三角形三边的垂直平分线-初中-数学-教学设计

第一章三角形的证明1.3.2三角形三边的垂直平分线成兴阁西安滨河学校教材分析“线段垂直平分线（第二课时）”选自《义务教育课程标准实验教科书（北师大版）·数学》八年级下册第一章第三节第二课时.本节课主要研究的是线段垂直平分线相关的结论以及如何运用尺规作出符合条件的等腰三角形，这是在已经学习过等腰三角形、线段垂直平分线的性质和判定定理等知识的基础上进行的，它既是前面所学知识的深化和应用，又为后期学习角平分线相关性质的研究提供了基本思路，即“数学类比研究思想”的再应用，所以它在教材中处于非常重要的地位.学情分析通过对前面相关内容的学习，学生对如何证明一个命题已经积累一些经验并掌握了必要的方法.但是要证明三角形三边垂直平分线交于一点对学生来说还是较抽象的，因此，教学时，教师对此不要操之过急，应逐步引导学生理解．同时学生有了一定的合作学习的基础，有了一定的学习能力，教学中要安排一定的合作交流与自主学习的机会，加强学生之间的交流.教学建议从学生的知识水平出发，设置问题，激发学生思考，启动学习所必需的先前经验，唤起学生的学习需要.让学生多种感官参与，开展操作活动，并与积极的思维活动紧密结合.从动手操作、观察发现、作图验证的思路，引导学生从特殊到一般性问题的研究方法，为学生提供参与数学活动的时间与空间，进而为垂直平分线相交于一点以及交点到三角形三个顶点的距离相等的逻辑认证提供直观铺垫.分层设计问题，逐步引导学生感受作图唯一性的条件.运用变式练习，巩固所学的垂直平分线相关重要结论以及对尺规作图的理解，培养学生系统运用知识的能力，通过当堂检测学生的学习效果.目标与素养1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点.2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．4.学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．情境与问题利用学生感兴趣的图形的变化，激发学生的学习兴趣以及求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时让学生回顾轴对称图形的概念，为新课的学习做好铺垫.过程与方法在学生实践操作、合作探究的基础上，运用直观教学发现法启发学生发现知识，再运用启发式教学法引导学生运用知识分析和解决问题，并利用多媒体辅助教学.教学重难点重点：1、能够证明与线段垂直平分线相关的结论．2、已知底边和底边上的高，能利用尺规作出等腰三角形．难点：证明三线共点.教学过程教学步骤师生活动设计意图回顾1.线段垂直平分线的性质定理是什么？如何用几何语言表示？2．线段垂直平分线的判定定理是什么？如何用几何语言表示？复习回顾相关知识，为学习新知做好铺垫.活动一：创设情境、导入新课【课堂引入】准备一张三角形纸片，根据对称性，用折叠的方法找出每条边的垂直平分线，观察这三条边的垂直平分线，你有什么样的发现？与同组同学进行交流.让学生自己动手，通过折纸的方式来发现三角形三条边的垂直平分线相交于一点的特性，加深学生的直观印象.活动二：实践探究、交流新知【探究新知】1．三角形三条边的垂直平分线的性质求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等．已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，连接AP，BP，CP.求证：边AC的垂直平分线经过点P，且PA＝PB＝PC.证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)．同理，PB＝PC.∴PA＝PB＝PC.∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P.2．已知等腰三角形的底边和该边上的高，求作等腰三角形．(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？如果能，能作几个？学生小组讨论，并尝试作出草图，验证自己的结论．(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如图所示．从上图我们会发现，先作已知线段BC＝a；然后再作BC边上的高h，但垂足不确定，我们可将垂足取在线段BC所在直线上的任意一点D，过此点作BC边的垂线，最后以D为端点在垂线上截取AD(或A1D)，使AD＝A1D＝h，连接AB，AC(或A1B，A1C)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的三角形有无数多个．这些三角形不都全等．(2)已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因此只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一点(与底边的交点除外)，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形，如图所示．注意：不是底边的垂直平分线上的任意一点都满足条件，底边的中点在底边上，此时不能构成三角形．(3)如果等腰三角形的底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图所示．1.