单元五：分数除法-运算一致性与模型意识的深度建构（五年级下册）

单元五：分数除法——运算一致性与模型意识的深度建构（五年级下册）

一、单元整体概览与核心素养锚定

（一）单元教学内容重构

本单元隶属于“数与代数”领域，是小学阶段除法运算的延伸与升华。本单元教学并非孤立的技能训练，而是基于“大单元”理念，将学习内容重构为“意义理解—算法探析—模型应用”三大板块。主要包含：分数除以整数、一个数除以分数（含整数除以分数和分数除以分数）、分数除法混合运算以及“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题。本单元的核心在于打通整数、小数、分数除法之间的“隔断墙”，在学生心中建立起“除法就是计数单位个数相除”的统一认知。

（二）核心素养具体化

【核心素养】运算能力、推理意识、模型意识、几何直观。

本单元致力于让学生在探索算法的过程中，通过转化、数形结合等思想方法，体会“讲道理”的数学精神，实现从“机械计算”向“理解性学习”的跨越。具体表现为：能清晰阐述算理（推理意识），能灵活选择算法（运算能力），能借助图形表征数量关系（几何直观），能提炼数学模型解决实际问题（模型意识）。

二、学情精准研判与教学逻辑起点

（一）知识经验基础【基础】

学生已熟练掌握整数除法的意义、分数乘法的计算方法及倒数的认识。这些是学习本单元的知识“生长点”。然而，学生长期形成的整数运算思维定式可能会产生负迁移，例如对“除以一个数等于乘它的倒数”这一算法感到突兀，不理解“为什么倒数”的深层原因。

（二）认知障碍点分析【难点】【非常重要】

1.算理理解的断层：学生能机械套用“颠倒相乘”的法则，但对于“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”的推导过程缺乏本质理解，尤其是除数是分数的情形，难以想象“包含除”的实际意义。

2.数量关系的混淆：在解决实际问题时，对于“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题，学生容易与分数乘法问题混淆，单位“1”的判断成为主要障碍。

3.运算一致性的贯通：难以自主建立起分数除法与整数除法、小数除法在“计数单位细分与累加”上的内在联系。

三、教学目标层级定位

（一）基础性目标（全员达成）

1.理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算方法，能正确、熟练地进行计算【高频考点】。

2.掌握倒数的概念，能求出一个数的倒数。

（二）拓展性目标（核心突破）

1.经历折一折、画一画、算一算的探究过程，理解分数除法算理，体会“转化”与“数形结合”的数学思想【重要】。

2.能借助线段图分析数量关系，掌握“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的解题方法，形成模型意识【非常重要】【高频考点】。

（三）挑战性目标（思维延伸）

1.沟通整数、小数、分数除法的内在联系，感悟运算的一致性，提升抽象概括能力。

2.在解决复杂实际问题中，能够根据具体情境灵活选择策略，发展创新意识。

四、教学实施过程深度设计（核心篇幅）

本单元教学划分为四个课时群，遵循“算理直观—算法抽象—模型建构—拓展应用”的认知路径。

第一课时：分数除以整数——计数单位的等分（种子课）

（一）情境创设，激活经验

呈现问题：将一张长方形纸的4/7平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？

引导学生列出算式：4/7÷2。

引发认知冲突：分数除以整数，我们该怎样计算？它的意义和整数除法一样吗？（强调平均分）

（二）操作探究，图解算理

1.【核心活动】学生拿出准备好的圆形或长方形纸片，通过折一折、涂一涂的方式表示4/7，并尝试将其平均分成2份。

2.【非常重要】展示两种典型方法：

A.将4/7看作是4个1/7，平均分成2份，每份得到（4÷2）个1/7，即2个1/7，结果是2/7。板书：4/7÷2=(4÷2)/7=2/7。（分子能被整数整除时适用）

B.在分子不能被整除时怎么办？引入关键情境：将同一张纸的4/7平均分成3份（4/7÷3）。此时学生发现4除以3除不尽。引导学生思考：能否将4/7这个分数进行“通分”或“细分”？

教师引导学生通过折叠发现：将4/7的每一份再细分成3小份，整个图形就被平均分成了7×3=21份，取其中的4份，即4/7=12/21。将12个1/21平均分成3份，每份是4个1/21，即4/21。这一过程直观展示了“除以3”等于“乘1/3”的道理。

