小学数学三年级下学期第一次月考（数学建模能力培养）教学设计

小学数学三年级下学期第一次月考（数学建模能力培养）教学设计

一、教学背景与设计理念

（一）【重要核心】学情与教材分析

本次教学设计针对的是小学三年级下学期学生。经过两年半的数学学习，学生已经掌握了基本的加减乘除运算，认识了常见的平面图形，并具备了初步的逻辑思维能力和问题解决能力。然而，这个阶段的学生正处于从具体形象思维向初步抽象逻辑思维过渡的关键期，对于隐藏在现实情境背后的数学结构和数量关系，往往还缺乏自觉的提炼意识和系统的构建能力。本设计聚焦于“数学建模能力”的培养，旨在超越单纯的知识点记忆和技能操练，引导学生经历从现实问题中抽象出数学模型、运用模型解决问题、再对模型进行验证和解释的完整过程。教材内容主要围绕除数是一位数的除法、两位数乘两位数的乘法、以及年、月、日等与生活紧密相关的知识展开，这为数学建模提供了丰富的现实土壤。

（二）【设计理念】以建模为核心的教学重构

本设计秉承“问题情境——建立模型——解释应用——拓展反思”的数学建模教学范式。我们不再将数学知识视为孤立的结论，而是看作解决现实问题的工具。教学过程中，教师将创设真实、复杂且富有挑战性的问题情境，激发学生的内在需求，引导他们主动地用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。通过小组合作、自主探究、交流辩论等方式，学生将亲身参与模型的建构过程，深刻体会数学知识之间以及数学与外部世界的联系，从而提升数学核心素养，特别是数学抽象、逻辑推理和数学建模能力。这既是对第一次月考知识点的系统复习与整合，更是一次思维方式的升级。

二、【精准目标】基于核心素养的教学目标设定

（一）【重要】知识与技能目标

1.学生能熟练掌握除数是一位数的除法和两位数乘两位数的笔算方法，并能正确、熟练地进行计算。

2.学生能准确认识年、月、日的概念，掌握平年、闰年的判断方法，以及大月、小月的分布规律。

3.学生能运用上述知识，解决实际问题，初步体会同一数学模型可以应用于不同的问题情境中。

（二）【重要核心】过程与方法目标

1.经历从具体的生活情境（如购物分配、日程规划、时间计算）中收集信息、提出问题的过程。

2.能通过画图、列表等方式，整理和分析信息，尝试发现其中的数量关系或周期规律，并尝试用数学式子（模型）将其表示出来。这是建模的核心环节。

3.在小组合作中，能与同伴交流自己的思考过程和构建的模型，并对不同模型进行评价和优化。

（三）情感态度与价值观目标

1.在解决实际问题的过程中，感受数学的实用价值和魅力，增强学习数学的兴趣和自信心。

2.养成独立思考、认真计算、自觉检验的良好学习习惯。

3.培养勇于探索、严谨求实的科学态度，以及乐于合作、善于交流的团队精神。

三、【高频考点】第一次月考核心知识点梳理（建模的“原材料”）

（一）【基础】数与代数领域

1.【基础】除数是一位数的除法：包括口算除法（如60÷3）、估算（如178÷6≈30）、笔算（如648÷6、420÷3）。重点是商中间或末尾有0的除法，以及除法的验算方法。

2.【高频考点】两位数乘两位数的乘法：包括口算乘法（如12×20）、估算（如48×37≈2000）、笔算（如23×34、56×19）。重点是理解算理（特别是第二个因数十位上的数去乘第一个因数时，积的末位要与十位对齐），掌握算法，并能够解决相关的实际问题。

3.【重要】解决问题：运用乘、除法两步计算解决生活中的实际问题，如“连乘”问题（求几个相同物品的总价）、“连除”问题（平均分配问题）等。

（二）【难点】常见的量与时间领域

1.【基础】年、月、日的认识：一年有12个月，大月（31天）、小月（30天）及二月（平年28天、闰年29天）的区分和记忆方法（如歌诀法、拳记法）。

2.【难点】平年与闰年的判断：掌握判断方法，即公历年份是4的倍数的一般是闰年，但公历年份是整百数的，必须是400的倍数才是闰年。这是时间模型中一个重要的判别规则。

3.【高频考点】24时计时法与普通计时法的转化，以及简单的经过时间计算。这是建立时间线段模型的基础。

四、【重中之重】教学实施过程：在问题解决中建构数学模型

本次教学设计将以一个贯穿始终的大情境“小小生活规划师”为主线，将月考的核心知识点整合到一系列层层递进的建模活动中。

（一）创设情境，发现问题（建模的起点）

1.【情境导入】同学们，学校即将组织一次春季研学活动，我们班被光荣地任命为“活动策划小组”，需要为全年级的研学活动设计一份既经济又高效的方案。要完成这个任务，我们可需要不少数学知识来帮忙。今天，我们就化身为“小小生活规划师”，用我们学过的数学本领，来解决真实的问题。

