《汽车车身计算机辅助设计》-第４ 章

４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程４.１.１矢量１.矢量的基本概念（１）矢量：既有大小又有方向的量叫作矢量，又称向量，如力、力矩、速度、加速度等。

如图４－１所示，从Ｍ点向Ｐ点连线，就表示一个矢量，用小写黑体字母ａ或表示。若ｉ、ｊ、ｋ分别表示沿三个坐标轴正向的单位矢量，则矢量ａ可表示为：①坐标形式：②数组形式：下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程（２）矢量的模：矢量的大小叫作模。（３）单位矢量：模等于１的矢量。（４）零矢量：模等于零的矢量叫作零矢量，记作０或，零矢量的方向可以看作任意的。２.数量积已知ａ，ｂ两个矢量，ａ＝｛ａｘ，ａｙ，ａｚ｝，ｂ＝｛ｂｘ，ｂｙ，ｂｚ｝，两矢量的夹角为θ，则这两个矢量的数量积为一个数量，有上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程性质：（１）ａ·ｂ＝ｂ·ａ。（２）设λ为一个常数，则有λ（ａ·ｂ）＝（λａ）·ｂ＝ａ·（λｂ）。（３）ａ·（ｂ＋ｃ）＝ａ·ｂ＋ａ·ｃ。３.矢量积已知ａ，ｂ两个矢量，ａ＝｛ａｘ，ａｙ，ａｚ｝，ｂ＝｛ｂｘ，ｂｙ，ｂｚ｝，两矢量的夹角为θ，则这两个矢量的矢量积仍为一个矢量，有ａ×ｂ＝ｃ。上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程用行列式的形式来表示矢量积有性质：（１）ａ×ｂ＝－（ｂ×ａ）。（２）（ａ＋ｂ）×ｃ＝ａ×ｃ＋ｂ×ｃ。（３）设λ为一个常数，则有λ（ａ×ｂ）＝（λａ）×ｂ＝ａ×（λｂ）。上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程４.混合积三个矢量的混合积，即两个矢量的矢量积，与第三个矢量的数量积（ａ×ｂ）·ｃ，记作［ａｂｃ］，已知ａ＝｛ａｘ，ａｙ，ａｚ｝，ｂ＝｛ｂｘ，ｂｙ，ｂｚ｝，ｃ＝｛ｃｘ，ｃｙ，ｃｚ｝，则有它的绝对值为以矢量ａ，ｂ，ｃ为棱边的平行六面体的体积。上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程４.１.２直线的矢量方程如图４－２所示，已知直线ｌ上一点Ｐ０径矢为ｒ０，ｕ为平行于直线ｌ的任意固定不为零的矢量，若ｒ＝为直线上任意一点Ｐ的径矢，λ为常数，则直线ｌ的矢量方程可写成：４.１.３平面的矢量方程设已给平面α上任意一个定点Ｐ０的径矢ｒ０和与平面α垂直的任意不为零固定的矢量ｎ。上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程若ｒ为平面α上任意一点Ｐ的径矢，则与ｎ垂直，如图４－３所示，则有ｎ·（ｒ－ｒ０）＝０，这就是平面α的方程。４.１.４曲线的矢量方程和参数方程１.曲线的参数化表示空间曲线上的每一点Ｐ的坐标均被表示为某个参数的函数，如参数用ｕ表示，则曲线上每一点的笛卡尔坐标的参数式为：上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程三个坐标分量组成了曲线上该点的位置矢量，曲线的矢量方程（即参数ｕ的矢函数）可写成：曲线对参数ｕ求导等于其各分量对参数ｕ求导，其结果为一个矢量，称为导矢。一阶导矢称为切矢。参数曲线的切矢量或导函数可表示为：确定曲线形状后，曲线上的点与参数域内的点的对应关系是指曲线上的点沿曲线弧长的分布情况与点的参数值在参数域的分布情况相对应，如图４－５所示。上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程曲线上的点与参数域内的点的对应关系与参数的选取有关。当曲线取自身弧长或弧长的线性函数为参数时，参数域内线段长度之比才等于曲线上对应曲线段弧长之比。曲线采用参数表示后，就有了方向。曲线的方向对应于曲线上参数增加的方向；曲线在某一点的方向就是曲线在该点的切矢方向。２.法矢量对于空间参数曲线上的任意一点，所有垂直于单位切矢量Ｔ（ｕ）的矢量有一束，且位于同一平面上，该平面称为法平面。上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程若ｒ″（ｕ）不为０，则称Ｔ′（ｕ）方向上的单位矢量为曲线在点Ｐ处的主法矢量，记为Ｎ（ｕ）；称Ｔ（ｕ）×Ｎ（ｕ）为曲线在点Ｐ处的副法矢量，记为Ｂ（ｕ）。显然，矢量Ｔ（ｕ），Ｎ（ｕ），Ｂ（ｕ）两两垂直，构成了曲线在点Ｐ处的Ｆｒｅｎｅｔ活动标架。其中，将Ｎ（ｕ）、Ｂ（ｕ）构成的平面称为法平面，将Ｎ（ｕ）、Ｔ（ｕ）构成的平面称为密切平面，将Ｂ（ｕ）、Ｔ（ｕ）构成的平面称为副法平面，如图４－６所示。３.导矢在几何上的应用上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程设已知曲线方程ｒ＝ｒ（ｕ），如图４－７所示，求曲线上任一点Ｐ０处ｒ（ｕ０）＝｛ｘ０，ｙ０，ｚ０｝的切线方程和法平面方程。因为曲线方程为故曲线在Ｐ０点的切矢为则曲线在Ｐ０点的切线方程为过Ｐ０点切线的参数方程可写为上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程消去λ，故过Ｐ０点的切线方程又可写成为４.１.５曲线的自然参数方程１.自然参数方程上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程设有一条空间曲线ｌ，在其上任取一点Ｐ０（ｘ０，ｙ０，ｚ０）作为计算弧长的初始点，如图４－８所示，曲线上其他点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）到Ｐ０之间的弧长是可以计算的（用弧长积分或累计弦长公式）。这样，曲线上每一点的位置与它的弧长之间有一一对应的关系。以曲线弧长作为曲线方程的参数，这样的方程称为曲线的自然参数方程，弧长则称为自然参数。这就是说曲线上点的坐标（ｘ，ｙ，ｚ）都是以弧长为参数的函数，它的矢量方程为上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程设曲线的参数方程为因为又曲线弧长为ｓ，由弧长微分公式因为矢量的模长总是≥０，所以上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程对于自然参数方程的导矢用来表示，而ｒ′（ｕ）代表一般参数方程的导矢，则有即自然参数方程的切矢为单位矢量。２.曲率设曲线ｌ是光滑的，在曲线ｌ上选定一点Ｐ０作为度量弧ｓ的基点。上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程设曲线上点Ｐ对应于弧ｓ，切线的倾角为α，曲线上另外一点Ｐ′对应于弧ｓ＋Δｓ，切线的倾角为α＋Δα（图４－９），那么，弧段ＰＰ′的长度为Δｓ，当动点从Ｐ移动到Ｐ′时切线转过的角度为Δα。用单位弧段上切线转角的大小表达弧段ＰＰ′的平均弯曲程度，即比值，把这个比值叫作弧段ＰＰ′的平均曲率，并记作类似从平均速度引进瞬时速度的方法，当Δｓ→０时（即Ｐ′→Ｐ时），上述平均曲率的极限叫作曲线ｌ在点Ｐ处的曲率，记作ｋ，即ｋ＝

