心方法——“构造法”。我们的任务就是：在纸上“无中生有”，通过构造包含15°或75°角的可解直角三角形，来求出它们的三角函数值。

环节二：模型初构，方案探究（约20分钟）

  师：我们先瞄准15°角。如何构造一个包含15°角的直角三角形？请以小组为单位，利用手中的三角板进行模拟拼图，并尝试在纸上画出你们的构造方案草图。

  （学生小组活动，教师巡视，收集典型方案）

  方案展示与讨论：

  方案A（外延拼接法）：小组代表上台，在黑板上画图。“我们是这样想的：先画一个含45°角的等腰直角三角形ABC，∠A=90°，AB=AC=1。然后，我们以AC为一边，在三角形外部再‘拼接’一个含30°角的直角三角形ACD，使得∠ACD=90°，∠D=30°。这样，∠BAD=∠BAC-∠DAC=45°-30°=15°。但我们需要的是15°角在一个直角三角形里。于是我们过点B作AD的垂线BE…”

  师：请暂停。这个思路非常有价值，它直接实现了“45°-30°”。但大家思考，能否构造一个本身就包含15°锐角的直角三角形，而无需额外作垂线？或者，我们是否可以直接利用拼接后形成的大三角形？

  方案B（折叠/内构法）：另一小组展示。“我们受折纸启发。先画一个含30°角的直角三角形，让60°角在上方。假设BC=1，∠B=30°，则AB=2，AC=√3。然后，我们‘折叠’使点A落在斜边AB上，使得落在AB上的点A‘与点B重合的折痕…’这个描述有点复杂。”

  师：这个“折叠”的想法本质上是作角平分线。我们换个更直接的表述：在含30°角的直角三角形内部，能否构造出15°角？（提示：15°是30°的一半）

  生：作30°角的角平分线！

  师：对！但角平分线与对边的交点，能否和原有顶点构成一个含15°角的直角三角形呢？请大家画图验证。

  方案C（经典逆向构造法，教师引导生成）：经过讨论，教师引导出高效方案。“我们能否‘倒着思考’：目标是要一个以15°为锐角的直角三角形。我们知道75°是它的余角。而75°=45°+30°。所以，可以尝试构造一个同时含有45°和30°角的大三角形，而15°角自然作为它的一个部分出现。”

  教师借助几何画板动态演示：先画线段BC，以BC为边，在同侧分别作∠CBM=30°和∠BCN=45°，BM与CN交于点A。则△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，那么∠A=105°。这还没有直接得到15°。

  师：105°角里藏着15°吗？（105°=90°+15°）如何得到直角？过点A向BC作垂线AD，垂足为D。此时，在Rt△ABD或Rt△ACD中，能否找到15°角？观察∠BAD与∠CAD。因为∠BAC=105°，而AD将∠BAC分成两部分，但这两部分未知。我们需要更精确的构造。

  优化方案（经典构造）：教师展示并详解：构造一个含30°角的直角三角形ABC，∠C=90°，∠B=30°。设BC=√3（方便计算），则AB=2，AC=1。然后，延长CB到点D，使得BD=BA=2。连接AD。此时，在△ACD中，∠ACD=90°，CD=CB+BD=√3+2。关键来了：观察∠ADC。∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA。又∵∠ABC=30°是△ABD的外角，∴∠BAD+∠BDA=30°，故∠ADB=15°。那么在Rt△ADC中，∠ADC=15°就是我们要求的角！

环节三：推理论证，精算求值（约12分钟）

  师：现在我们已经成功构造了一个Rt△ADC，其中∠D=15°，∠C=90°。已知AC=1，CD=√3+2。请各小组合作，计算15°角的正切、正弦、余弦值。

  （学生计算，教师巡视指导）

  计算过程引导：

  在Rt△ADC中，

  tan15°=tan∠D=对边/邻边=AC/DC=1/(√3+2)。

  师：这个结果需要分母有理化。

  生：tan15°=1/(√3+2)=(2-√3)/[(√3+2)(2-√3)]=(2-√3)/(4-3)=2-√3。

  师：完美。接下来求sin15°和cos15°。需要先求斜边AD。根据勾股定理：AD²=AC²+DC²=1²+(√3+2)²=1+(3+4√3+4)=8+4√3。

  师：AD=√(8+4√3)。这个表达式可以化简吗？我们尝试将其写成完全平方形式：观察8+4√3，能否找到a,b使得(a+b√3)²=a²+3b²+2ab√3=8+4√3？

