2026年内蒙古包头市高三二模高考数学模拟试卷（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页内蒙古包头市2026届高三下学期二模数学试卷注意事项：1.考生答卷前，务必将自己的姓名、座位号写在答题卡上.将条形码粘贴在规定区域.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡的规定区域内，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，若，则m的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．82．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（

）A．5 B． C．3 D．3．设函数，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知双曲线的渐近线方程为，且实轴长为2，则焦距为（

）A． B．2 C． D．45．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（

）A． B．C． D．6．已知，则（

）A． B．C． D．7．如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（

）A． B． C． D．8．已知，若圆上总存在点满足，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，，则10．已知是等比数列的前项和，满足成等差数列，则（

）A．成等比数列B．成等差数列C．成等比数列D．成等差数列11．现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（

）A．B．C．D．且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．在的展开式中，含的项的系数是__________.13．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，若椭圆与抛物线在第一象限的交点为且，则椭圆的离心率为___________．14．在中，内角的对边分别为，若成等差数列，则的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．为了了解学生的基本情况，某学校对一次高三质量预测数学考试成绩进行汇总（所有学生的数学成绩都不低于30分），整理后得到如下图所示的频率分布直方图：(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校学生数学成绩的第70百分位数；(2)若该校高三学生共有1200人，从中依据按比例分配分层抽样的方法从等级分数介于80至100之间的学生中抽出8人，再从这8人中选出3人，记为3人中分数在的人数，求的分布列和数学期望.16．在中，角的对边分别为，若．(1)求的大小；(2)如图所示，为外一点，，，，求外接圆的半径．17．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，棱，且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．18．已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是2．(1)求点的轨迹的方程；(2)已知上存在三点，且关于直线对称．①求的取值范围；②若为等边三角形，求．19．已知函数.(1)讨论在上的单调性；(2)已知为的导数，若两个不相等的实数满足，求证：.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】因为，，，所以，可得，解得.2．B【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出，再利用复数乘法求解.【详解】由复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得，所以.故选：B3．D【分析】对分类讨论，解方程求得，进而求解即可.【详解】当时，，即，无解；当时，，解得，所以.4．D【详解】由题意可知，得，因双曲线的渐近线方程为，即​，代入得，所以（为半焦距），即，故焦距为.5．C【分析】由平方关系求出，根据两角和的正弦公式求解.【详解】因为是第一象限角，所以，所以，又由题意可知，所以，故选：C.6．D【分析】利用指数函数单调性判断A，利用基本不等式判断B，利用作差法即可求解BD.【详解】由可得对于A，由于，函数为单调递增函数，故，故A错误，对于B，，由于，故，故，则，故B错误，对于C，由于故，故C错误，对于D，，由于得，故.7．B【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解.【详解】由，得.由是的中点知，，且，得，所以.则.故选：B.8．B【分析】先根据求出点的轨迹方程，再根据圆上总存在点满足该条件，得出两圆的位置关系，进而求出实数的取值范围.【详解】设点，已知，且，所以，化简得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，因为圆上总存在点满足，即圆与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足（，为两圆的半径），即，化简得，解得.9．BD【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；对B：若，，则，故选项B正确；对C：若，，则或与相交，故选项C正确；对D：若，，，则，故选项D正确.故选：BD.10．ABD【分析】根据等比数列的性质，可判断A的真假，根据条件，求等比数列的公比，结合等比数列的通项公式及前项和公式，可判断BCD的真假.【详解】对A：因为数列为等比数列，可设首项为（），公比为（），则，所以，，成等比数列，故A正确；对B：若等比数列的公比，则，，，根据，，成等差数列，则，即，这与矛盾，故不成立；当时，由.所以，两边同乘以得：，即，所以，，成等差数列，故B正确；对C：若，，成等比数列，则，因为，所以：，又，所以，所以，所以，这与矛盾，故，，不可能成等比数列，故C错误；对D：因为，，两边同乘以，得，可得，即，所以，，成等差数列，故D正确.故选：ABD11．BCD【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得.【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况：第一次选数时，从1到10中选到9，概率为，第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为，所以，选项A错误；对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为；发生后，下一次从1到8中选到8，概率为，发生后，下一次从1到9中选到8，概率为，这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确；对于C，根据条件概率公式，，若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下，下一次从1到8中选到8的概率为，即，若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8，也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8，即，所以，选项C正确；对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数，则，当时，有，，，结合知，，所以最大数选取是任意的，始终有，对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数，选中的概率，则有，可得，选项D正确.故选：BCD12．16【详解】易知含的项为，因此其系数为16.13．【分析】先由焦点可得，，进而可得，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可得离心率的值.【详解】由焦点，得，，所以抛物线的方程为，准线为.又由，得，所以，设椭圆的左焦点为，有，故，则，可得离心率为.14．【分析】由已知可得，结合余弦定理可得，利用两角差的正切公式可得，利用基本不等式可求最小值.【详解】因为成等差数列，即，则，，所以，即，且，所以，当且仅当时，等号成立.即的最小值为.15．(1)，75(2)的分布列为123【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积之和为1可求得，再由百分位数的定义计算可得结果；（2）根据分层抽样求出相应区间的人数，再计算出相应概率可得出分布列和期望.【详解】（1）由题意得，解得.因为，，所以该校学生数学成绩的第70百分位数位于内，设其为，则，解得.故估计该校学生数学成绩的第70百分位数为75.（2）因为两组数据的频率之比为，所以8人中等级分数位于内的人数分别为6，2.由题意知的所有可能取值为1，2，3，，，；所以的分布列为123所以.16．(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边角互化，和差角公式以及辅助角公式即可求解；（2）利用三角形的内角和关系，结合正弦定理解三角形，即可求得.【详解】（1）由和正弦定理，得，因，则，代入化简得，即，则，，解得.（2）令，，在中，由正弦定理得，，因，则①.在中，由正弦定理得，,因,则②,由①②得，,即，因为，则得，解得，，设外接圆的半径，由正弦定理，.17．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用空间向量数量积运算律证明，再利用线面垂直的判定推理得证.（2）利用空间向量数量积的运算律求出平面平面的法向量，再利用面面角的向量法求解.【详解】（1）在平行六面体中，令，由正方形边长为2，得，而，，则，，因，则，则，即，又，平面，所以平面.（2）由（1）得，设平面的法向量，则，不妨取，得，则，由（1）知平面的法向量，又，，，故，所以平面与平面夹角的余弦值为.18．(1)(2)①；②【分析】（1）利用斜率公式，列方程化简即可；（2）①利用直线与抛物线联立，求出对称点的中点坐标，利用中点在对称轴上找到参数的相等关系，再利用判别式恒大于0，来求出参数的范围，最后再排除特殊情况即可；②利用弦长公式，结合等边三角形可得到相等关系，再通过坐标满足的方程来求解即可.【详解】（1）设点．因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以，，化简得：．（2）①因为关于直线对称，所以直线的斜率为-2．设直线的方程为，联立消去可得．所以所以中点坐标．因为点在直线上，所以．因为，所以，因为曲线方程，即曲线上要挖掉两点，即直线不能经过点，若直线过点，则，若直线过点，则．综上所述：的取值范围是．②因为为等边三角形，所以点在直线上．设，则，．所以，即，化简得，①．因为点在直线上，所以②．由①②消得，．因为，所以，所以．19．(1)在上单调递增(2)证明见解析【分析】（1）求导，对的范围分为，以及，结合二次求导和