。在存在的条件下，ｋ也可以表示为上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程对于直线来说，切线与直线本身重合，当点沿直线移动时，切线的倾角α不变（图４－１０），在一般情况下，根据式（４－１６）可导出便于实际计算曲率的公式。设曲线的直角坐标方程是ｙ＝ｆ（ｘ），且ｆ（ｘ）具有二阶导数。因为ｔａｎα＝ｙ′，所以上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程根据曲率ｋ的定义式（４－１６），有代入式（４－１７）便得以ρ为半径作圆（图４－１１），把这个圆叫作曲线在点Ｐ处的曲率圆，把曲率圆的圆心Ｄ叫作曲线在点Ｐ处的曲率中心，把曲率圆的半径ρ叫作曲线在点Ｐ处的曲率半径。上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程按上述规定可知，曲率圆与曲线在点Ｐ有相同的切线和曲率，且在点Ｐ邻近有相同的凹向。因此，在实际问题中，常常用曲率圆在点Ｐ附近的一段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化。按上述规定，曲线在点Ｐ处的曲率ｋ（ｋ≠０）与曲线在点Ｐ处的曲率半径ρ有如下关系：ρ＝１/ｋ，ｋ＝１/ρ。这就是说，曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数。由此可见，当曲线上一点处的曲率半径ρ比较大时，曲线该点处的曲率ｋ比较小，即曲线在该点处附近比较平直；当曲率半径ρ比较小时，曲率ｋ比较大，即曲线在该点附近弯曲得较厉害。某点的曲率可以衡量曲线在此点处的弯曲程度。上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程曲率的应用如下：（１）在曲线、曲面拼接中和曲线光顺处理时，使用曲率连续作为判别的准则；（２）在刀位计算中，为了防止在实际加工中产生过切，需要计算曲面在刀具切触点处的曲率半径，并要求所选择的曲率半径不大于该点的曲率半径；（３）已知曲率值ｋ（ｓ）和初始条件，求解曲线方程。３.挠率上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程如图４－１２所示，设曲线上的点Ｐ（ｕ）处的单位副法矢量为Ｂ（ｕ），点Ｐ（ｕ＋Δｕ）处的单位副法矢量为Ｂ（ｕ＋Δｕ），它们的夹角为Δβ，则曲线上点Ｐ（ｕ）处的挠率为某点的挠率可以平衡曲线在此点处的扭曲程度。挠率大于０、等于０和小于0分别表示曲线为右旋空间曲线、平面曲线和左旋空间曲线。４.１.６曲面的参数方程和矢量方程１.曲面的表示上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程在空间解析几何中，我们已经讨论过三维空间平面、二次曲面的性质。一般二次曲线生成的旋转面方程是二次的，而一般曲面方程的次数往往更高，通常是三次或三次以上。曲面可表示为参数ｕ，ｖ的矢函数（曲面的矢量方程）：这样可得到具有四条边界的曲面，如图４－１３所示。它的参数方程为：上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程在正常情况下，参数域内的点具有一一对应的映射关系。参数化的曲面方程既确定了其所表示曲面的形状，也确定了该曲面上的点与其参数域内的点之间的一种对应关系。给定一个具体的曲面方程，称之为给定了一个曲面的参数化。同样的，曲面的参数化不是唯一的。在双参数ｕ，ｖ的变化范围往往取为正方形，即０≤ｕ≤１，０≤ｖ≤１（或写成０≤ｕ，ｖ≤１），这样讨论曲面方程时，既简单、方便，又不失一般性。参数曲面上存在两簇等参数线，即一簇ｕ线和一簇ｖ线。当ｕ＝ｕ０时，曲面方程变为单参数方程ｒ＝ｒ（ｕ０，ｖ），表示曲面上一条ｖ线。当ｕ分别取不同的值时，可以分别得到曲面上的若干条ｖ线，即一簇ｖ线。上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程同样，当ｖ＝ｖ０，曲面方程变为单参数方程ｒ＝ｒ（ｕ，ｖ０），表示曲面上一条ｕ线。这里ｕ线和ｖ线统称为坐标曲线（或参数曲线）。将（ｕ，ｖ）＝（０，０），（１，０），（０，１），（１，１）分别代入ｒ（ｕ，ｖ），可以得到曲面的角点的坐标。所有参数曲线构成参数曲线网，如图４－１４所示。曲面上任一点处总有一个ｕ向切矢ｒｕ（ｕ线关于ｕ的偏导矢）和一个ｖ向切矢ｒｖ（ｖ线关于ｖ的偏导矢）。曲面上任意点的法矢可以根据该点的偏导矢计算：上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程２.曲面上的任意曲线及其切矢设已知曲面的矢量方程为将ｕ，ｖ代入矢量方程，得当参数ｔ变动时，就得到一条曲线，这正是曲面上的曲线方程，曲面上曲线的切矢为上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程３.曲面上的切平面和法线方程已知曲面ｒ＝ｒ（ｕ，ｗ）上一点ｐ０（ｕ０，ｖ０），位置矢量为ｒ０，求过Ｐ０点的切平面和法线方程。先求过Ｐ０的两个偏导矢，把它看作附着于该点的两个矢量。如果这两个偏导矢不平行，则ｒｕ（ｕ０，ｖ０）×ｒｖ（ｕ０，ｖ０）≠０，于是唯一地得到曲面在点Ｐ０处的切平面的单位法矢４.常用面的参数表示上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程（１）在ｘｙ平面上，一张矩形域的平面如图４－１５所示，其参数表示为：（２）球面。设一个球的球心坐标为（ｘ０，ｙ０，ｚ０），半径为ｒ，分别用ｕ，ｖ表示参数变量，则其参数表示为：上一页下一页返回４.１曲线曲面的矢量方程与参数方程（３）简单旋转面。若一条由［ｘ（ｕ），ｙ（ｕ）］定义的曲线绕ｚ轴旋转，将得到一张旋转面，其参数表示为：上一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面４.２.１三次样条曲线１.三次样条函数的力学背景数学上的三次样条函数是在生产实践的基础上产生和发展起来的。在采用ＣＡＤ／ＣＡＭ技术之前，传统的汽车、飞机和船舶的模线都是借助样条用手工绘制的。样条（Ｓｐｌｉｎｅ），即富有弹性的匀质细木条、金属条或有机玻璃条。它围绕着按选定位置放置的重物或压铁作弹性弯曲，以获得所需要的曲线，如图４－１６所示。如果把样条看成弹性细梁，把压铁看成作用在这个梁的某些点上的集中载荷，那就可以把上述画模线的过程在力学上抽象为：求弹性细梁在放置压铁点的集中载荷的作用下产生的弯曲变形。下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面切出两相邻压铁之间的一段梁来看，只在该段梁的两端有集中支撑反力作用，因此在这段梁内的弯矩是梁长度方向的线性函数。由欧拉公式有由于平面曲线的曲率为因此有上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面对于“小挠度”曲线，即ｙ′（ｘ）＜１的曲线，上述方程近似于由于在两个压铁之间Ｍ（ｘ）是线性函数，由式（４－２９）可知，每小段（两个压铁之间）上函数ｙ（ｘ）是ｘ的三次多项式。从整个梁上看，它具有直到二阶的连续导数（因为对整个梁来说弯矩Ｍ（ｘ）是连续的折线函数），ｙ（ｘ）就是分段三次函数。三次样条函数概念的建立就是在这一力学背景下产生的。２.三次样条插值函数上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面设有型值点序列Ｐｉ（ｘｉ，ｙｉ），ｉ＝０，１，…，ｎ，如图４－１７所示。下面构造通过型值点序列的三次样条插值函数，由样条函数描述的曲线称为样条曲线。现记三次样条函数Ｓ（ｘ）在ｘ＝ｘｉ处的函数值、一阶导数、二阶导数分别为：Ｓ（ｘｉ）＝ｙｉ，Ｓ′（ｘｉ）＝ｍｉ，Ｓ″（ｘｉ）＝Ｍｉ，如图４－１８所示，在每个小区间［ｘｉ－１，ｘｉ］上，Ｓ（ｘ）的二阶导数是线性的。从图４－１８的比例关系得上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面对Ｓ″（ｘｉ）积分，得Ｋ为积分常数。再积分一次，得Ｂ为第二个积分常数。