  解方程组：a²+3b²=8，2ab=4→ab=2。试探法：令a=√6,b=?不匹配。令a=√2,b=√2？则a²+3b²=2+6=8，ab=2，恰好。所以√(8+4√3)=√((√2+√6)²/?)稍作调整：实际上(√6+√2)²=6+2+2√12=8+4√3。所以AD=√6+√2。

  （此推导是难点，教师需细致引导代数变形技巧）

  因此，sin15°=AC/AD=1/(√6+√2)=(√6-√2)/4。

  cos15°=DC/AD=(√3+2)/(√6+√2)。化简：分子分母同乘(√6-√2)，得到cos15°=[(√3+2)(√6-√2)]/4=[√18-√6+2√6-2√2]/4=[3√2+√6-2√2]/4?需仔细计算：√3*√6=√18=3√2，√3*(-√2)=-√6，2*√6=2√6，2*(-√2)=-2√2。合并：(3√2-√6+2√6-2√2)/4=(√2+√6)/4。

  师：根据互余关系，我们能否直接写出75°的三角函数值？

  生：sin75°=cos15°=(√6+√2)/4，cos75°=sin15°=(√6-√2)/4，tan75°=cot15°=1/tan15°=1/(2-√3)=2+√3。

  教师板书整理15°和75°角的三角函数值表格。

环节四：课堂小结，思想提炼（约5分钟）

  师：回顾本课，我们是如何攻克15°角这个“未知堡垒”的？

  生：先分析它和已知特殊角的关系（45°-30°），然后通过延长线段、构造等腰三角形的方式，人工“制造”出一个包含15°角且可解的直角三角形。

  师：这就是“构造法”的精髓：通过添加辅助线，构建一个联系已知与未知的“桥梁图形”。其关键步骤是：1.分析目标角与基本角的数量关系；2.设计几何构造方案；3.在构造图形中确定直角三角形；4.设定参数并进行代数运算。下节课，我们将挑战另一个常见角：22.5°。

（四）分层作业设计

  基础巩固：1.依据课堂构造的图形，独立、工整地推导一遍15°和75°的所有三角函数值。2.已知tan15°=2-√3，不查表，比较sin15°与tan15°的大小。

  能力提升：1.尝试用不同于课堂的方法构造含15°角的直角三角形（提示：可以在正方形内部构造）。2.利用15°和75°的三角函数值，求sin15°sin75°的值。

  探究拓展：查阅资料或自主思考，18°角与哪个基本特殊角有倍数关系？猜想可以通过构造什么图形来求解？

三、第二课时教学设计：半角寻奥秘——22.5°角的构造策略

（一）课时学习目标

  1.理解22.5°角是45°角的半角，建立“半角”与“等腰直角三角形”及其变形图形之间的关联。

  2.探索并掌握构造含22.5°角直角三角形的多种方法（如作角平分线、构造外接等腰直角三角形等），并进行比较和优化。

  3.能灵活运用等腰直角三角形的性质、角平分线性质定理、勾股定理等工具，完成22.5°角三角函数值的推导。

  4.培养发散思维，体验“一题多解”的乐趣，提升解题策略的选择与评估能力。

（二）教学过程实施

环节一：温故知新，类比导入（约5分钟）

  师：上节课我们通过“和差构造”解决了15°和75°角。今天的目标角是22.5°。观察它与我们熟悉的哪个角有直接关系？

  生：45°的一半。

  师：对！22.5°=45°/2。“半角”关系在几何上常常如何实现？

  生：作角平分线。

  师：那么，一个自然的想法是：构造一个45°角，然后作它的平分线。但如何确保这个平分线能帮助我们形成一个包含22.5°锐角的直角三角形呢？请大家先行草图构思。

环节二：多元构造，方案竞析（约25分钟）

  小组探究活动：以小组为单位，设计至少两种构造含22.5°角直角三角形的方法，并简要说明思路。

  （学生激烈讨论，教师穿梭指导，鼓励不同方案）

  全班分享与论证：

  方案一（角平分线直接法）：

  小组A：我们直接画一个等腰直角三角形ABC，∠A=90°，AB=AC=1。作∠A的角平分线AD，则∠BAD=∠CAD=22.5°。这样，Rt△ABD和Rt△ACD都含有22.5°角。我们选择Rt△ABD，其中∠BAD=22.5°，∠B=45°？等等，不对，∠B=45°，那么∠ADB=180°-22.5°-45°=112.5°，不是直角三角形。失败了。

