【 数学 】提公因式法课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4.2

提公因式法

4.2

提公因式法

第1课时公因式为单项式的因式分解1.能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点）2.能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点）

1.多项式ma+mb+mc有哪几项？2.每一项的因式都分别有哪些？3.这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因式是什么？ma,mb,mc依次为m,a和m,b和m,c有，为m4.请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式.ab问题1：多项式ab+bc各项都含有相同的因式吗？问题2：多项式3x2+x呢？多项式nb2+nb-b呢？你能尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积吗？并与同伴进行交流.有相同因式：b.多项式3x2+x各项都含有相同因式：x，多项式nb2+nb-b各项都含有相同因式：b.探究一：公因式的定义我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.如b就是多项式ab+bc各项的公因式.相同因式p公因式的定义想一想：这个多项式有什么特点？pa+pb+pc做一做：找3x2–6xy中各项的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x

所以3x2–6xy中各项的公因式是3x.指数：相同字母的最低次幂1正确找出多项式各项公因式的步骤：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.

2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.

3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.

1.多项式6ab2c-3a2bc+12a2b2中各项的公因式是(

)A.abc

B.3a2b2

C.3a2b2c

D.3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，可知公因式为3ab.故选D.D探究二：提公因式因式分解议一议：(1)多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？(2)你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流.多项式2x2+6x3中各项的公因式是2x2.2x2+6x3=2x2·1+2x2·3x=2x2(1+3x)提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫做提公因式法.(a+b+c)pa+pb+pcp=做一做：分解因式：8a3b2+12ab3c.分析：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；

第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.解：8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc)如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式是b.例1

把下列因式分解：(1)2mn+4m2;(2)7p2-21p;(3)8a3b2-12ab3c+ab;(4)-24x3+12x2-28x.解：(1)2mn+4m2=2m·n+2m·2m=2m（n+2m）；(2)7p2－21p=7p·p

－7p·3=7p(p－3)；(4)－24x3+

12x2－28x

=－(24x3

－12x2+28x)=－(4x·6x2

－4x·3x+4x·7)=－4x(6x2

－3x+7).当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.(3)8a3b2－12ab3c+ab=ab·8a2b－

ab·12b2c

+ab·1=ab(8a2b－12b2c+1).当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.分解因式要注意：1.分解因式是一种恒等变形；2.公因式要提尽；3.不要漏项；4.提负号，要注意变号.2.已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．∴原式＝ab(a＋b)

＝4×7

＝28.解：∵a＋b＝7，ab＝4，方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.想一想：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？单项式乘多项式多项式提公因式法单项式与多项式的积提公因式法因式分解与单项式乘多项式互为逆运算.3.多项式8x4y3﹣12x2y5的公因式是（）A．x2y3

B．x4y2

C．4x2y5

D．4x2y3D4.把多项式﹣4a3+4a2﹣16a分解因式（）A．﹣a(4a2﹣4a+16)B．a(﹣4a2+4a﹣16)

C．﹣4(a3﹣a2+4a)

D．﹣4a(a2﹣a+4)D解:

2x4y3-x3y4=x3y3(2x-y)=(xy)3(2x-y).

1.多项式x2-x提取公因式x后,另一个因式是 ()A.x2-1

B.x-1C.x

D.x2-x2.若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15 B．15C．2 D．﹣8AB3.计算（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1，得（）A．3m﹣1

B．（﹣3）m﹣1

C．﹣(﹣3)m﹣1

D．(﹣3)mC4.把下列多项式分解因式：

(1)-3x2+6xy-3xz；

(2)3a3b+9a2b2-6a2b.解：(1)-3x2+6xy-3xz=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z=-3x(x-2y+z).