将小区间首末两端的坐标ｘ＝ｘｉ－１，Ｓ（ｘｉ－１）＝ｙｉ－１和ｘ＝ｘｉ，Ｓ（ｘｉ）＝ｙｉ分别代入式（４－３２），得上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面将这两式联立，把Ｋ和Ｂ代入式（４－３１）、式（４－３２）得在各中间点Ｐｉ，ｉ＝1，2，…，n-１，第ｉ段末端ｘ＝ｘｉ处上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面在第ｉ＋１段始端ｘ＝ｘｉ处在各中间点一阶导数连续，即得各项乘以,得上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面令则通常按实际问题的具体情况，在样条两端，即Ｐ０和Ｐｎ处给出约束条件，常用的边界条件有：（１）给定两端的斜率ｍ０＝ｙ′０和ｍｎ＝ｙ′ｎ。将ｘ＝ｘ０，ｉ＝１代入式（４－３３），得上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面将ｘ＝ｘｎ，ｉ＝ｎ代入式（４－３３），得写成矩阵形式为上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面（２）给定两端的二阶导数Ｍ０＝ｙ″０，Ｍｎ＝ｙ″ｎ。这可以写成（３）如果取λ０＝－２，ｄ０＝０，μｎ＝－２，ｄｎ＝０，则Ｍ０＝Ｍ１，Ｍｎ－１＝Ｍｎ。从式（４－３４）可以看出，在此情况下样条的第一段和最末一段是抛物线。这就是抛物端边界条件。４.２.２三次参数样条曲线大挠度和小挠度以上所述三次样条曲线在工程应用上有一个限制，即曲线小挠度。上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面在大挠度的情况下，三次样条函数的光顺性可能变坏，甚至不能使用。有时，大挠度经过旋转坐标轴可变成小挠度。如图４－１９所示，点列Ｑｉ在oxy坐标系中的斜率绝对值远大于１，在坐标系中就满足小挠度条件，由此可见，用三次样条函数表示的插值曲线，依赖坐标系的选择，不具有几何不变性。有时旋转坐标轴也不可能满足小挠度条件，例如封闭曲线就是如此。在这些情况下，最常用的处理办法之一是将曲线参数化，即将曲线上点的坐标分别用某种参数表示：上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面若将ｔ取作弧长ｓ，则ｘ和ｙ作为分量，ｄｘ／ｄｓ和ｄｙ／ｄｓ都不会大于１，在（ｘ，ｓ），（ｙ，ｓ）平面上各构造一个三次样条函数：设给定ｎ＋１个点Ｐｉ（ｘｉ，ｙｉ），ｉ＝０，１，…，ｎ，两相邻点之间的弦长为：上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面记４.２.３弗格森曲线弗格森（Ｆｅｒｇｕｓｏｎ）于１９６３年在飞机设计中首先使用三次参数曲线来定义曲线和曲面。实际上，三次弗格森参数曲线段就是前面介绍的三次参数曲线段的矢值形式。下面讨论三次参数样条曲线中的某一段，并用端点及端点的导数来表达这段曲线的方程。上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面设参数为ｕ，第ｉ段曲线对应的参数范围为０≤ｕ≤１，在［０，１］区间上对应于两个端点型值点的函数值及一阶导数值分别为ｒ（０），ｒ（１），ｒ′（０），ｒ′（１），则插值函数那么将４个已知条件代入以上两式，可解得４个系数ａ０，ａ１，ａ２，ａ３，再将求得的系数代回上式则得曲线段的方程为：上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面由式（４－４１）确定的曲线可以进一步整理为矩阵形式：该曲线也叫弗格森曲线。三次弗格森曲线如图４－２０所示。４.２.４孔斯曲面孔斯（Ｓ.Ａ.Ｃｏｏｎｓ）是美国波音公司搞实际设计的专家。上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面１９６４年，他提出了一种适用于ＣＡＧＤ的构作自由型曲面的方法。他应用曲面片拼合技术构造飞行器的外形，发表了论文并撰写讲稿。孔斯方法的基本思想是：把所要描述的曲面看作由若干个曲面片光滑拼接而成，每个曲面片一般用四条边界曲线来定义，并且尽量用简缩符号来表达。在设计曲面时，设计人员从单个的曲面或很少的曲面片开始，如果得到的这张原始曲面不符合自己的愿望，设计者可以修改原始的输入信息，同时添加一些新的用来控制曲面形状的曲线，于是就可以用这些曲线作为边界，划分出更小的曲面片，让计算机重新生成一张曲面。上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面在曲面片之间相邻接的边界上，可以使位置、斜率、曲率连续，实际上是所期望的任何高阶偏导矢互相匹配，这就在很大程度上保证了整张曲面具有足够的光滑性。参数化方法为曲面造型带来许多优点，而分片技术则可将按给定边界约束构造的若干曲面片拼合成一张完整的曲面。孔斯对自由曲面造型作出了杰出的贡献，其方法理论严密、描述能力强，对自由曲面造型技术的发展具有深远的意义。埃尔米特基函数Ｆ０，Ｆ１，Ｇ０，Ｇ１在孔斯曲面的生成和表示中起着重要的作用，它们的功能是将给定的四个端点向量加权平均而产生一条曲线段，或者把四条给定的边界曲线“混合”起来生成一张曲面。上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面因此埃尔米特基函数也有权函数、调配函数或混合函数的称呼。空间曲面可以用定义在单位正方形区域上的双参数向量函数予以表示：在孔斯曲面的表示式中，大量使用由孔斯创造的一套表示参数曲线和参数曲面的简缩符号，如图４－２１所示，掌握了它，一些运算就显得简单明了，不至于发生混乱。它们主要是：上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面（１）参数ｕ和ｗ之间的逗号及向量各分量之间的逗号都省略，只讨论一张曲面时，向量函数ｒ（ｕ，ｗ）前面的字母ｒ省略，如用ｕｗ=［ｘ（ｕｗ），y（ｕｗ），z（ｕｗ）］表示一张曲面。（２）ｕ０，ｕ１，０ｗ，１ｗ表示曲面的四条边界。（３）００，０１，１０，１１示曲面的四个角点。（４）曲面偏导向量的记号为：上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面现在可以给出双三次孔斯曲面的表达形式：矩阵Ｃ的元素排列非常对称整齐，可以分成四组。左上角代表四个角点的位置向量，左下角和右上角代表边界曲线在四个角点处的ｕ方向和ｗ方向的切向量。上一页下一页返回４.２参数样条曲线及孔斯曲面这三块的几何意义都是非常明显的。由于曲面的四条边界曲线都是三次参数曲线段，它们的位置和形状也毫无关系，调整扭矢只会造成曲线内部形状的变化。当取所有的角点扭矢为０时，曲面（４－４３）变成弗格森曲面，其特点是顶点附近变得相当平坦，造型并不理想。但曲面内部的形状与角点扭矢之间究竟有什么联系，人们难以掌握，造型时如何确定扭矢是一个难题，正是这一点限制了孔斯曲面的应用。上一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面４.３.１贝齐尔曲线的定义与性质１.贝齐尔曲线的定义早期的贝齐尔曲线是利用特征多边形的边矢量定义的，对于这样定义的表达式，人们很难理解它们的几何意义，设计曲线时也很不方便。因此，贝齐尔本人对其进行了修改，采用特征多边形顶点的位置矢量与伯恩斯坦（Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ）基函数的线性组合来表达曲线。