  师：勇敢的尝试和坦诚的反思非常可贵！这说明，简单地在一个等腰直角三角形中作直角的平分线，得到的是两个顶角为22.5°的三角形，但它们不是直角三角形（除等腰直角三角形外，一个角是22.5°，另一个角是45°，第三个角必然是112.5°）。我们需要调整。

  方案二（角平分线结合垂直构造）：

  小组B：受挫后我们调整。还是等腰Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC=1。作∠ABC的平分线BD，交AC于点D。那么∠ABD=22.5°。过点D作DE垂直于AB于E。这样，Rt△BDE中，∠EBD=22.5°。

  师：这个方案可行！请上台讲解计算过程。

  生B：设AB=AC=1。在等腰Rt△ABC中，BC=√2。由角平分线定理：AD/DC=AB/BC=1/√2。所以AD=(1/√2)DC，又AD+DC=AC=1，解得AD=1/(1+√2)=√2-1，DC=2-√2？需要仔细算：设DC=x，则AD=x/√2，x+x/√2=1，x(1+1/√2)=1，x=1/(1+1/√2)=√2/(√2+1)=√2(√2-1)=2-√2。所以AD=√2-1。

  现在看Rt△BDE。要求sin22.5°等，需要知道DE和BD或BE。DE等于多少？因为DE⊥AB，∠A=90°，所以四边形AEDC是…不如利用△ABD的面积：S△ABD=(1/2)AB

DE=(1/2)AD

BC*sin∠C？有点绕。或许直接求BD？在△ABD中用余弦定理（超纲）…

  师：计算遇到了障碍。这说明方法可行，但计算路径可能不是最简洁的。我们欣赏其构造的巧思，同时也要寻求计算的优化。

  方案三（构造外接等腰直角三角形，经典简洁法）：

  教师引导：我们能否构造一个大的图形，使得22.5°角恰好是大直角三角形的一个锐角？联想到22.5°的2倍是45°。我们可以构造一个以22.5°为底角的等腰三角形，那么顶角就是180°-2*22.5°=135°。135°的邻补角是45°！这很有用。

  教师板书画图：画线段BC，过点B作射线BE使得∠CBE=90°。在射线BE上截取BA=BC。连接AC。则△ABC是等腰直角三角形吗？不，因为BA=BC，∠CBA=90°，所以△ABC是等腰直角三角形？∠CBA是90°，若BA=BC，则∠A=∠C=45°，那么∠BAC=45°，不是我们想要的。

  重新构思：我们想要一个三角形，其中一个角是22.5°，且它对着的边易于计算。考虑：作等腰直角三角形ABC，∠A=90°，AB=AC=1。延长CA到D，使得AD=AB=1。连接BD。观察图形。

  生：△ABD中，AB=AD=1，∠BAD=90°+？∠BAD是平角？不对，∠BAD是∠BAC的外角，∠BAC=90°，所以∠BAD=90°？这里需要明确：点C在A和D之间吗？我们说的是延长CA，所以顺序是C-A-D。所以∠BAD=180°-∠BAC=90°。所以△BAD也是等腰直角三角形，∠D=45°。这有什么用？

  师：看∠DBC。在△BDC中，∠BDC=45°，BC是原来等腰直角三角形的斜边，BC=√2。BD是新的等腰直角三角形的斜边，BD=√2。CD=CA+AD=1+1=2。现在，观察△BDC，已知两边BD=√2，BC=√2，夹角∠DBC未知。但我们关心的是22.5°在哪里？注意，∠D=45°，而45°是22.5°的2倍。如果我们能证明∠D是∠DBC的2倍，或者找到22.5°角…似乎不直接。

  方案四（经典半角模型，教师主导呈现）：

  师：让我们回到最直接的思路：要利用22.5°是45°的一半。在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=1（这样方便）。作∠A的平分线AD，交BC于点D。虽然△ABD不是直角三角形，但我们可以过点D作AB的垂线DE。

