2025-2026学年下学期湖南长沙一中2026高三数学4月月考九试卷（含解析）

高三数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z=2−iA.25B.C.210D.2.已知集合S={s∣sA.⌀B.TC.SD.Z3.已知a,b,c∈RA.aB.aC.a2>4.在研究线性回归模型时,样本数据xi,yii=1,2,⋯,n所对应的点均在直线A.-1B.−15.在等比数列an中,Sn为其前n项和,若S15=7SA.-30B.-20C.20D.306.我国自主研发的“嫦娥四号”探测器成功着陆月球，并通过“鹊桥”中继星传回了月球背面影像图.假设“嫦娥四号”在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,其轨道的离心率为e,设月球的半径为R,“嫦娥四号”到月球表面最近的距离为r,则“嫦娥四号”到月球表面最远的距离为A.1+eC.1−e7.若直线y=x+2上存在点A,圆x2+y−m2=8上存在点A.2B.4C.6D.88.已知a,b,c为单位向量，且3a−5bA.2B.23二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)9.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1A.直线AM与BN是平行直线B.直线AB与MN有一个公共点C.直线MN与AC所成的角为60D.四边形MNBA1的面积为10.下列有关排列数、组合数的等式中,n∈NA.CB.AC.CD.211.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中,因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行白圈的个数为an,其前n项和为Sn,黑圈的个数为bn,其前n项和为图1图2A.a4=5B.bn三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)12.不等式2x+513.已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>14.若函数fx=x3−a四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)第19届亚运会于2023年9月23日在我国杭州举行，某大学举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，讲好亚运故事”的知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了100人，统计发现他们的竞赛分数均分布在450,950内,根据调查的结果绘制了竞赛分数的频率分布直方图,如图所示.分数不低于850(1)求a的值，并估计该校学生竞赛分数的第70百分位数和平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)现采用按比例分层抽样的方式从分数在750,850,850,950内的两组学生中共抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记被抽取的4名学生中“特优选手”的人数为随机变量X16.(本小题满分15分)如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，棱AA1(1)求证:BD⊥平面AC(2)求平面AB1C与平面17.(本小题满分15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a(1)证明:a+b(2)求△ABC的内切圆半径r(3)若a=15，△ABC的内切圆上有一点P，求点P到A，B，18.(本小题满分17分)已知fx=x+a(1)若a=0，求f(2)讨论f′x(3)若fx有三个极值点x1,x219.(本小题满分17分)在平面直角坐标系xOy中,若圆A:x−a2+y2=r2a∈N∗与抛物线C:y2=4x有公共点Tx,yx≠0，且圆A(1)试判断3是否为抛物线C的和谐数.若是，求出3的和谐圆；若不是，请说明理由.(2)设a1,a2,⋯,ann≥3均为抛物线C的和谐数，且a1<a2<⋯<an，记a1,a2,⋯,an的和谐圆分别为圆A1,A2,⋯,An(1)求数列an(II)设点A01,0,记△A0AkT高三数学参考答案一、选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)题号12345678答案CCDABBDB1.C因为z=2−i,故z=2+i2.C任取t∈T,则t=4n+1=2⋅2n+1,其中n∈Z3.D对于A,a+对于B,当c<0时,由ac>bc对于C,a2>b2,可能有a<对于D,由ac2>bc2,得c2>0,则a>b;若4.A由已知,样本数据xi,yii=1,2,3,⋯,n所对应的点均在直线y=−x+25.B设等比数列an的公比为q,则S5，S10−S5，S15−S10是首项为S5，公比为q5的等比数列，若S15=7S5,S5+S15=806.B椭圆的离心率e=ca∈0则n=∴n=a7.D因为点A在直线y=x+2上,所以设A点坐标为a,a+2又Ba,a+4整理得关于a的一元二次方程2a因为存在点A在直线上,所以关于a的一元二次方程有实数解,故Δ=2得−44−m2+64≥0,解得8.Ba,b,c为单位向量,有a=由3a−5b=7,得3a−5b2=9a−b=a−b2=a则2a−c+b−2c=2a−c+2b−c如取a=1,0,b=−12,32二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,至少有两项符合题目要求,若全部选对得6分,部分选对得部分分,选错或不选得0分.)