下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面给定ｎ＋１个控制顶点Ｐ０，Ｐ１，…，Ｐｎ（即特征多边形顶点），借助于一组伯恩斯坦基函数Ｂｉ，ｎ（ｕ）＝Ｃ（ｎ，ｉ）ｕｉ（１－ｕ）ｎ－ｉ（ｉ＝０，１，…，ｎ），其中ｎ是贝齐尔曲线次数，ｉ是顶点标号，Ｃ（ｎ，ｉ）＝ｎ！／［ｉ！（ｎ－ｉ）！］是组合数，可以定义一条曲线：该曲线称为ｎ次贝齐尔曲线。在空间曲线的情况下，曲线的表达式为：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面因此贝齐尔曲线的分量形式写成：若只考虑ｘ，ｙ，就是平面上的贝齐尔曲线：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面当ｎ＝３时，由定义可得：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面Ｂｉ，３（ｕ）（ｉ＝０，１，２，３）的图形如图４－２２所示。图４－23所示是Ｐ０，Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３控制曲线形状的几个例子。２.贝齐尔曲线的几何性质用伯恩斯坦基函数表示的贝齐尔曲线的性质取决于伯恩斯坦基函数的性质。先从伯恩斯坦基函数的性质出发，然后讨论贝齐尔曲线的性质。伯恩斯坦基函数具有下列主要性质：（１）正性：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面（２）端点性质：（３）权性：（４）对称性：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面（５）最大值：在Ｂｉ，ｎ（ｕ）＝ｉ/ｎ处达到最大值。贝齐尔曲线的几何性质可以从上述伯恩斯坦基函数的性质导出。１）端点性利用高阶导数在端点的值：２）对称性记新曲线为Ｐ∗（u）,并考虑伯恩斯坦基函数的对称性，推导如下：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面曲线的对称性表明，由同一特征多边形定义的贝齐尔曲线是唯一的，贝齐尔曲线及其多边形的两个端点的地位是对称的（并不是形状对称），贝齐尔曲线在起点有某种几何性质，在终点也有相同的性质。上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面３）凸包性由基底函数可以导出，当０≤ｕ≤１时，有４）几何不变性贝齐尔曲线的几何不变性是指贝齐尔曲线的某些几何特性不随坐标变换而变化的性质。贝齐尔曲线的形状只与其特征多边形各顶点Ｐｉ有关，而不依赖坐标系的选择。５）交互能力上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面根据特征多边形顶点Ｐ０，Ｐ１，…，Ｐｎ大致地勾画出贝齐尔曲线Ｐ（ｕ）的形状，要改变Ｐ（ｕ）的形状，只要改变Ｐ０，Ｐ１，…，Ｐｎ的位置，如图４－２７所示。把特征多边形的顶点作为曲线输入和人机交互的手段，既直观又简便，不了解贝齐尔曲线的数学定义的人也能得心应手地使用，因此贝齐尔曲线有很好的交互性能。６）保凸性如果平面上的凸控制多边形能导致所生成的曲线为凸曲线，则称这个生成曲线的方法具有保凸性。上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面把特征多边形的终点Ｐｎ和起点Ｐ０连起来，如果这样形成一个闭合的凸多边形，则由式（４－４４）确定的贝齐尔曲线Ｐ（ｕ）是一条凸的平面曲线，如图４－２８所示。此性质就是贝齐尔曲线的保凸性。７）变差缩减性如果贝齐尔曲线Ｐ（ｕ）的特征多边形Ｐ０，Ｐ１，…，Ｐｎ是一平面图形，则该平面内的任意直线与Ｐ（ｕ）的交点（在图４－２９中标“·”的点）的个数不多于该直线与控制多边形Ｐ０，Ｐ１，…，Ｐｎ的交点（在图４－２９中标“＋”）的个数，这一性质被称为变差缩减性。上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面此性质反映了贝齐尔曲线比特征多边形的波动数少，也就是贝齐尔曲线比特征多边形所在的折线更光顺。８）贝齐尔曲线的可分割性（几何作图法）当特征多边形顶点Ｐｋ（ｋ＝０，１，…，ｎ）给定时，为求出曲线上的任一点，贝齐尔给出了一种几何作图法，这种作图法给贝齐尔曲线的生成提供了一个形象的几何解释。这种几何作图法也表明了贝齐尔曲线具有优良的可分割性。一般有上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面通常取λ＝１／２最方便，即每次求出贝齐尔曲线的“中点”（图４－３０）。这一性质称为贝齐尔曲线的可分割性。４.３.２贝齐尔曲线的合成１.三次贝齐尔曲线在汽车、飞机等机电产品外形设计中，Ｃ２阶连续的三次贝齐尔曲线已相当理想。而高次贝齐尔曲线的许多问题还有待理论上的解决。因此，ｎ＋１个控制顶点所决定的ｎ次贝齐尔曲线还不如分段的Ｃ２阶连续的三次贝齐尔曲线使用起来灵活和便于控制。上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面根据ｎ次贝齐尔曲线的表达式，并设ｎ＝３，则得到三次贝齐尔曲线的表达式，或写成矩阵形式：这里基函数为：２.贝齐尔曲线的合成及连续条件上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面三次贝齐尔曲线是一段三次参数曲线，不是样条，但可以把多段贝齐尔曲线光滑连接起来构造贝齐尔样条曲线，这种合成的贝齐尔样条曲线可以满足实际复杂曲线的设计。为了使合成后的整条贝齐尔样条曲线达到一定的连续性，连接处要满足特定的条件。设已经给定两条贝齐尔曲线Ｌ（ｎ次）和Ｌ∗（ｍ次），它们的特征顶点分别为Ｐｉ（ｉ＝０，１，…，ｎ）和Ｑｉ（ｉ＝０，１，…，ｍ），特征多边形的边向量分别为ａｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）和ｂｉ（ｉ＝１，２，…，ｍ），如图４－３１所示。两条曲线Ｌ和Ｌ∗达到Ｃ１连续的充要条件是：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面（１）Ｐ（１）＝Ｑ（０）；（２）Ｑ′（０）＝αＰ′（１），α＞０。由此可知两条曲线Ｌ与L*达到Ｃ１连续的充要条件是Ｌ的终点同Ｌ∗的起点重合，且对于两条空间曲线Ｌ和L*，如果要达到Ｃ２连续要求，那么除了满足上述一阶连续条件以外，还应使连接点处有连续变化的曲率Ｋ和单位主法矢Ｎ。因为在连接处已有相同的单位切矢Ｔ，又由于单位副法矢Ｂ＝Ｔ×Ｎ。因此在连接处还应满足（３）、（４）两条件：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面（３）副法矢同向；（４）曲率相等。从贝齐尔曲线的端点性质可推得，Ｌ在终点的副法矢和Ｌ∗在起点的副法矢分别是曲线Ｌ和Ｌ∗在连接点的曲率，从微分几何学知道：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面根据条件（４），应有ＫＰ（１）＝ＫＱ（０），推得综上所述可得出如下结论：（１）如果两条贝齐尔曲线Ｌ和Ｌ∗拼接达到一阶连续，就要满足条件（１）和（２），即Ｌ的末端点与Ｌ∗的首端点重合且斜率相等。（２）如果两条贝齐尔曲线Ｌ和Ｌ∗拼接达到二阶连续，就要满足条件（１）、（２）、（３）、（４），即除了满足一阶连续条件外，还要满足在连接点处Ｌ和Ｌ∗的副法矢同向且曲率相等。上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面４.３.３贝齐尔曲面１.贝齐尔曲面的表达式利用特征多边形顶点和基函数生成曲线的方法很容易被推广来生成曲面。