  但是，有更简洁的处理：直接利用半角公式（高中）？不，我们坚持几何构造。一个经典而高效的构造是：构造一个以22.5°为底角的等腰三角形，使得它的腰与底边关系明确。

  最终优雅构造：教师详解并画图：

  1.构造等腰直角三角形ABC，∠C=90°，设AC=BC=1，则AB=√2。

  2.延长CB至点D，使得BD=BA=√2。连接AD。

  此时，在△ACD中，∠C=90°，AC=1，CD=CB+BD=1+√2。

  关键：观察∠D。在△ABD中，∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA。

  又∵∠ABC=45°是△ABD的外角，∴∠BAD+∠BDA=45°。

  故∠BDA=22.5°。即∠ADC=22.5°。

  这样，我们得到了Rt△ACD，其中∠D=22.5°，∠C=90°。

环节三：推理计算，固化成果（约15分钟）

  师：现在，请各位在练习本上，基于构造的Rt△ACD（AC=1，CD=1+√2，∠D=22.5°），独立推导sin22.5°、cos22.5°、tan22.5°的值。

  （学生计算，教师巡视，个别辅导）

  计算过程：

  在Rt△ACD中，

  tan22.5°=AC/CD=1/(1+√2)=√2-1。（分母有理化）

  AD=√(AC²+CD²)=√[1²+(1+√2)²]=√[1+(1+2√2+2)]=√(4+2√2)。

  化简√(4+2√2)：设√(4+2√2)=√a+√b，平方得a+b+2√ab=4+2√2。则a+b=4，ab=2。解得a=2+√2，b=2-√2？需为有理数？实际上，取a=2，b=2？不行。发现(√(2+√2))²=2+√2，不匹配。尝试(√(√2+1)+√(√2-1))?过于复杂。实际上，4+2√2=2(2+√2)，不易写成完全平方和。可以保留为√(4+2√2)。有时也写作√(2(2+√2))。为了得到sin和cos的常见表达式，我们采用另一种策略：利用tan22.5°=√2-1，以及sin²θ+cos²θ=1，和tanθ=sinθ/cosθ来求。

  设sin22.5°=x，cos22.5°=y，则x/y=√2-1，x²+y²=1。

  由x=(√2-1)y，代入：[(√2-1)²y²]+y²=1=>((3-2√2)+1)y²=1=>(4-2√2)y²=1=>y²=1/(4-2√2)=(4+2√2)/[(4-2√2)(4+2√2)]=(4+2√2)/(16-8)=(4+2√2)/8=(2+√2)/4。

  所以cos22.5°=y=√[(2+√2)/4]=√(2+√2)/2。（因为22.5°在第一象限，余弦为正）

  同理，x²=1-y²=1-(2+√2)/4=(2-√2)/4。

  所以sin22.5°=x=√(2-√2)/2。

  教师板书整理22.5°角的三角函数值。并引导学生利用互余关系写出67.5°角的值。

环节四：方法比较，策略反思（约5分钟）

  师：今天我们探讨了多种构造22.5°角的方法。哪种方法在思维和计算上相对更优？为什么？

  生：最后一种“延长CB使BD=BA”的方法最简洁，直接构造出了以22.5°为锐角的直角三角形，边长关系简单，计算顺畅。

  师：是的。它的核心是利用了“外角等于不相邻两内角和”的性质，通过构造等腰三角形，将45°角“分配”成两个22.5°角。这体现了对基本几何性质深刻而灵活的运用。请同学们体会这种“无中生有”的创造过程。

（三）分层作业设计

  基础巩固：1.用课堂最终方案完整推导22.5°和67.5°的三角函数值。2.计算tan22.5°+cot22.5°的值。

  能力提升：1.尝试用“方案二（作角平分线后作高）”的方法，完整计算出22.5°的三角函数值，体会不同方法计算量上的差异。2.已知等腰三角形顶角为45°，求底角的正弦值。