让学生利用证明的方法掌握三角形三边垂直平分线的性质，并掌握其证明的方法和步骤．通过巩固练习让学生能够进一步掌握线段垂直平分线的性质的应用．2．让学生掌握如何在已知底边和高的情况下作一个等腰三角形，同时进一步使学生掌握线段垂直平分线的作法．活动三：开放训练、体现应用【典型例题】例1如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10.(1)求BC的长；(2)试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由．解：(1)∵l1垂直平分AB，∴DB＝DA.同理EA＝EC.∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝10.(2)点O在边BC的垂直平分线上．理由：连接AO，BO，CO，∵l1，l2分别是线段AB，AC的垂直平分线，∴AO＝BO，CO＝AO.∴BO＝CO.∴点O在边BC的垂直平分线上．例2尺规作图：如图，已知线段a，求作△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，高AD＝2a.解：如图．①作射线BE，在射线BE上截取BC＝a.②作BC的垂直平分线EF，交BC于点D.③在EF上截取AD＝2a，连接AB，AC，则△ABC即为所求．【变式训练】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ的周长为12，BC的长为8，求PQ的长．解：(1)设∠PAQ＝x°，∠CAP＝y°，∠BAQ＝z°，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ.∴∠B＝∠BAP＝(x＋z)°，∠C＝∠CAQ＝(x＋y)°.∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°，即x＋y＋z＝80，x＋z＋x＋y＝100.∴x＝20.∴∠PAQ＝20°.(2)∵△APQ的周长为12，∴AQ＋PQ＋AP＝12.∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12.∴CQ＋BQ＋2PQ＝12，即BC＋2PQ＝12.∵BC＝8，∴PQ＝2.师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法.通过例题的解决，加深学生对本课知识的掌握，使学生进一步熟练掌握利用尺规作一条已知线段的垂直平分线.活动四：课堂检测【课堂检测】1.某地兴建的幸福家园的三个出口A，B，C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划建设前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应该安装在△ABC(A)A．三条边的垂直平分线的交点B．三个角的角平分线的交点C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点第1题图第2题图2．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠AOC＝78°，则∠1的度数为39°．3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角．(1)画出边BC上的中线AD；(2)画出边BC上的高AH.解：(1)(2)如图所示．师生活动：学生进行课堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.通过设置课堂检测，进一步巩固新知，及时检测学习效果，做到“堂堂清”.课堂小结1.课堂小结：(1)本节课你学到了什么知识？(2)还存在什么困惑？2．布置作业：(1)教材第26页随堂练习．(2)教材第26页习题1.8第1，2题.锻炼学生的语言表达能力和归纳总结能力，巩固所学知识.教学反思《三角形三边的垂直平分线》是北师大版八年级下学期的内容，本节课力图突出教学中学生的主动探究和知识的发生、发展、和形成，并注重学生的认知规律，培养了学生主动探求知识的精神和思维的条理性.通过让学生自己动手折纸的方式来发现三角形三条边的垂直平分线相交于一点的特性，加深学生的直观印象，激发学生的学习兴趣以及求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，吸引学生的注意力；让学生利用证明的方法掌握三角形三边垂直平分线的性质，并掌握其证明的方法和步骤发,展学生逻辑推理思维，巩固前面所学知识的同时，也是对所学知识的一种灵活运用；通过巩固练习让学生能够进一步掌握线段垂直平分线的性质的应用．学习过程中，充分发挥了学生学习的主动性，体现了学生的主体地位，学生学习积极性很高，对数学学习有着浓厚的兴趣，同时在不断探究发现的过程中体验了成功的快乐.习题训练中，学生参与积极,通过一系列的练习培养学生思维的流畅性，使学生特别是学有困难的学生都能达到基本的学习目标.在教学中让学生动手操作去主动地获得性质方法，并学习用语言描述出事实结论；鼓励学生进行有价值的思维探索；小结交流所学所获所感。整节课呈现一种层层推进的节奏，环环相扣的衔接，整节课的设计中较多注重方法的获得与解释运用，强调师生协作、生生协作，主动性学习、和探究性学习.反思整节课，第一注重问题的设计，用学生通过折纸引发问题，切入主题.过渡自然，衔接流畅.第二、强调学