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谈向量在立体几何中求线线所成角的应用王丽君珠海市广东实验中学金湾学校摘要：在空间立体几何中，求解直线与直线所成角问题是高考考察的热点，通常在一些不易找到平面垂线以及较难构造空间直角坐标系时，选择通过非坐标化的向量运算，可以快速解决问题，达到了很好的效果。关键词线线所成角非坐标化的向量运算用向量解题有两种方式可供选择，一种是直接用向量代数式运算，一种是向量的坐标运算。一般来说，用向量的坐标运算，思维量更好，运算技巧性更低，更容易掌握，因而我们应尽可能采用坐标运算方式。坐标运算方式的弱点是要十分精确的写出各个点的坐标，准确无误地写出相关向量的坐标，坐标一错则全盘皆错。另外，有些情况下可能并不是很方便建立直角坐标系，此时不妨考虑用代数式运算，只是运算技巧相对要强一些。用代数式运算方式的要点是在空间图形中选择一组合适的基地，一般选其起点的三个不共面的向量构成基底，这样图形中任何其他向量总可以用这一组基底表示，把相关向量表示出来后，就可用向量内积运算来讨论向量所成的角，特别是通过内积为零来证明线线垂直，用向量共线来说明线线平行等等。例1四面体中，，，，若异面直线与所成的角为，求的值.解法一如图1所示，构造一个长方体，使上述四面体的棱长就是这个长方体的面对角线，令长方体的长、宽、高分别为、、，则，，，三式相加可得 ， 则 ， 于是所求的就是两条对角线所夹的非钝角，利用余弦定理，并注意到，故 解法二在解法一的基础上，在长方体中建立适当的空间三维坐标系，很容易求出个点的坐标，然后进行运算。解法三事实上，我们也可以直接对四面体建立适当的空间三维坐标系，也很容易设出各点的坐标，然后进行运算。解法四如图2所示，令，，，由已知得到，于是，即，平方整理得到 同理可得 由向量的数量积可得 ， 又由 ， 同时注意到，故.图1图2图3例2三棱锥中，、、两两成角，且，，，求直线与直线所成角的余弦值。解法一设直线与直线所成角为，如图3所示，构造正方体，以及延长，使得，延长，使得，可以发现、、两两成角，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，即点与点重合。计算得正方体边长，直线与直线所成角，即为直线与直线所成角，亦为直线与直线所成角，在中，由余弦定理知 . 解法二在解法一的基础上，在正方体中建立适当的空间三维坐标系，很容易求出个点的坐标，然后进行运算。解法三事实上，我们也可以直接对四面体建立适当的空间三维坐标系，也很容易设出各点的坐标，然后进行运算。解法四设直线与直线所成角为，如图所示，令，，，由条件知： ， ， 由，在中，由余弦定理，知，又由，故。推广三棱锥中，与成角，与成角，与成角，且，，，则直线与直线所成角的余弦值. 对于四面体线线所成角，首先关注的是有何条件可以确定该四面体，知6条边，或者3角3边，这样通过上述两个例子所述方法，可以解决四面体的线线角问题。值得注意的是：在有坐标的情况下进行

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