(2)3a3b+9a2b2-6a2b=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2=3a2b(a+3b-2).5.计算:(-2)21+(-2)20+6×219.解:(-2)21+(-2)20+6×219=(-2)21+(-2)20+3×220=-221+220+3×220=220(-2+1+3)=221.公因式提公因式法（1）确定公因式的方法:三定，即定系数;定字母;定指数.注意:1.分解因式是一种恒等变形;2.公因式要提尽;3.不要漏项;4.提负号,要注意变号.公因式为单项式的因式分解4.2

提公因式法

第2课时公因式为多项式的因式分解1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；（重点）2.能运用整体思想进行因式分解.（难点）1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；2.公因式的系数是多项式各项__________________;3.字母取多项式各项中都含有的____________;4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即_________.提公因式法因式分解的一般步骤：系数的最大公约数相同的字母最低次幂思考：下面的多项式有公因式吗？（1）a(x-y)-b(x-y);（2）2a(b+c)-3(b+c);（3）a(x-3)+2b(x-3);（4）y(x+1)+y2(x+1)2.以上多项式有公因式，并且是多项式形式，那么怎样因式分解呢？x-yb+cx-3y(x+1)例1

把下列各式因式分解.（1）a(x-3)+2b(x-3)；

（2）y(x+1)+y2(x+1)2.解:（1）a(x-3)+2b(x-3)

=(x-3)(a+2b);（2）y(x+1)+y2(x+1)2

＝y(x+1)[1+y(x+1)]＝y(x+1)(xy+y+1).探究：提公因式为多项式的因式分解提公因式法因式分解的注意事项：1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.（1）x(a+b)+y(a+b)

;（2）3a(x－y)－(x－y)

;（3）

6(p+q)2－12(q+p)

.1.把下列各式因式分解：=(a+b)(x+y)=(x－y)(3a－1)=6(p+q)(p+q-2)4.把多项式m(n-2)-m2(2-n)因式分解得(

)A.(n-2)(m2+m) B.(n-2)(n-m)2C.m(n-2)(m+1) D.m(n-2)(1-m)3.下列因式分解正确的是(

)A.mn(m-n)-m(n-m)=-m(n-m)(n+1)B.6(p+q)2-2(p+q)=2(p+q)(3p+q-1)C.3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)D.3x(x+y)-(x+y)2=(x+y)(2x+y)AC例2

把下列各式分解因式.（1）a(x-y)+b(y-x)；

（2）6(m-n)3-12(n-m)2.解：(1)a(x-y)+b(y-x)

=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b);(2)6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3

-12[-(m-n)]2=

6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2)互为相反数互为相反数两个只有符号不同的多项式是否有关系，有如下判断方法:(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.

如:a-b和-b+a

即

a-b=-b+a

(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.

如:

a-b和b-a

即

a-b=-(a-b)

则(a-b)n

=(b-a)n

(n是偶数）,

(a-b)n

=-(b-a)n(n是奇数）.2.把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是()A.8(7a-8b)(a-b)B.2(7a-8b)2C.8(7a-8b)(b-a)D.-2(7a-8b)解析：(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)＝(3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)·(7a-8b)＝(7a-8b)［(3a-4b)-(11a-12b)］＝(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)＝(7a-8b)(-8a+8b)＝8(7a-8b)(b-a).C如图

，有三张不同型号的长方形卡片。(1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗?(2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗?(3)依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解?你是怎样想的?nanba+bm①②③如图

，有三张不同型号的长方形卡片。(1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗?nanb①②nanb①②

将

②

旋转90°，然后把两个长方形长度为

n

的边拼在一起即可得到一个新的长方形。(2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗?a+bmanb①②③把(1)得到的长方形和

③

两个长方形长度为

a+b

的边拼在一起得到一个新的长方形。(3)依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解?你是怎样想的?nanb①②根据（1）拼组前后面积相等，得：a×n+b×n=(a+b)×n.a+bmanb①②③根据(2)拼组前后面积相等,得：a×n+b×n+(a+b)×m=(a+b)×n+(a+b)×m=(a+b)×(m+n).3.如图，边长为

a，b

的长方形的周长为10，面积为6，则a2b＋ab2的值为

．30ab2.若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是()A.3B.2

C.1

D.－11.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于()A.y－xB.x－yC.3a(x－y)2D.－3a(x－y)CA6.已知a+b=5，ab=4,则ab2+a2b-a-b=

.5.已知x2+3x-2=0，则2x3+6x2-4x=

.4.把多项式(m+1)(m-1