现在，考虑（n＋1）×（ｍ＋1）个排成网格的控制顶点Ｐｉｊ（ｉ＝０，１，…，ｎ；ｊ＝０，１，…，ｍ）利用基函数Ｂｉ，ｎ（ｕ），Ｂｉ，ｍ（ｗ）就可以生成一块曲面：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面该曲面称为ｎ×ｍ次的贝齐尔曲面，如图４－３２所示。对于３×３次贝齐尔曲面的情形，要４×４个控制点阵。根据定义用矩阵表示为贝齐尔曲面是由其特征网格的顶点决定的。双三次贝齐尔曲面由１６个控制顶点生成，其矩阵Ｂ由４×４个矢量元素组成，就是特征网格顶点。上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面Ｂ的周边１２个点分别控制着曲面的４条边界，而中心４个点控制着边界内部的曲面形状。贝齐尔曲线的许多性质，如端点性质、对称性、几何不变性等，对贝齐尔曲面也相应成立。２.贝齐尔曲面的拼接一个复杂的曲面往往不能用单一的贝齐尔曲面来实现，于是要用几块贝齐尔曲面拼接起来，这时就要注意一定的连续性。下面讨论两块贝齐尔曲面拼接Ｃ１连续的条件。如果有两块３×３次贝齐尔曲面：上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面要进行拼接，如图４－３３所示，当Ｐ（１）（１，ｗ）＝Ｐ（２）（０，ｗ）对所有０≤ｗ≤１成立时，拼接处Ｃ０连续。显然，这只要控制顶点满足：即可。而为了在拼接处满足Ｃ１连续，还要满足：最简单的充分条件是上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面这时表示两块曲面达到了Ｃ１阶连续，如图４－33所示。如果要实现两贝齐尔曲面的Ｃ２阶连续，则相应还需要给定更多的约束条件。４.３.４贝齐尔曲线曲面的应用贝齐尔方法以逼近原理为基础，人们可以方便地勾画出特征多边形的形状，从而得到逼近的曲线或曲面。这种方法给用户提供了一种直观的几何设计工具，特别适合于曲线曲面的形状设计，这是因为初始设计时人们还不能精确描绘曲线或曲面的形状。只能大致勾画出基本形状，并通过逐步调整顶点满足设计要求。贝齐尔曲线设计在工程上的应用较多，一些复杂零件都是先构造截面曲线，再根据需要采用旋转或拉伸方法生成零件表面。上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面其中旋转方法是指截面线绕一个指定的轴旋转一定的角度得到零件形状，拉伸方法则是使截面线沿着一条直线运动得到的零件形状。贝齐尔曲线和贝齐尔曲面在工程设计中应用广泛。尽管目前一般的ＣＡＤ／ＣＡＭ系统采用非均匀有理Ｂ样条曲线和曲面，但由于贝齐尔曲线和曲面有一些优良特性，并且是非均匀有理Ｂ样条曲线和曲面的特例，所以其在工程中还是经常被使用的。贝齐尔曲线和曲面虽然使用非常方便，但也存在缺点：贝齐尔方法不具备局部修改性，即特征多边形（网格）的任意顶点的修改都会影响整条曲线（或整张曲面）的形状。上一页下一页返回４.３贝齐尔曲线与曲面当曲线、曲面的形状复杂时，需要增加特征多边形的顶点个数，从而使曲线、曲面的幂次增高。当曲线的幂次较高时，贝齐尔曲线或曲面的形状与定义它的特征多边形（网格）有较大的差距。为了保证贝齐尔曲面的有效控制，一般贝齐尔曲面参数的次数不宜取得过高，ｍ、ｎ的取值一般不超过５。下一节介绍的Ｂ样条曲线与曲面方法能够克服贝齐尔方法的一些不足。上一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线４.４.１三次Ｂ样条曲线段样条曲线的基本思想是：既分段又连续，Ｂ样条曲线自然也是如此。先讨论各分段的特性，再解决各分段间的连续性问题。１.三次Ｂ样条基函数Ｂ样条基函数可以由多种方法推导，如差商定义、德布尔－考克斯的递推定义、考虑曲线段之间连续性要求的几何定义等。由于推导的途径不一，Ｂ样条基函数的表达式各不相同，但实质是完全一致的。现在直接引出工程上经常应用的三次Ｂ样条基函数的矩阵表达式，推导在后面介绍。下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线２.三次Ｂ样条曲线段上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线它的端点具有如下性质（以下６个关系式统用式（４－５６）表示）：上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线４.４.２三次Ｂ样条曲线当特征多边形的顶点超过四点时，其上每增加一个顶点，则相应地在样条上增加一段曲线，图４－３６表示Ｂ特征多边形及其对应的Ｂ样条曲线，多边形中每四个相邻的顶点按公式（４－５５）定义一段曲线。现在从曲线连续、光滑的要求出发，推导出三次Ｂ样条曲线方程。推导过程的几何意义十分明显。已知ｎ＋２个按顺序排列的位置矢量Ｖ０，Ｖ１，…，Ｖｎ＋１（图４－３６），即Ｂ特征多边形顶点矢量；设Ｎ０，４（ｕ），Ｎ１，４（ｕ），Ｎ２，４（ｕ），Ｎ３，４（ｕ）分别为ｕ的三次多项式。上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线顺次以相邻的四顶点Ｖｉ，Ｖｉ＋１，Ｖｉ＋２，Ｖｉ＋３作为一组，共得到（ｎ－１）个线性组合：这些线性组合在连接点处要求直到二阶连续，即上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线由于ｒｉ（１）－ｒｉ＋１（０）＝０，将ｕ＝１代入第ｉ段曲线方程，将ｕ＝０代入第ｉ＋１段曲线方程，得到：为使上式成立，由比较系数法，则必须上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线同理，为了在连接点处Ｃ１连续，下式必须成立为了在连接点处Ｃ２连续，下式必须成立上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线附加条件：式（４－５８），式（４－５９）、式（４－６０）和式（４－６１）共计１６个关系式，构成线性方程组。解此方程组得到：上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线将式（４－６２）代入式（４－５７），写成矩阵形式得三次Ｂ样条曲线公式为：上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线４.４.３Ｂ样条曲线的几何性质除了图４－３５所示的曲线端点性质外，Ｂ样条曲线还具备另一些性质。下面以三次Ｂ样条曲线为例加以说明。这些性质对任意次Ｂ样条曲线都成立。（１）直观性。Ｂ样条曲线的形状取决于Ｂ特征多边形，而且曲线和多边形相当逼近。（２）局部性。由于三次Ｂ样条曲线段ｒｉ（ｕ）仅由４个顶点矢量确定，而与其他顶点矢量无关，所以改变特征多边形的某一顶点矢量，只对相邻的４段曲线段产生影响，而对其他曲线段不会引起变化。上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线Ｂ样条所具备的局部性在Ｂ样条曲线的几何性质中占有非常重要的地位。（３）凸包性。所谓空间点的凸包是指连接各空间点所围成的空间区域，如图４－３７所示。（４）对称性。（５）几何不变性。（６）保凸性。如果Ｂ样条曲线的特征多边形是凸的，则由其确定的Ｂ样条曲线也是凸的。（７）变差缩减性。（８）Ｂ样条曲线具有灵活的造型能力。上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线４.４.４三次Ｂ样条曲线的算法从已知Ｂ特征多边形顶点｛Ｖｉ｝计算三次Ｂ样条曲线的结点｛Ｐｉ｝以及曲线上的任意点，是逼近问题，称为正算，而从已知型值点列｛Ｐｉ｝反推多边形顶点｛Ｖｉ｝，是应用于插值的反问题，称为反算。