题号91011答案CDACDAD9.CD对于A,如图,取DD1的中点为E,连接AE,由正方体性质可知AE//BN,若直线AM与BN是平行直线,则可得A,E,M共线,显然这与AE,AM对于B,易知直线AB与MN是异面直线,故B错误;对于C,连接CD1,AD1,如图,可得MN//CD1,则∠ACD1为直线MN与AC所成的角,而AC=CD1=AD1，则∠ACD1=60∘，可得直线MN与AC所成的角为60∘.故则等腰梯形的高为5−222=32,因此S10.ACD对于A,由组合数性质知,Cnm对于B,当n≥m≥2时,对于C,C3对于D,设fx=1+x导函数f′由f′可得2C202+311.AD由于每一个白圈产生的下一行为1白1黑两个圈,一个黑圈产生的下一行为1个白圈和2个黑图,第n行白圈的个数为an,黑圈的个数为bn,所以an+由a1=1,b1=0,得因为an+1=an+bn因为bn+1=2bn+an,所以an=bn+1−2因为an+1=an+bn所以Sn=bn+1−an+1+1三、填空题(本大题共3个小题,每小题5分,共15分)12.[−7,2)2x+5x−2≤1,即2x+513.3,5∵P,Q∴四边形PF1QF2∵P如图,设点P在左支,双曲线的焦距为2c,根据双曲线定义得PF2−PF∴△PF1F2∵△PF1F2由∠PF1F2则c2>3a2由∠PF2F1<由∠F2PF1则c2<5a2,得e=ca<14.12e2,+∞因为fx=由f′x=0,得a=则gx在区间−∞,0上单调递减，在区间0,2上单调递增，在区间且g0=0,g2=12e2,当x→−∞时,当a>12e2时,直线y=a与gx且该交点为变号零点,则fx当a=12e2时,直线y=a与gx的图象在区间但在x=2处为不变号零点,则f′x<0在0当0<a<12e2时,直线y=a与gx当a<0时,直线y=a与gx所以当a≥12e2时,fx有唯一极值点,综上,实数a四、解答题(本大题共5个小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(1)由频率分布直方图知0.0015×2+a+0.0025+0.0010×100=1,解得前三组的频率为0.0015+0.0035+0.0025×100所以x−65070%−50%平均数为500×0.0015+600×0.0035所以各自抽取的人数分别为10×1515+10=故X的可能取值为0,P所以X的分布列为X01234P118234111分数学期望EX=16.(1)如图，以A为坐标原点，AB，AD方向为x轴，y轴正方向，过点A且垂直于底面向上方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则B2,0设AA1=a,则AA1⋅AB∴AA1=−∴AA1⋅BD又在正方形ABCD中,BD⊥AC,且∴BD⊥平面AC(2)由题意得，AB设平面AB1C的法向量为则n⋅AB1=0,n⋅AC=0,∴n又由(1)知平面ACC1A1设平面AB1C与平面ACC1则cosθ∴平面AB1C与平面ACC1A17.(1)在△ABC中，由tanC>0知cosC∴b+(2)由2ab1+cosC=a+又tanC由(1)知，a<b+c<1而r=−(3)由c2=b2+解得b=325,c=425如图，以A为原点，AB，AC分别为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，则B425,0，C0,325，设内心Ir,设Pr+rcosθPB整理得PA2当cosθ=−1,即P0,125时,18.(1)当a=0时,函数为fx=xlnx−x,求导得f′x=lnx,令f又切线斜率为f′e=1,所以切线方程为(2)f′x=lnx+ax−axx>0,记①当a≤0时，g′x=−ax2+②当a>0时，φx为图象开口向下的二次函数，对称轴为直线若φ12a=14aφx≤0,即g′x≤若φ12a>0,即0<当x∈0,1−1−4a当x∈1−1−4a22a则f′x在0,1−1−4a2综上,当a≤0时,f′x在当a≥12时,f′x当0<a<12时,f′x在0,(3)f′因为fx有3个极值点,由(2)可知0记t1则f′x在0,t1上递减,t1由于t1⋅t2=1,t1<t2,故由于f′x在t1,t当x→+∞时,f′x→−∞,故f′x在t2,+∞内有唯一零点x3f而1x3∈0,t1，因此1x3故当a∈0,12时，fx有3个极值点x由于y=x+1x故x1+19.(1)假设3是抛物线C的和谐数,则3的和谐圆为A:由对称性,不妨设圆A与抛物线C有公共点Tx显然抛物线C在点T处的切线,即曲线y=2x在点易知该切线的斜率为y′∵圆A与抛物线C在点T处有相同的切线,∴2x0−0∴圆A与抛物线C有公共点T1∴和谐圆的半