  探究拓展：能否利用正方形构造出22.5°角？（提示：连接正方形对角线后，再进行折叠或分割）。

四、第三课时教学设计：融会贯通——构造法的综合应用与变式

（一）课时学习目标

  1.综合运用前两课时所学的构造思想与方法，解决更具复杂性和隐蔽性的非标准特殊角求值问题。

  2.能够在实际问题或复杂图形中，识别出隐含的15°、22.5°、75°等角，并主动构造直角三角形求解。

  3.掌握通过设未知数、列方程解决构造图形中边长问题的一般方法。

  4.发展数学建模能力，将现实问题或几何综合题抽象为特殊角的三角函数求解问题。

（二）教学过程实施

环节一：基础回顾，思维热身（约10分钟）

  师：我们已经拥有了两张“新武器图”——15°和22.5°的构造模型。请快速回顾关键数据和构造图形。

  （学生回忆，教师用几何画板快速展示两个经典构造图形：延长直角边构造等腰得15°；延长直角边构造等腰得22.5°）

  师：我们来做两个小热身：

  题1：如图，在△ABC中，∠C=90°，D是BC延长线上一点，且CD=CA，∠ADC=15°，若AC=1，求BD的长。

  （学生迅速识别出此图与15°构造图本质相同，BD=BC+CD=√3+2）

  题2：求sin²15°+sin²75°+tan22.5°·tan67.5°的值。

  （学生利用互余角关系及平方关系易得结果为2）

环节二：综合应用，典例精析（约30分钟）

  例题1（识别与直接应用）：

  师：（出示题目）在四边形ABCD中，∠A=90°，∠C=135°，AB=AD，连接BD，若AB=1，求BC的长。

  学生活动：先独立思考，尝试画图分析，再小组交流。

  引导分析：

  1.由AB=AD，∠A=90°，得△ABD是等腰直角三角形，BD=√2，∠ABD=∠ADB=45°。

  2.∠C=135°，如何利用？它可能与哪个特殊角有关？135°=180°-45°，也=90°+45°。图中，∠C与∠ABD、∠ADB有没有位置关系？需要连接AC吗？观察四边形内角和，∠ADC=360°-90°-135°-45°=90°。哦！原来∠ADC=90°。

  3.但求BC，需要将BC置于可解的三角形中。观察△ABC，已知AB=1，∠ABC=∠ABD=45°，∠BAC=90°，所以△ABC也是等腰直角三角形？不对，∠BAC是90°，如果∠ABC=45°，那么∠ACB=45°，但已知∠BCD=135°，如果∠ACB=45°，那么点A在BC上？这矛盾，说明点A、B、C不共线。需要重新审视图形。

  教师规范画图：依题意，四边形ABCD顺序为A、B、C、D。∠A=90°，AB=AD，故B、D在点A两侧。∠C=135°。连接BD。∠ABD=45°。我们要求BC。或许需要将BC和已知长度及角度联系起来。一个有效思路是：过点B作AD的平行线，或过点C作AB的平行线，构造包含BC的直角三角形。

  更优解：注意到∠BCD=135°，其邻补角为45°。延长DC、AB交于点E。则∠E=90°（因为∠A=90°，∠D=？需要计算）。在等腰Rt△ABD中，AB=AD=1，BD=√2，∠ADB=45°。在四边形ABCD中，∠D=360°-90°-135°-45°=90°。所以∠EDB=90°。又∠EBD=45°，所以△EBD是等腰直角三角形，ED=BD=√2，EB=2。

  现在，在Rt△EBC中，∠E=90°，∠ECB=45°（对顶角？∠ECB是∠BCD的邻补角，为45°），所以△EBC也是等腰直角三角形。BE=2，所以BC=BE/√2=√2。

  师：本题虽然未直接求三角函数值，但求解过程中频繁使用了45°角及其相关直角三角形的性质，是特殊角知识的灵活应用。

  例题2（主动构造解实际模型）：

  师：（出示题目）某测绘队需要测量一个小山丘的坡度，斜坡AB的长为100米，坡顶A处测得山下平地上一标志物C的俯角为75°，坡底B处测得同一标志物C的仰角为15°。求山丘的坡度（即坡角α的正切值）。

  建模分析：

  1.引导学生将文字转化为几何图形。画出水平线，点C在水平线上。A、B在斜坡上，A高B低。∠AC?俯角是从A观测C的视线与水平线的夹角，所以从A作水平线，俯角75°意味着∠CAH=75°（H是A在水平面上的正投影）。仰角是从B观测C的视线与水平线的夹角，所以∠CBH’=15°（H‘是B在水平面上的正投影）。但A、B、H、H’的位置关系需要明确。设水平线为l，过A、B分别作l的垂线，垂足为H、H‘。则AH、BH’是高度差。AB是斜边。