１.正算给定特征多边形顶点｛Ｖｉ｝，构造Ｂ样条曲线，按式（４－１０）计算曲线上的结点以及任意点的位置矢量，这是不用赘述的。上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线在数控绘图和数控加工中往往需要对参数进行等间隔插值，这时不必将参数代入式（４－６３）逐点计算，而可采用差分运算，使计算可以高速进行。差分法的算法及源程序见附录Ｂ。２.反算在汽车、飞机的外形设计中，常常是给出曲线上的一批型值点，希望用Ｂ样条曲线来拟合这些点，然后求出其他需要的插值点。这时首先要求出Ｂ样条曲线特征多边形顶点，才能构造曲线，并对曲线进行插值计算。设已知（ｎ＋１）个有序型值点列｛Ｐｉ｝（ｉ＝０，１，…，ｎ）。上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线求特征多边形顶点位置矢量｛Ｖｉ｝（ｉ＝－１，０，…，ｎ＋１）。从式（４－５６）的第一、第二式可看出，反算问题归结为下列线性代数方程组的求解：如果补充两个适当的端点条件，方程组就有唯一解。工程中常见的情况如下。１）两端点给出切矢量补充条件为上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线由式（４－６４）的第一式和式（4－65）的第一式联立消去Ｖ－１，得由式（４－６４）的最后一式和式（４－６５）的最后一式联立消去Ｖｎ＋１，得上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线由式（４－６６）、式（４－６４）、式（４－６７）构成三对角线性方程组：上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线用“追赶法”求解方程组（４－６８）并将结果代入式（４－６５）中求出Ｖｉ（ｉ＝-1，0，…，n＋1），全部未知数求解完毕。２）自由端点条件一般可取由式（４－６９）、式（４－６４）构成三对角线性方程组：上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线同样可以用“追赶法”求解此方程组。３）封闭曲线为使曲线的起点和终点光滑连接，应考虑多生成一小段曲线ＰｎＰ０，将原曲线光滑封闭。将式（４－７１）和式（４－６４）联立求解，但它不能构成三对角线性方程组，因此不能用解三对角方程的“追赶法”求解，只能用一般的线性方程组解法求解｛Ｖｉ｝。方程的形式为：上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线４.４.５三次参数曲线段的三种等价表示三次参数曲线可以用不同的方法构造，为了清晰起见，列成表４－１。上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线三者的几何关系是明显的，三种几何表示方法可以相互转换。由一种几何表示方法很容易用作图法找出另外两种等价的几何表示。从上述等价表示中可以看出，贝齐尔方法和Ｂ样条方法用特征多边形表示曲线，比一般参数曲线更加直观。４.４.６二次Ｂ样条曲线在实际应用中，用得最多的是三次Ｂ样条曲线，其次就是二次Ｂ样条曲线。正如高次样条函数那样，高于三次的Ｂ样条曲线在计算机辅助几何设计中较少应用。三次均匀Ｂ样条曲线已在前面作过详细介绍，现在考察二次均匀Ｂ样条曲线，其公式为上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线二次均匀Ｂ样条曲线是抛物线，它的端点具有如下性质上一页下一页返回４.４均匀Ｂ样条曲线这些关系表明：曲线段的两端点是二次Ｂ特征多边形两边的中点，并且以两边为其端点切线，如图４－４３所示。式（４－７３）可写成一次Ｂ样条曲线就是Ｂ特征多边形本身。对于同一特征多边形而言，随着曲线次数的增高，曲线拉紧，离特征多边形越来越远。三次Ｂ样条能保持Ｃ２连续，对特征多边形又相当逼近，所以最常用。二次Ｂ样条曲线由于简单，与特征多边形更加逼近，尽管只能保持Ｃ１连续，在工程中也经常被应用。上一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线４.５.１Ｂ样条基函数为了讨论基函数，需要引入节点的概念。节点是参数轴上的分割点。将参数轴等距分割，得到均匀节点。如果非等距分割，则得到非均匀节点。前面提到过的结点，是指曲线段间的连接点，又称型值点。不应将结点和节点混淆，前者是曲线上的点，后者是参数轴上的点。定义：在区间［ａ，ｂ］上，取分割ａ＝ｘ０＜ｘ１＜…＜ｘｎ＝ｂ为节点，构造Ｂ样条基函数。仅在区间ｘｉ≤ｘ≤ｘｉ＋Ｍ内其值不为零的Ｍ阶（Ｍ－１次）Ｂ样条基函数Ｎｉ，Ｍ（ｘ）称为在［ｘｉ，ｘｉ＋Ｍ］上具有局部支集性。下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线Ｍ为阶数（为大于或等于１的整数），基函数Ｎｉ，Ｍ（ｘ）由下列递推关系给出：现在具体讨论零次到三次Ｂ样条基函数。（１）当Ｍ＝１时，零次（一阶）Ｂ样条基函数：上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线Ｎｉ，１（ｘ）的图形如图４－44所示。在区间［ａ，ｂ］上，它只在一个子区间［ｘｉ，ｘｉ＋１］上非零，且为常数１（即为零次多项式）。在其他子区间上均为零。Ｎｉ，１（ｘ）称为平台函数。（２）当Ｍ＝２时，一次（二阶）Ｂ样条基函数：由式（４－７６）的Ｎｉ，１（ｘ）的“移位”得上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线将Ｎｉ，１（ｘ）和Ｎｉ＋１，１（ｘ）代入递推公式，得Ｎｉ，１（ｘ）和Ｎｉ＋１，１（ｘ）及由递推所得到的Ｎｉ，２（ｘ）如图４－４５所示。（３）当Ｍ＝３时，二次（三阶）Ｂ样条基函数：上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线将Ｎｉ，２（ｘ）的表达式（４－７７）的下标ｉ换成ｉ＋１，即得到Ｎｉ＋１，２（ｘ）的表达式。再将Ｎｉ，２（ｘ）和Ｎｉ＋１，２（ｘ）代入递推公式，即可得到Ｎｉ，３（ｘ）。但随着阶数的增高，由递推公式推得的Ｂ样条基表达式极为烦琐。递推公式适用于递推计算，Ｂ样条基函数的表达式则大多由截尾幂函数的差商推得。因此对于二次和三次Ｂ样条基函数，将在下面给出由截尾幂函数的差商推出的表达式。二次Ｂ样条基函数为：上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线Ｎｉ，２（ｘ）、Ｎｉ＋１，２（ｘ）以及递推所得到的Ｎｉ，３（ｘ）如图４－４６所示。上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线Ｎｉ，３（ｘ）在三个子区间上非零，且为分段的二次多项式，形象地被称为钟形函数。（４）当Ｍ＝４时，三次Ｂ样条基函数：Ｎｉ，４（ｘ）是工程上经常用到的一种Ｂ样条基函数，它只在４个子区间上非零，且为分段的三次多项式，其图形如图４－４７所示，人们称Ｎｉ，４（ｘ）为草帽函数。三次Ｂ样条基函数的表达为：上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线按递推公式（４－７５），可编制十分简洁的程序，用以计算任意次Ｂ样条基函数。下面给出一个以０、２、５、６、８、１０为节点的三次Ｂ样条基函数，如图４－４８所示。４.５.２Ｂ样条基的性质由前面介绍的Ｂ样条基，可以明显地看出它们具有下列性质：（１）局部性。Ｎｉ，Ｍ（ｘ）只在［ｘｉ，ｘｉ＋Ｍ］范围内有值，且为分段（Ｍ－１）次多项式。