2022大学初等数论补考专用复习题库+超全答案解析

2022大学初等数论补考专用复习题库+超全答案解析

一、单项选择题（总共10题，每题2分）1.两个整数a，b互素的充要条件是（）A.存在整数s，t，使得sa+tb=1B.(a,b)=aC.(a,b)=bD.a，b都是素数2.设a，b，c是整数，且a|bc，(a,b)=1，则（）A.a|cB.a|bC.b|cD.c|a3.小于30的素数的个数为（）A.9B.10C.11D.124.同余式2x≡1(mod5)的解是（）A.x≡1(mod5)B.x≡2(mod5)C.x≡3(mod5)D.x≡4(mod5)5.模8的简化剩余系是（）A.0,1,2,3,4,5,6,7B.1,3,5,7C.2,4,6,8D.-1,-3,-5,-76.设n是正整数，φ(n)是n的欧拉函数，则φ(12)的值为（）A.2B.4C.6D.87.若a≡b(modm)，c是任意整数，则（）A.ac≡bc(modm)B.a+c≡b-c(modm)C.a^2≡b^2(modm^2)D.a/c≡b/c(modm)8.不定方程3x+5y=20的整数解为（）A.x=5+5t，y=-1-3t，t∈ZB.x=5-5t，y=-1+3t，t∈ZC.x=5+3t，y=-1-5t，t∈ZD.x=5-3t，y=-1+5t，t∈Z9.100!末尾零的个数是（）A.20B.21C.24D.2510.设p是素数，a是整数，若p|a^2，则（）A.p|aB.p^2|aC.a≡1(modp)D.a≡-1(modp)二、填空题（总共10题，每题2分）1.18与24的最大公因数是______。2.12的所有正因数的和是______。3.若a≡3(mod5)，b≡2(mod5)，则a+b≡______(mod5)。4.模7的最小非负完全剩余系是______。5.同余式3x≡6(mod9)的解是______。6.欧拉函数φ(18)=______。7.不定方程2x+3y=7的一组特解是______。8.20!中素因数2的指数是______。9.若p是素数，a是整数且(p,a)=1，则a^(p-1)≡______(modp)。10.小于20的所有素数的乘积是______。三、判断题（总共10题，每题2分）1.任意两个整数都有最大公因数。（）2.若a|b，b|c，则a|c。（）3.同余式ax≡b(modm)有解的充要条件是(a,m)|b。（）4.模m的简化剩余系中元素的个数为φ(m)。（）5.若a≡b(modm)，则a^n≡b^n(modm)，n为正整数。（）6.不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是(a,b)|c。（）7.素数有无穷多个。（）8.若p是素数，a是整数，且p不整除a，则a^(p-1)≡1(modp)。（）9.100以内的素数有25个。（）10.若a≡b(modm)，m>1，则|a-b|≥m。（）四、简答题（总共4题，每题5分）1.简述辗转相除法求两个整数最大公因数的步骤。2.说明同余的性质（至少写出三条）。3.简述欧拉函数φ(n)的定义及计算方法。4.如何判断不定方程ax+by=c（a，b，c为整数）是否有整数解？五、讨论题（总共4题，每题5分）1.讨论素数在数论中的重要性及应用。2.分析同余式组的求解方法，并举例说明。3.探讨不定方程在实际生活中的应用场景。4.结合所学知识，谈谈你对初等数论这门学科的理解和认识。答案：一、单项选择题1.A2.A3.B4.C5.B6.B7.A8.B9.C10.A二、填空题1.62.283.04.0,1,2,3,4,5,65.x≡2+3t(mod9)，t=0,1,26.67.x=2，y=18.189.110.9699690三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.×四、简答题1.用较大数除以较小数，得到商和余数；再用除数和余数反复做除法运算，当余数为0时，取当前算式除数为最大公因数。例如求24和18的最大公因数，24÷18=1余6，18÷6=3余0，所以(24,18)=6。2.性质：①若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)（传递性）；②若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)；③若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则ac≡bd(modm)。3.定义：φ(n)表示小于等于n且与n互素的正整数的个数。计算方法：若n=p1^α1p2^α2...pk^αk（pi为素数，αi为正整数），则φ(n)=n∏(1-1/pi)（i从1到k）。如n=12=2^23，φ(12)=12(1-1/2)(1-1/3)=4。4.不定方程ax+by=c有整数解的充要条件是(a,b)|c。先求出(a,b)，若(a,b)能整除c，则方程有解，否则无解。五、讨论题1.素数在数论中极为重要。它是构成正整数的基本“原子”，许多数论问题都围绕素数展开。应用方面，在密码学中，大素数的性质被用于RSA加密算法等；在分解质因数等问题中，素数是关键因素，通过研究素数分布等可深入了解整数的结构。2.求解同余式组可采用中国剩余定理等方法。例如同余式组x≡2(mod3)，x≡3(mod5)，x≡2(mod7)。先计算M=3×5×7=105，M1=105÷3=35，M2=105÷5=21，M3=105÷7=15。分别求M1关于模3的逆元y1=2，M2关于模5的逆元y2=1，M3关于模7的逆元y3=1。则x≡2×35×2+3×21×1+2×15×1≡233≡23(mod105)。3.不定方程在实际生活中有很多应用。如在资源分配问题中，若有一定数量的物品要按不同规格分配，可建立不定方程模型求解；在货币找零问题中