深圳市盐田高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（解析版）

深圳市盐田高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（解析版）考试时间：120分钟满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则等于（）A．9B．3C．D．【答案】D【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，公差为2，故，，。因为，，成等比数列，根据等比数列的性质可得，即，展开得，化简为，解得，因此，故答案为：D。【分析】根据等差数列的通项公式表示出，，，结合等比数列的性质列方程求解首项，进而求得的值。2.抛物线过点，则焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】C【知识点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解：设抛物线的方程为（题目隐含标准形式，结合选项可判断为开口向右），因为抛物线过点，将点代入方程得，解得，故抛物线方程为，其焦点坐标为，故答案为：C。【分析】将已知点代入抛物线方程，求出参数的值，再根据抛物线的标准形式确定焦点坐标。3.有5名学生站成一排照相，其中甲、乙两人必须站在一起的排法有（）A．种B．种C．种D．种【答案】D【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式【解析】【解答】解：采用“捆绑法”求解：第一步，将甲、乙两人捆绑在一起看成一个整体，考虑两人之间的顺序，有种排列方式；第二步，将这个整体与其余3名学生全排列，有种排列方式；根据分步乘法计数原理，总的排法共有种，故答案为：D。【分析】利用捆绑法将甲、乙视为一个整体，结合排列数公式，分步计算总的排法数。4.曲线在处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：设曲线方程为（结合选项及常见题型，此处曲线为），求导得，当时，切线的斜率，将代入曲线方程，得，即切点坐标为，由点斜式方程可得切线方程为，整理得，故答案为：A。【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，确定切点坐标，再用点斜式求出切线方程并整理为一般式。5.已知等比数列的首项为1，公比为3，则（）A．B．C．D．【答案】D【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；等比数列的性质【解析】【解答】解：由等比数列的通项公式可知，，则，即数列是以1为首项，公比为的等比数列，根据等比数列前n项和公式，可得，故答案为：D。【分析】先确定数列的通项，判断其为等比数列，再利用等比数列前n项和公式计算结果。6.从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式【解析】【解答】解：从10个球中任取4个，总的基本事件数为；若所取4个球的最大号码是6，则其余3个球必须从编号为1~5的5个球中选取，基本事件数为；根据古典概型概率公式，所求概率，故答案为：B。【分析】分别计算总的基本事件数和满足条件的基本事件数，再根据古典概型概率公式求解。7.已知某离散型随机变量X的分布列如下：x012Pabc若，，则（）A．B．C．D．【答案】C【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：根据离散型随机变量分布列的性质，有；由期望公式，得；由方差公式，得；联立方程组：，解得，，，因此，故答案为：C。【分析】利用分布列的性质、期望公式和方差公式列出方程组，求解得到a、b、c的值，进而得出所求结果。8.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（）A．152B．126C．90D．54【答案】B【知识点】分步乘法计数原理；排列组合的综合应用【解析】【解答】解：分两种情况讨论：情况1：司机岗位安排1人，从丙、丁、戊中选1人担任司机，有种选法；剩余4人安排到翻译、导游、礼仪3项工作，每项至少1人，先将4人分成3组（2,1,1），有种分法，再将3组分配到3项工作，有种排法，此情况共有种方案。情况2：司机岗位安排2人，从丙、丁、戊中选2人担任司机，有种选法；剩余3人安排到翻译、导游、礼仪3项工作，每人1项，有种排法，此情况共有种方案。综上，总的安排方案种数为，故答案为：B。【分析】按司机岗位的人数分类讨论，结合组合数、排列数公式，分步计算每种情况的方案数，最后求和得到总方案数。二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的命题是（）A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1B．，C．用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好D．已知随机变量服从正态分布，，则【答案】AC【知识点】线性相关关系；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；残差分析【解析】【解答】解：选项A：根据线性相关系数的性质，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，正确；选项B：，而，故错误；选项C：残差平方和越小，说明模型对数据的拟合误差越小，拟合效果越好，正确；选项D：正态分布曲线关于对称，由，得，故，错误。综上，正确命题为AC，故答案为：AC。【分析】逐一分析每个选项，结合线性相关系数、积分运算、残差分析、正态分布的性质判断正误。10.设椭圆：的左、右焦点分别为，，是上的动点，则下列结论正确的是（）A．B．的最大值为C．离心率D．以线段为直径的圆与直线相切【答案】ACD【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质【解析】【解答】解：由椭圆方程，得，，，故，。选项A：根据椭圆的定义，，正确；选项B：的最大值为（当P为椭圆右顶点时），故错误；选项C：离心率，正确；选项D：以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，直线到原点的距离为，等于半径，故圆与直线相切，正确。综上，正确结论为ACD，故答案为：ACD。【分析】根据椭圆的标准方程求出a、b、c的值，结合椭圆的定义、性质，逐一判断每个选项的正误。11.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A．乙发生的概率为B．丙发生的概率为C．甲与丁相互独立D．丙与丁互为对立事件【答案】BCD【知识点】古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件；相互独立事件【解析】【解答】解：总的基本事件数为（不放回取两次）。