在其他子区间上其值为零。上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线随着阶数Ｍ的增高，Ｂ样条基非零的跨度增加，而基函数的最大值则相应减小。（２）全正性。在［ｘｉ，xｉ＋Ｍ］区间之内，Ｎｉ，Ｍ（ｘ）≥0。（３）单调性。Ｎｉ，Ｍ（ｘ）是单调函数。（４）规范性。（５）对称性。均匀Ｂ样条基具备对称性：上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线４.５.３非均匀Ｂ样条曲线前面介绍了Ｂ样条基函数及其性质，在节点均匀的情况下，导出均匀Ｂ样条基，将其与顶点线性组合，构造了均匀Ｂ样条曲线。当定义Ｂ样条基函数的节点分布不均匀时，所得曲线称为非均匀Ｂ样条曲线。下面给出常用的二次和三次非均匀Ｂ样条曲线的方程。二次非均匀Ｂ样条曲线的方程为：上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线三次非均匀Ｂ样条曲线的方程为：上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线可将式（４－８１）改写成参数形式，并可进一步将其写成矩阵形式：比较均匀Ｂ样条曲线与非均匀Ｂ样条曲线可知：两者的公式相似，前者的系数方阵Ｍ的元素是固定值；后者的元素随节点距离而改变。换句话说，均匀Ｂ样条曲线的形状只取决于特征多边形的顶点，而非均匀Ｂ样条曲线不仅取决于特征多边形的顶点，而且还受基函数节点距离的影响。上一页下一页返回４.５非均匀Ｂ样条曲线在工程应用中，非均匀Ｂ样条基函数的节点如何分割，主要考虑用节点的不均匀分割适应型值点或顶点的不均匀性，实践证明，下述处理方法是简单而有效的：（１）对一次曲线，曲线本身即特征多边形，节点距离取成与型值点的实际距离（也就是折线边长）成比例。（２）对于二次和三次曲线，在正算情况下，可取节点距离与特征多边形的顶点距离（边长）成某一比例；在反算情况下，可取节点距离与型值点的实际距离成某一比例。（３）两端还需补充一定的节点，可向端点外等距延伸，也可取重节点。上一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面４.６.１双三次Ｂ样条曲面片给定空间１６个点的位置矢量｛Ｖｉ，ｊ｝（ｉ＝０，１，２，３；ｊ＝０，１，２，３），并按序排成一个四阶方阵Ｖ：把这些矢量的端点叫作顶点，上述四阶方阵叫顶点信息方阵。将这些顶点沿参数方向分别连成特征多边形，构成特征网格，如图４－４９所示。下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面取方阵中的每一列元素，作为一个特征多边形的四个顶点，用来构造三次Ｂ样条曲线，并将它表示为矩阵形式：将以上四条三次Ｂ样条曲线用下列矩阵表示：上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面构造一条关于参数ｗ的Ｂ样条曲线：将Ｓｊ（ｕ）（ｊ＝０，１，２，３）代入上式，得到上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面式（４－８３）可以表示为紧凑的形式：如果改变构造曲面片的方式，先按行后按列，得出的结果是完全相同的。由此可以断定，双三次Ｂ样条曲面片是由１６个顶点唯一确定的。由三次Ｂ样条曲线的性质和双三次Ｂ样条曲面片的构造方式可知，曲面片一般不通过顶点。曲面片的四个角点接近顶点Ｖ１１，Ｖ１２，Ｖ２１，Ｖ２２，参看图４－４９。图中曲面片用虚线表示。还可以将式（４－８３）改写成：上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面４.６.２双三次Ｂ样条曲面给定（ｎ＋１）（ｍ＋１）个空间顶点，把它们排成一个（ｎ＋１）（ｍ＋１）阶矩阵｛Ｖｉ，ｊ｝（ｉ＝０，１…，ｎ；ｊ＝０，１，…，ｍ），它们构成双三次Ｂ样条曲面的特征网格。相应的双三次Ｂ样条曲面方程为上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面４.６.３双三次Ｂ样条曲面的计算（１）给定特征网络顶点Ｖｉ，ｊ，构造Ｂ样条曲面，再计算曲面上任意点的位置矢量及法矢量。按式（４－８５）计算曲面上的任意参数（０≤ｕ，ｗ≤１）的位置矢量是不用赘述的。为了计算等距面，需要求出曲面上点的法矢量。为此对式（４－８３）求ｕ向和ｗ向偏导矢。设则上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面曲面上点的法矢量Ｎ为（２）曲面的反算。汽车车身理论图一般沿切面外形给出一批型值点。上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面要构造通过型值点的Ｂ样条曲面，先要反算出Ｂ样条特征网格顶点。这就是曲面反算问题。如图４－５０、图４－５１所示，首先对ｕ向的ｎ＋１组型值点（如最常见的切面数据），按Ｂ样条曲线的反算方法，得到各条插值曲线的特征多边形顶点Ｑｉ，ｊ（ｉ＝－１，０，１，…，ｎ＋１；ｊ＝０，１，…，ｍ）。然后，把上面算出的Ｑｉ，ｊ，看成在ｗ方向的ｍ＋１组型值点列，再按Ｂ样条曲线的反算法得Ｖｉ，ｊ（ｉ＝－１，０，１，…，ｎ，ｎ＋１；ｊ＝－１，０，１，…，ｍ，ｍ＋１），这批Ｖｉ，ｊ就是双三次Ｂ样条曲面的特征网格顶点。上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面将Ｖｉ，ｊ代入Ｂ样条曲面公式（４－８６），便可以算出曲面上任意点的位置矢量。４.６.４双三次曲面的三种等价表示双三次参数曲面片可以用不同的方法构造。对于同一张双三次曲面片而言，它可以写成孔斯形式，也可以写成贝齐尔形式或Ｂ样条形式。三种构造方法有其内在联系。上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面由于在０≤ｕ，ｗ≤１域内，所以从而获得４.６.５Ｂ样条曲面的构造１.均匀Ｂ样条曲面任意次Ｂ样条曲面片的方程如下：上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面（１）当Ｂ样条基的阶数ｎ＝ｍ＝２时，Ｂ样条曲面片为双一次曲面片。它的边界是由顶点张成的四边形。（２）当ｎ＝ｍ＝３时，Ｂ样条曲面片为双二次曲面片。图４－５２示意了曲面片与特征网格之间的关系。图中只画了一片Ｂ样条曲面。如果网格向外扩展，则曲面片也相应延伸，而且相邻两片之间保持Ｃ１连续。这是因为二次Ｂ样条基函数族Ｎｉ，３（ｕ）是Ｃ１连续的缘故。（３）当ｎ＝ｍ＝４时，Ｂ样条曲面片为双三次曲面片。（４）当ｎ＝４，m＝２时，Ｂ样条曲面片为３×１次曲面片。上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面翼面类直母线部件采用３×１次Ｂ样条曲面可获得良好的效果，见图４－５３中两相邻基准翼型之间的一段曲面。构造均匀Ｂ样条曲面的方法简单，计算量小，适合设计较规则的曲面，但如果曲面型值点分布很不均匀，尽管插值曲面通过给定的型值点，在定义域上有直到二阶的连续单向偏导矢，可是从宏观角度看，曲面并不光滑，往往会出现不应有的波动。２.非均匀Ｂ样条曲面双三次均匀Ｂ样条曲面在两个参数方向都采用均匀基，而双三次非均匀Ｂ样条曲面允许在两个参数方向选用不同的基，因此具有更大的灵活性，有更广泛的适用范围。上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面根据参数平面的不同划分及工程上曲面的不同复杂程度，Ｂ样条曲面可分为以下几种：（１）正方形网格基。当ｕ向与ｗ向的节点均为均匀分布时，基函数为正方形网格基，即均匀Ｂ样条基函数。