2.【核心驱动问题】研学活动涉及交通、门票、午餐和时间安排。这里有三个核心任务等待我们完成：任务一，确定最优租车方案；任务二，预算门票和午餐费用；任务三，规划活动时间表。每个任务背后，都藏着一个数学小秘密，等着我们去发现和利用。

（二）任务一：租车方案中的除法模型（构建“总价÷单价=数量”及“有余数除法”模型）

1.【信息呈现】学校有248名师生参加研学。旅行社提供了两种车型：小巴士（限乘24人，租金每天400元），大巴士（限乘42人，租金每天700元）。要求是，所租车辆座位数必须不少于总人数，且尽量经济实惠。

2.【初步探索——建立单一模型】教师引导学生思考：“如果全部租小巴士，需要多少辆？”

（1）学生独立列式：248÷24。

（2）【重要】计算与讨论：学生尝试计算，发现248除以24，商10余8。此时引发核心冲突：“租10辆车，只能坐240人，还剩8人怎么办？”

（3）模型修正：在现实情境下，我们必须保证所有人都有座位，因此剩下的8人也需要一辆车。所以实际需要的车辆数应该是10+1=11辆。学生初步构建起“有余数除法在解决‘租车’这类实际问题时，通常需要采用‘进一法’取商的近似值”这一模型。

3.【方案比较——构建优化模型】

（1）教师引导：“如果全部租大巴士，需要几辆？总价是多少？”学生计算：248÷42=5（辆）……38（人），根据“进一法”需要6辆，总价700×6=4200元。

（2）教师进一步引导：“是不是只有全部租一种车这一种方案？我们能否组合租车，既保证座位够，又让租金最少？”这是本环节的高阶思维挑战。

（3）【核心难点】小组合作探究：学生分组讨论，尝试列举不同的租车组合方案。教师引导学生用列表的策略来整理信息，这本身就是一种数据建模。

（表格转化为文字描述）

小组汇报可能出现的方案：

方案一（全小）：11辆小巴士，座位264个，租金4400元。

方案二（全大）：6辆大巴士，座位252个，租金4200元。

方案三（混租）：5辆大巴士可坐210人，剩余38人。38÷24=1辆小巴士……14人，所以还需要2辆小巴士。即5大+2小，可坐210+48=258人，租金5×700+2×400=3500+800=4300元。

方案四（混租）：4辆大巴士可坐168人，剩余80人。80÷24=3辆小巴士……8人，所以还需要4辆小巴士。即4大+4小，可坐168+96=264人，租金4×700+4×400=2800+1600=4400元。

（4）【模型优化与决策】引导学生观察比较各方案。发现全大方案4200元，比方案三4300元和全小4400元都便宜。但还有没有更优的？继续引导：能否让空位尽可能少？因为空位意味着浪费。

启发学生思考：是否可以从大巴士数量入手，让剩余人数恰好是24的倍数？

尝试：用6辆大巴士，空位4个（252-248=4），租金4200元。

用5辆大巴士，坐210人，剩38人。38不是24的倍数，38÷24=1余14，若租2辆小巴，空位（48-38）=10个，租金4300元。

用4辆大巴士，坐168人，剩80人。80不是24的倍数，80÷24=3余8，若租4辆小巴，空位（96-80）=16个，租金4400元。

用3辆大巴士，坐126人，剩122人。122÷24=5余2，若租6辆小巴，空位（144-122）=22个，租金3×700+6×400=2100+2400=4500元。

【结论】通过枚举比较，发现全大方案（6辆）租金4200元是最低的。

（5）【建模反思】这个任务让我们经历了一个完整的建模过程：从实际问题（租车）抽象出数学问题（有余数除法），初步构建模型（进一法），到考虑现实约束（经济实惠），引入新变量（组合方案），建立更复杂的比较模型（列表枚举），最终通过数据分析，找到了最优解。这个模型，本质上是“总量、单价、数量”关系与“优化思想”的结合。

（三）任务二：门票与午餐中的乘法模型（构建“单价×数量=总价”及“连乘”模型）

1.【信息呈现】门票：学生票价每人15元，成人票价每人25元。我们年级共有学生235人，随行老师13人。午餐：学校统一提供套餐，每份18元，包含一盒牛奶和一份三明治。另外，每个班级还需要额外购买一大桶分享装的果汁，每桶35元，全年级共有6个班。