  2.目标：坡度tanα=(AH-BH‘)/(水平距离HH’)。但已知AB=100。

  3.观察图形中的角：∠CAH=75°，∠CBH‘=15°。这让我们联想到15°和75°角。能否构造出我们熟悉的模型？

  构造与求解：

  设CH=x。在Rt△AHC中，AH=CH*tan75°=x*(2+√3)。

  在Rt△BH‘C中，BH’=CH*tan15°=x*(2-√3)。

  所以，高度差h=AH-BH‘=x[(2+√3)-(2-√3)]=2√3x。

  水平距离s=HH’=CH+CH?不对，H和H‘在C的两侧吗？这取决于A、B、C的相对位置。假设C在山脚同一侧，通常A、B、C的投影点H、H’、C可能共线，且C在H和H‘之间？需要判断。由俯角和仰角的大小（75°>15°），说明从高处A看C更“陡”，所以AC更接近竖直，因此水平距离HC更短；从低处B看C更“平缓”，所以水平距离H’C更长。因此，C更靠近H，而离H‘较远。所以H、C、H’依次共线。故水平距离s=H’C-HC。

  而H‘C=CH*cot15°=x/(2-√3)=x(2+√3)，HC=CH*cot75°=x/(2+√3)=x(2-√3)。

  所以s=x(2+√3)-x(2-√3)=2√3x。

  惊讶地发现h=s！这意味着△ABH（或相关三角形）是等腰直角三角形？坡度tanα=h/s=1。所以α=45°。

  验证：斜边AB=100，那么h=s=50√2，符合勾股定理。

  师：这个美妙的结果（h=s）正是源于15°和75°角三角函数值的特定关系。本题展示了如何将实际问题抽象为几何模型，并利用特殊角三角函数值精确求解。

环节三：变式训练，拓展思维（约10分钟）

  变式题：求sin18°的近似值或精确表达式（选讲）。教师简要介绍黄金三角形（顶角36°的等腰三角形）及其与18°角的关系。展示如何通过设底边为1，腰长为x，利用相似或二倍角关系得到方程x²=1+x，解得x=(1+√5)/2（黄金比）。进而通过作底角平分线构造出含18°角的直角三角形，最终推导出sin18°=(√5-1)/4。此部分旨在开阔学生视野，感受数学的深度与美感，不要求所有学生掌握推导细节。

（四）分层作业设计

  基础巩固：1.整理本节课两道例题的解题思路。2.课本或练习册中涉及15°、22.5°、75°角的应用题2道。

  能力提升：1.在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=60°，BC=2√2，求AC的长。（提示：作高构造含特殊角的直角三角形）2.自己编拟一道能够运用22.5°角三角函数值解决的实际问题。

  探究拓展：了解并尝试推导cos36°的值（与黄金比相关）。

五、第四课时教学设计：思想升华与单元评价

（一）课时学习目标

  1.系统梳理本单元所学习的特殊角、构造方法、推导思路及核心数学思想。

  2.通过单元测评，检测对构造法求特殊角三角函数值的掌握程度及应用能力。

  3.欣赏数学构造之美，体会从“工具性理解”到“关系性理解”的飞跃，构建更加立体、互联的三角函数知识体系。

（二）教学过程实施

环节一：知识网络建构（约15分钟）

  师：我们共同用思维导图的形式，回顾本单元的学习之旅。

  （师生协作，在黑板上或使用课件构建思维导图）

  核心：“构造法求非标准特殊角三角函数值”

  一级分支：

  1.目标角：15°（45°-30°）、75°（45°+30°）、22.5°（45°/2）、67.5°（90°-22.5°）。拓展提及18°（36°/2）。

  2.核心构造策略：

    -和差构造法（如15°、75°）：通过延长线段，构造一个以已知特殊角（30°、45°）为底角的等腰三角形，利用外角定理得到新角。

    -半角构造法（如22.5°）：类似和差构造，关键也是构造等腰三角形，使顶角的外角或相关角为已知角的倍数。

    -通用思想：将目标角置于一个可解的直角三角形中。手段常为“无中生有”地添加辅助线（作垂线、延长、构造等腰三角形等）。

  3.关键计算工具：勾股定理、锐角三角函数定义、等腰三角形性质、角平分线性质、代数方程思想（设元）。

  4.渗透的数学思想：转化与化归思想、数形结合思想、模型思想、方程思想。

环节二：单元形成性评价（约25分钟）

  （进行一个小测试，时间20分钟，随后简要讲评5分钟）