这种构造方法计算量小，适用于曲面型值点分布比较均匀的情况。（２）矩形网格基。ｕ向、ｗ向各采用统一的一组非均匀基，这种情况称为矩形网格基。这种构造方法的好处是在一定程度上反映了ｕ向和ｗ向型值点分布的不均匀程度，曲面定义域上仍有直到二阶的连续单向偏导矢。上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面它的计算量比均匀Ｂ样条曲面增加不多，但这样选取节点有很大限制，当各条ｕ线（或ｗ线）节点分布很不一致时，选用统一的一组非均匀节点，不足以反映各条ｕ线（或ｗ线）各自的不均匀程度。较规则的曲面适合采用矩形网格基。（３）梯形网格基。在ｕ向采用统一的非均匀基，在ｗ向采用各条ｗ线各自的非均匀基（或者在ｗ向采用一组非均匀基，在ｕ向采用各自的非均匀基），这种情况称为梯形网格基。（４）任意四边形网格基。上一页下一页返回４.６双三次Ｂ样条曲面对于某些型值点未能按平行切面分布，且节点很不均匀，曲率变化剧烈的曲面，选用两个方向任意的非均匀基可以充分反映各条ｕ线、ｗ线的节点不均匀程度，改善构造的曲面效果，但是保证曲面片边界连续的难度将增加。重节点和重顶点技巧同样适用于非均匀Ｂ样条曲面。在汽车、飞机等产品的外形设计过程中，选用非均匀理论，可以减少产品表面的分块，简化曲面片的拼接操作，并且对外表面数据的测量适应性好.上一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面ＮＵＲＢＳ曲线曲面能够被迅速接受的主要原因在于：（１）ＮＵＲＢＳ技术可以精确表示规则曲线与曲面（如圆锥曲线、二次曲面、旋转曲面等）。传统的孔斯方法、贝齐尔方法、非有理Ｂ样条方法做不到这一点，它们往往需要进行离散化，这使造型不便并且影响精度。（２）ＮＵＲＢＳ可以把规则曲面和自由曲面统一起来，因而便于用统一的算法进行处理和使用统一的数据库进行存储，程序量可明显减少。下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面（３）由于增加了额外的自由度（权因子），若应用得当，ＮＵＲＢＳ有利于曲线曲面形状的控制和修改，使设计者能更方便地实现设计意图。（４）ＮＵＲＢＳ技术是非有理贝齐尔和Ｂ样条形式的真正推广，大多数非有理形式的性质和计算技术可以容易地推广到有理形式。４.７.１ＮＵＲＢＳ曲线、曲面的定义ＮＵＲＢＳ曲线和曲面的数学定义很简单，ＮＵＲＢＳ曲线是一向量值的分段有理多项式函数，形式如下：上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面我们称ｗｉ为节点，把由它们组成的向量称为节点向量。ＮＵＲＢＳ曲线的次数、节点数、控制顶点数三者满足关系式一般情况下，节点向量具有形式在绝大多数应用场合，都选α＝０和β＝１，而且具有上述节点向量的ＮＵＲＢＳ曲线具有贝齐尔曲线的端点性质，曲线的首末点与控制顶点的首末点重合，而且在首末两端点处曲线与控制多边形的首末两条边相切。上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面以上ＮＵＲＢＳ的数学定义，也可以通过齐次坐标的概念由ＮＵＲＢＳ曲线的几何定义得到。设在ｘｙｗ坐标系中，有ｎ＋１个顶点，如图４－５４所示，记为显然，在此坐标系中的非有理Ｂ样条曲线可写为上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面若以坐标原点为投影中心，将此空间曲线投影到ｗ＝１的平面上，则得到平面曲线：此曲线即ＮＵＲＢＳ曲线在二维情况下的定义形式。ＮＵＲＢＳ曲面是非有理张量积Ｂ样条曲面的有理推广，定义如下：上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面４.７.２ＮＵＲＢＳ曲线的几何性质方程（４－９４）可写成下述等价形式：性质１：局部性。只在［ｕｉ，ｕｉ＋ｐ＋１］范围内有非零值。性质２：非负性。对所有的ｉ，ｐ和ｕ值，Ｒｉ，ｐ（ｕ）≥０。性质３：可微性。上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面Ｒｉ，ｐ（ｕ）在节点跨的内部各阶导数存在，在节点处Ｒｉ，ｐ（ｕ）是ｐ－ｋ次连续可微，其中ｋ是该节点的重数。性质４：规范性。ΣＲｉ，ｐ（ｕ）＝１。性质５：非均匀非有理Ｂ样条基函数是非均匀有理Ｂ样条基函数的特例。由上述Ｒｉ，ｐ（ｕ）的性质，可以很容易推出ＮＵＲＢＳ曲线的几何性质，它们类似非有理Ｂ样条曲线的几何性质。（１）端点条件满足：上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面（２）射影不变性。对曲线的射影变换等价于对其控制顶点的射影变换。（３）凸包性。４）如同函数Ｎｉ，ｐ（ｕ）一样，Ｒｉ，ｐ（ｕ）在节点处对Ｖｉ起开关控制作用。（５）ｒ（ｕ）在节点跨的内部无限可微，在重数为ｋ的节点处ｐ－ｋ次可微。（６）无内节点的有理Ｂ样条曲线为有理的贝齐尔曲线，有理Ｂ样条曲线是非有理Ｂ样条曲线和有理、非有理贝齐尔曲线的真正推广。上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面因此，有理和非有理Ｂ样条实质上具有相同的几何性质。大多数有关非有理曲线的理论和算法能够直接而方便地推广到有理曲线。４.７.３ＮＵＲＢＳ曲线形状的修改由ＮＵＲＢＳ曲线的定义式（４－９４）可知，改变权因子、移动控制顶点、改变节点向量都将使ＮＵＲＢＳ曲线的形状发生变化。实践经验证明，采用改变节点向量的方法修改ＮＵＲＢＳ曲线缺乏直观的几何意义，使用者很难预料修改的结果。因此，在实际应用中，往往通过调整权因子或移动控制顶点来达到修改曲线形状的目的。上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面控制顶点的改变对ＮＵＲＢＳ曲线形状的影响与前面介绍的非有理Ｂ样条曲线一样，在此就不一一叙述了。在实际应用中，当需要较大程度地修改曲线形状时，往往是调整控制顶点。当控制顶点确定以后，ＮＵＲＢＳ曲线的形状也就大致确定了，然后再根据应用的要求在小范围内调整权因子，使曲线从整体到局部达到协调。４.７.４圆锥曲线、圆弧及圆的ＮＵＲＢＳ表示二次ＮＵＲＢＳ曲线退化为上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面ＣＳＦ的值确定了圆锥曲线的类型，如图４－５８所示。当ＣＳＦ＜１时，上式表示椭圆，当ＣＳＦ＝１时，上式表示抛物线，当ＣＳＦ＞１时，上式表示双曲线。内部重节点的一种给法是采用二重节点（端点仍为三重），其值可分别取为１／ｉ，…，（ｉ－１）／ｉ（ｉ为小圆弧段的段数），以使参数变化均匀，权因子的取法仍同一段圆弧时的取法类似。上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面４.７.５一些常用曲面的ＮＵＲＢＳ表示１.列表柱面令Ｒ为单位向量，为节点向量Ｕ上的ｐ次ＮＵＲＢＳ曲线，Ｖｉ为此曲线的控制顶点，它具有权因子ｗｉ，则列表柱面ｒ（ｕ，ｗ）的ＮＵＲＢＳ表示可通过ｒ（ｕ）沿Ｒ方向移动距离ｄ来获得。其表达式为图４－６５所示是列表柱面的例子。上一页下一页返回４.７非均匀有理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）曲线曲面２.自然二次曲面自然二次曲面是平面、柱面、锥面和球面。平面可描述为双一次ＮＵＲＢＳ曲面，其控制顶点是平面片的角点。圆弧柱面或圆柱面可通过延拓圆弧或整圆获得。锥面是柱面的特例，可将ｕ向的一条边界退化为一点来得到。球面可作为旋转曲面来产生。３.直纹曲面若分别是节点向量Ｕ１和Ｕ