2.【分步建模——门票费用】

（1）学生独立计算门票总费用。这需要建立两个乘法模型并求和。

（2）模型A：学生票总价=单价×数量=15×235。

（3）【重要】计算与交流：学生笔算15×235。此处可复习两位数乘三位数的计算方法（虽非本册核心，但可拓展），或分拆为15×200+15×35。教师引导学生将计算过程与实际问题对应起来。

（4）模型B：成人票总价=25×13。

（5）门票总费用模型：总价=学生票总价+成人票总价。

3.【复杂建模——午餐费用】

（1）问题呈现：“每人一份套餐，每班一桶果汁。午餐一共需要多少钱？”

（2）【核心挑战】学生需要提取信息，构建一个两步计算的乘法模型（即“连乘”问题）。

（3）小组探究：学生尝试列式。可能出现两种思路：

思路一：先求套餐总价，再求果汁总价，最后相加。

套餐总价=18×(235+13)=18×248

果汁总价=35×6

总价=18×248+35×6

思路二：有人可能会想，总人数是248人，总班数是6个班，但单位不同，不能直接相乘。必须分步。

（4）【模型建构关键】引导学生理解，虽然问题情境变复杂了，但核心模型依然是“单价×数量=总价”。只是这里的“总价”由两个不同性质的“单价”和“数量”关系组合而成。因此，解题的关键是理清数量关系，将大问题分解为几个小模型，再组合起来。

（5）计算与验证：学生笔算18×248（复习两位数乘三位数）和35×6，最后相加。并估算结果是否合理。

（四）任务三：时间规划中的周期与经过时间模型（构建“时间线段图”与“周期计算”模型）

1.【信息呈现】研学活动当天安排如下：8：30从学校出发（使用24时计时法），预计9：15到达研学基地。上午在A区域活动3小时40分钟，然后在基地餐厅用餐1小时15分钟。下午第一个活动从14：00开始，持续1小时30分钟，接着是自由活动时间。最后一个集体项目是15：45开始的闭营仪式，时长45分钟。仪式结束后立即乘车返校，车程与来时相同。

2.【建立时间线段模型——求结束时间】

（1）问题1：“上午的活动到几点结束？我们什么时候开始吃午饭？”

（2）引导学生画时间线段图。起点是9：15，经过3小时40分钟，结束时间是多少？

（3）【重要】计算方法讨论：可以时和时加，分和分加。9时+3时=12时，15分+40分=55分，所以结束时间是12：55。

（4）【难点突破】12：55是普通计时法，在日程安排中，我们通常用24时计时法。引导学生将其转化为12：55。然后午餐1小时15分钟，从12：55开始，结束时间就是14：10（12：55+1小时15分=14：10）。

3.【构建周期与经过时间模型——求活动时长】

（1）问题2：“下午第一个活动从14：00开始，1小时30分钟后结束，请问结束时间是几点？从活动结束到闭营仪式开始，中间的自由活动有多长时间？”

（2）第一问：14：00+1小时30分=15：30。

（3）【核心建模】第二问：求从15：30到15：45之间有多长时间。这是计算经过时间。引导学生理解，这是在时间线段图上求“一段线段”的长度。可以用减法：15时45分-15时30分=15分钟。

（4）问题3：“我们几点能回到学校？”这是一个典型的“求结束时间”模型。

需要先求出车程时间：从8：30到9：15，经过了45分钟。

仪式结束时间：15：45+45分钟=16：30。

再加上回程的45分钟，16：30+45分=17：15。

所以回到学校的时间是17：15。

（5）【模型拓展】教师可以引导学生将时间安排想象成一个周期性的钟表模型，任何时间点的计算，都可以看作是在这个圆盘上的加减。

（五）模型应用与反思（建模的检验与升华）

1.【回顾与总结】今天，我们作为“小小生活规划师”，成功地运用除法模型、乘法模型和时间模型，解决了研学活动中的一系列现实问题。请同学们回顾一下，在解决租车问题时，我们遇到了什么困难？是怎么克服的？在计算午餐费用时，我们是怎样一步步列出算式的？在计算时间时，我们用了什么好办法？

2.【变式练习，检验模型】

（1）【基础巩固】如果老师人数不变，学生人数变为240人，重新考虑租车方案，哪个方案最省钱？让学生在变式中巩固“进一法”和“优化”模型。

（2）【变式拓展】如果餐厅提供的套餐有两种选择：A套餐18元（含牛奶和三明治），B套餐15元（只含三明治），但需要自备牛奶，而我们知道一瓶牛奶的单价是