【 数学 】公式法教学课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

4.3

公式法

4.3

公式法

第1课时运用平方差公式因式分解1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想；（重点）2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.（难点）填空：

（1）（x+5）（x-5）=

；（2）（3x+y）（3x-y）=

；（3）（3m+2n）（3m–2n）=

．它们的结果有什么共同特征？以上都是用平方差公式：(a+b)(a-b)＝a2-b2计算得出来的.整式的乘法

（x+5）（x-5）（3x+y）（3x-y）

因式分解它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？共同特征：两个数（式）的平方差可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式,这种变形就是我们今天学习的内容.尝试将上面的结果分别写成两个因式的乘积：探究一：用平方差公式因式分解把乘法公式(a+b)(a-b)＝a2-b2反过来，就得到a2-b2＝(a+b)(a-b).注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:a2-b2.即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.

下列多项式能否用平方差公式来分解因式，如果能，请将其转化成（）²－（

）²的形式.

不能转化为平方差形式.不能转化为平方差形式.

解：（1）25-16x2

=52-(4x)2=(5+4x)(5-4x)；归纳：第一步，将两项写成平方的形式，找出a，b;

第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式.

观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解.

还能继续分解吗？

(2)x3y2-xy4＝xy2(x2-y2)有公因式的要先提公因式,再进一步分解.＝xy2(x+y)(x-y).解：(1)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-22)=2x(x+2)(x-2).例2把下列各式因式分解：（1）2x3-8x；

（2）9(m+n)2-(m-n)2.（2）9(m+n)2-(m-n)2

=[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n);

当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解.（4）计算：1002-992+982-972+962-952+…+22-12=

.（3）因式分解：2a2-18=

.（2）若x2-9=(x+a)(x+3),则a=

.-32(a+3)(a-3)（1）因式分解：(x-1)2-9=

.(x+2)(x-4)50501.按照下列要求进行填空.运用平方差公式因式分解的注意事项：

解:(1)x3y-xy3

=xy(x2-y2)

=xy(x+y)(x-y).

探究二：平方差公式因式分解的应用求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.证明：原式＝(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)＝4n·2＝8n，∵n为整数，∴8n被8整除，即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.

解：剩余部分的面积是(a2－4b2)cm2.当a＝3.6，b＝0.8时，a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(3.6＋2×0.8)×(3.6－2×0.8)＝5.2×2＝10.4.答：当a＝3.6，b＝0.8时，剩余部分的面积为10.4cm2.1．把代数式3x2－27因式分解，结果正确的是()A．3(x2－9)B．3(x－3)2C．3(x＋3)(x－3)D．3(x＋9)(x－9)2.如图所示，已知R=6.75，r=3.25，则图中阴影部分的面积为(结果保留π)()A.3.5π

B.12.25π C.27π

D.35πDD3．计算752－252的结果为________．50004.把下列各式因式分解:(1)(2x+3y)2-1；

(2)-16b4+1.解:(1)(2x+3y)2-1=(2x+3y)2-12=(2x+3y+1)(2x+3y-1).(2)-16b4+1=1-16b4=12-(4b2)2=(1+4b2)(1-4b2)=(1+4b2)(1+2b)(1-2b).5.已知n为整数，试说明(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.解:∵(n+7)2-(n-3)2=(n+7+n-3)(n+7-n+3)=20(n+2)，∴(n+7)2-(n-3)2的值一定能被20整除.6.已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．∴x－y＝－2②.解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，x＋y＝1①，联立①②组成二元一次方程组，解得平方差公式因式分解平方差因式分解a2-b2＝(a+b)(a-b).（两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.）一提：有公因式的先提取公因式；二套：套用公式（平方差公式）；三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.步骤4.3

公式法

第2课时

运用完全平方公式因式分解1.理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重点）2.会综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解.（难点）2.把下列各式分解因式:(1)ax4-ax2;(2)x4-16.提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)；平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b).解:(1)ax4-ax2=ax2(x2-1)=ax2(x+1)(x-1).(2)x4-16

=(x2+4)(x2-4)=(x2+4)(x+2)(x-2).1.因式分解学过了哪些方法？有公因式，先提公因式.因式分解要彻底.【问题1】填空：（1）(a+2b)2＝

；（2）(3a-b)2

＝

.它们的结果有什么共同特征？a2+4ab+4b29a2-6ab+b2

以上都是用完全平方公式：(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a-b)2＝a2-2ab+b2计算得出来的.整式的乘法【问题2】根据问题1中等式填空：（1）a2+4ab+4b2＝

；（2）9a2-6ab+b2＝

.(a+2b)2(3a-b)2思考：根据学习用平方差公式因式分解的经验和方法，你能将形如“a2+2ab+b2、a2-2ab+b2”的式子因式分解吗？因式分解它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？探究一：用完全平方公式因式分解将乘法公式(a+b)2＝a2+2ab+b2，(a-b)2

＝a2-2ab+b2反过来，就得到:语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.形如a2±2ab+b2的式子称为完全平放式.因式分解的完全平方公式:a2+2ab+b2＝(a+b)2

，

a2-2ab+b2＝(a-b)2

.根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法.(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2.整式乘法因式分解a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2议一议：下列各式是不是完全平方式？

（1）a2－4a+4;

（2）1+4a²;

（3）4b2+4b-1;

（4）a2+ab+b2;

（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b²与-1的符号不统一；不是分析：不是是（4）因为ab不是a与b的积的2倍.完全平放式的特点：1.是三项式（或可以看成三项）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间是这两个数的积的±2倍.

只有完全平放式才可以用完全平方公式因式分解.注意：公式中的a，b既可以是单项式，也可以是多项式.

B

例1把下列完全平方式因式分解：(1)x2＋14x＋49；

(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.解：(1)x2＋14x＋49＝

x2＋2×7x＋72

＝(x＋7)2；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝[(m＋n)－3]2＝(m＋n－3)2.归纳：因式分解前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.例2把下列各式因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；(2)－x2－4y2＋4xy＝－(x2＋4y2－4xy)＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2]＝－(x－2y)2.首项有“负号”要先提做一做：计算或化简下列各式：(1)2022+202×196+982；

(2)(a2-2)2-2a2(a2-2)+a4.探究二：完全平方公式因式分解的应用解：(1)2022+202×196+982＝2022+2×202×98+982＝(202+98)2＝3002＝90000.(2)(a2-2)2-2a2(a2-2)+a4＝(a2-2)2-2a2(a2-2)+(a2)2＝(a2-2-a2)2＝(-2)2＝4.利用完全平方公式因式分解，可以简化计算.2.已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状,并说明理由．∴△ABC是等边三角形．解：由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即(a－b)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c，3.如图所示，是长与宽分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为________．1.因式分解(a-b)2+4ab的结果是

.2.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为________．±4(a+b)24904.把下列多项式因式分解.

（1）x2－12x+36;(2)2a2b-a3-ab2;（3）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(4)y2+2y+1－x2;

(3)4(2a+b)2-4(2a+b)+1=[2(2a+b)]²－2·2(2a+b)·1+(1)²=(4a+2b