（三）算法归纳，符号抽象

1.引导学生对比两组算式：4/7÷2=4/7×1/2=4/14=2/7；4/7÷3=4/7×1/3=4/21。

2.学生小组讨论：分数除以整数（0除外），可以怎样计算？

3.师生共同总结法则：分数除以整数（0除外）等于分数乘这个整数的倒数。板书核心：除号变乘号，除数变成它的倒数【基础】【高频考点】。

（四）沟通联系，感悟一致性

追问：为什么要0除外？这个法则和整数除法有联系吗？引导学生回顾整数除法如12÷3=4，也可以看作是12乘1/3，初步渗透“除法是乘法的逆运算”及运算一致性。

第二课时：一个数除以分数——包含除的深度解构（核心课）

（一）问题导向，引发深度思考

创设情境：淘气用2小时走了3km，他平均每小时走多少千米？学生列出算式2÷2/3？或者直接给出问题：有2米长的绳子，每2/3米截成一段，可以截成几段？

核心问题：2÷2/3到底等于多少？为什么等于“2×3/2”？

（二）数形结合，突破算理难关【难点】【非常重要】

以“2÷2/3”为例（求2里面有几个2/3）。

1.画图说理：引导学生画一条线段表示“1米”，那么“2/3米”就是将其平均分成3份取2份。求2米里面有几个2/3米？

第一步：先在图上标出2米。

第二步：思考如何度量。学生通过画图发现，2米可以看成是6个1/3米。

第三步：2/3米需要2个1/3米。那么6个1/3米里面包含了3个2/3米。

2.算式推导：

方法一：利用商不变规律。2÷2/3=(2×3)÷(2/3×3)=6÷2=3。

方法二：利用单位细分。2=6/3，6/3÷2/3=(6÷2)=3。（这里再次强化“计数单位相同则直接除”的思想）。

方法三：转化为乘法。2÷2/3=2×3/2=3。

3.【重要】教师关键引导：这里的“3/2”是怎么来的？引导学生观察，2÷2/3实际上是要求2里面有多少个2/3，通过图形我们看到了是“2×3÷2”的过程，也就是先看2里面有多少个1/3（乘3），再合并成2/3（除以2），因此归结为“乘倒数”。

（三）归纳通则，完成算法建构

1.比较分数除以整数和整数除以分数，引导学生发现共同点：无论是分数除以整数，还是整数除以分数，或者是分数除以分数，计算方法都可以统一为：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。

2.板书核心公式：a÷b=a×1/b(b≠0)延伸至分数形式：c/d÷e/f=c/d×f/e。

3.【高频考点】专项练习：判断计算是否正确，重点纠正“只变除数不变被除数”或“把被除数也颠倒了”的典型错误。

（四）代数推理，提升思维

对于学有余力的学生，引导用代数思维理解：为何除以一个分数等于乘它的倒数？如设x=a÷(b/c)，则x×(b/c)=a，两边同乘c/b，x=a×c/b。实现从直观几何到抽象代数的过渡。

第三课时：分数除法混合运算与简便计算（技能形成课）

（一）运算顺序的确认【基础】

呈现算式：6/7÷3/14×8/9。学生独立试算，汇报交流。

强调：分数除法的混合运算顺序与整数相同，都是同级运算从左往右依次计算。有括号的先算括号里面的。核心提醒：在脱式计算中，遇到除法必须先将除法转化为乘法，再运用乘法运算律进行简便计算，切不可“先乘后除”随意调换顺序。

（二）简便计算的运用

1.观察算式：(7/8+13/16)÷13/16。引导学生发现，将除法转化为乘法后，可以运用乘法分配律进行简算。即原式=(7/8+13/16)×16/13=7/8×16/13+13/16×16/13。

2.【易错点强调】避免出现类似于(7/8+13/16)÷13/16=7/8÷13/16+13/16÷13/16的错误，必须强调“除以一个数”转化成“乘倒数”后才能运用分配律的本质。

（三）实际应用中的技能整合

解决如“修一条路，第一天修了全长的2/5，第二天修了剩下的3/4，还剩下120米，求全长”等需要综合运用混合运算和逆向思维的问题，培养学生分析问题的条理性。

第四课时：分数除法应用专题——“量率对应”模型的构建（压轴课）

（一）对比引入，辨析异同

出示两组题：

第一组（乘法）：小明体重30kg，小红体重是小明的5/6，小红体重多少？

第二组（除法）：小红体重25kg，是爸爸体重的5/12，爸爸体重多少？

引导学生对比分析：两道题的单位“1”分别是什么？已知什么，求什么？通过对比，凸显两类题的本质区别：乘法是已知单位“1”求部分量；除法是已知部分量求单位“1”。

（二）画图建模，破解难点【非常重要】【高频考点】

1.以“爸爸体重问题”为例：小红体重25kg，是爸爸的5/12。

核心步骤：先找准单位“1”（爸爸体重），画出线段图。把爸爸体重看作单位“1”，平均分成12份，小红的体重相当于其中的5份，是25kg。

数量关系式：爸爸体重×5/12=小红体重。

列方程求解：设爸爸体重为x千克