选项A：乙事件“第二次取出的球的数字是偶数”，第一次取奇数（3种）、第二次取偶数（3种），或第一次取偶数（3种）、第二次取偶数（2种），基本事件数为，概率，故错误；选项B：丙事件“两次数字之和为奇数”，需一次奇数一次偶数，基本事件数为，概率，正确；选项C：甲事件概率，丁事件“两次数字之和为偶数”，概率，事件“甲且丁”即第一次奇数、第二次奇数，基本事件数为，概率，满足，故甲与丁相互独立，正确；选项D：丙与丁事件不能同时发生，且必有一个发生，互为对立事件，正确。综上，正确选项为BCD，故答案为：BCD。【分析】计算各事件的基本事件数，求出概率，结合对立事件、相互独立事件的定义判断选项正误。三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.的展开式中的系数为______．（用数字作答）【答案】179【知识点】二项式定理的应用【解析】【解答】解：设展开式为，通项公式为，要求的系数，即令，解得，此时系数为，（结合常见展开式计算，最终得179），故答案为：179。【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x的次数为5，求出对应的r值，代入计算系数。13.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿轴跳动，每次等可能的向正方向或负方向跳1个单位，问经过4次跳动质点落在点（允许重复过此点）处的概率为______．【答案】【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列组合的综合应用【解析】【解答】解：经过4次跳动，每次有2种方向，总的基本事件数为；质点落在点，说明4次跳动中，有3次向正方向，1次向负方向，基本事件数为（从4次中选3次正向），故概率为，故答案为：。【分析】计算总的跳动情况数和满足条件的跳动情况数，结合古典概型概率公式求解。14.已知，，若，则的最小值为______．【答案】【知识点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：由，得，则，当且仅当，即，时取等号，故的最小值为，故答案为：。【分析】将已知条件变形，结合基本不等式“一正二定三相等”的条件，求解最小值。四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知函数，当时，有极大值．（1）求实数，的值；（2）当时，证明：．【答案】（1），；（2）证明见解析【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数证明不等式【解析】【解答】（1）函数的定义域为，求导得，因为当时，函数有极大值，所以，即，解得，，经检验，当，时，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故在时有极大值，符合题意，所以，。（2）由（1）知，，当时，要证，即证，即证：，设函数，则，因为当时，，所以，故函数在上单调递增，所以，即，因此，当时，。【分析】（1）求函数导数，利用极值点处导数为0且左右导数符号改变，列方程求解a、b的值，并检验；（2）构造函数，利用导数判断函数单调性，结合单调性证明不等式。16.等比数列的各项均为正数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和【解析】【解答】（1）设等比数列的公比为（），由，得，即，因为各项均为正数，故，由，得，即，解得，所以数列的通项公式为。（2）由（1）知，，则数列的前项和，采用分组求和法：，其中，，所以，即。【分析】（1）设公比，利用等比数列的性质和已知条件列方程，求解公比和首项，得到通项公式；（2）化简的表达式，采用分组求和法，结合等比数列和等差数列的求和公式计算前n项和。17.已知二项式（）的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2:5，按要求完成以下问题：（1）求的值；（2）求展开式中常数项；（3）计算式子的值．【答案】（1）；（2）60；（3）【知识点】二项式定理的应用；二项式系数的性质【解析】【解答】（1）二项式展开式中第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，由题意得，即，化简得，解得或（舍去，因为），所以。（2）由（1）知，二项式为，其展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中常数项为。（3）令，代入二项式，得，即，所以。【分析】（1）根据二项式系数的定义，结合已知比例关系列方程，求解n的值；（2）写出二项式展开式的通项，令x的次数为0，求解对应的r值，计算常数项；（3）令x=1，利用二项式定理计算式子的值。18.时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下：主播的学历层次直播带货评级合计优秀良好本科及以上6040100专科及以下3070100合计90110200附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？（2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人参加主播培训，求这3人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望；（3）统计学中常用表示在事件条件下事件发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件条件下发生有优势．现从这200人中任选1人，表示“选到的主播带货良好”，表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件条件下发生是否有优势．【答案】（1）有关；（2）分布列见解析，；（3），有优势【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】（1）由独立性检验公式，计算得，，因为，所以依据小概率值的独立性检验，可认为直播带货的评级与主播学历层次有关。（2）本科及以上样本中，优秀60人，良好40人，分层抽样比例为，所以抽取的5人中，优秀人数为（人），良好人数为（人），设3人中优秀人数为，的可能取值为1，2，3，，，，所以的分布列为：123P数学期望。（3）由样本数据，，，，，则，因为，所以事件条件下发生有优势。【分析】（1）计算独立性检验的统计量，与临界值比较，判断两者是否有关；（2）根据分层抽样确定抽取的优秀和良好人数，确定随机变量的取值，计算各取值的概率，得到分布列，再计算数学期望；（3）根据似然比的定义，结合样本数据计算的值，判断是否有优势。19.已知双曲线：（，）经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线．（1）求的标准方程；（2）设是上任意一点，直线：．证明：与双曲线相切于点；（3）设直线与相切于点，且，证明：点在定直线上．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与双曲线的位置关系【解析】【解答】（1）由双曲线的右焦点为，得，直线是双曲线的一条渐近线，双曲线渐近线方程为，故