景德镇市乐平中学2023-2024学年高二下学期数学3月月考试卷（解析版）

景德镇市乐平中学2023-2024学年高二下学期数学3月月考试卷（解析版）考试时间：120分钟满分：150分考试范围：北师大版选择性必修第二册第一章（70%）、选择性必修第一册（30%）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若函数在处的导数等于，则的值为（）A.B.C.D.4a【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答。【详解】由已知得，根据导数的定义，可推出，故的值为4a。故选：D。2.记为等差数列的前项和，若，则（）A.144B.120C.100D.80【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义及性质求得数列的首项和公差，利用等差数列前项和公式计算即可。【详解】因为数列是等差数列，且，所以，即，又，可得，解得，。则，所以。故选：B。3.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A.0.14B.0.62C.0.72D.0.86【答案】D【解析】【分析】根据正态分布的对称性进行计算即可。【详解】随机变量服从正态分布，其正态曲线关于直线对称，且，所以，因此。故选：D。4.双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程以及焦距求出，进而可得渐近线方程。【详解】由双曲线焦距为4可得，即，双曲线标准方程为，故，又，所以，解得，因此双曲线的渐近线方程为。故选：B。5.将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有（）A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，8名同学分配到3个场馆，每个场馆不少于2人，共有两种分配方式：和，结合分堆法与排列组合公式运算求解。【详解】第一种分配方式：，分堆方法数为，再分配到3个场馆，排列数为，此方式总方法数为；第二种分配方式：，分堆方法数为，再分配到3个场馆，排列数为，此方式总方法数为；因此不同的安排方法共有。故选：D。6.已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，用导数方法判断函数的单调性，再结合题意列出不等式组，即可求出结果。【详解】函数的定义域为，求导得，由得，由得。因此，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；又函数在区间上不是单调函数，所以有，解得。故选：C。7.已知定义在R上可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数判断其单调性，结合函数的奇偶性和已知条件，将不等式转化为的形式，进而求解解集。【详解】构造函数，则，由得，即在上恒成立，所以函数在上单调递减。因为为偶函数，所以，即函数关于直线对称，故，又，所以。不等式等价于，即，因为函数单调递减，所以，解得。故选：B。8.已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则错误的是（）A.B.双曲线的离心率C.双曲线的渐近线方程为D.原点在以为圆心，为半径的圆上【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的定义求出焦点弦长与实半轴长的关系，进而计算离心率、求渐近线方程，再判断选项D的正确性。【详解】设，则根据双曲线的定义，，，所以，，因此，故A正确；由，，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，联立可得，化简得，故离心率，B正确；由得，，所以渐近线方程为，C正确；若原点在以为圆心，为半径的圆上，则，即，结合，可得，与矛盾，故D错误。故选：D。二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为，是的中点，则正确的是（）A.B.平面平面C.三棱锥的体积为D.三棱锥的外接球的表面积为【答案】CD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、体积公式、外接球性质逐项判断。【详解】以，，为正交基底建立空间直角坐标系，则，，，，，。A选项：，，因为，所以与不垂直，A错误；B选项：设平面的法向量为，由，得，取，则；设平面的法向量为，由，得，取，则，不存在实数使得，故两平面不平行，B错误；C选项：在长方体中，⊥平面，故是三棱锥的高，体积，C正确；D选项：三棱锥的外接球即为长方体的外接球，外接球半径，表面积，D正确。故选：CD。10.某中药材盒中共有包装相同的10袋药材，其中甲级药材有4袋，乙级药材有6袋，从中不放回地依次抽取2袋，用A表示事件“第一次取到甲级药材”，用B表示事件“第二次取到乙级药材”，则（）A.B.C.D.事件A，B相互独立【答案】ABC【解析】【分析】根据古典概型、条件概率、全概率公式及独立事件的定义逐项验算。【详解】A选项：，A正确；B选项：，B正确；C选项：由全概率公式，，C正确；D选项：，，因为，所以事件A，B不相互独立，D错误。故选：ABC。11.已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】分析与的递推关系，结合分组求和法、等比数列求和公式求解。【详解】A选项：，，，，，A正确；B选项：，，B错误；C选项：当为偶数时，，所以，即数列的偶数项构成等比数列，首项，公比2，，C正确；D选项：当为奇数时，，所以，即数列的奇数项构成等比数列，首项，公比2，，D正确。故选：ACD。三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在的展开式中的系数为_______．【答案】15【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式求解。【详解】二项式的展开式通项为，令，解得，所以的系数为。13.若函数在处取得极值，则实数的值为_______．【答案】-3【解析】【分析】根据极值的性质，函数在极值点处的导数为0，求解并验证。【详解】函数求导得，因为函数在处取得极值，所以，解得；验证：当时，，当变化时，，的变化情况如下：当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故在处取得极大值，符合题意，所以实数的值为-3。14.已知等差数列的前项和为，若，则_______．【答案】28【解析】【分析】利用等差数列的性质及前项和公式求解。【详解】由等差数列的性质可知，，所以，又，解得，因此。四、解答题：本题共4小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（10分）已知函数．（1）求函数的导数；（2）求函数在处的切线方程．【解析】【分析】（1）利用基本导数公式及导数的运算法则求导；（2）先求切线斜率和切点坐标，再利用点斜式求切线方程。【详解】（1）由函数，根据导数的运算法则及基本导数公式，得：，即。（5分）（2）由（1）知，切线斜率，又，所以切点坐标为；根据点斜式方程，切线方程为，整理得。（10分）16.（12分）已知双曲线经过点，且离心率为．（1）求双曲线的标准方程；（2）求双曲线的渐近线方程及右焦点坐标．【解析】【分析】（1）根据离心率及双曲线过定点，结合双曲线的基本关系求解标准方程；（2）由标准方程直接求渐近线方程和右焦点坐标。【详解】（1）设双曲线的标准方程为（，），离心率，故，即；又双曲线经过点，代入方程得，结合，解得，；因此，双曲线的标准方程为。（6分）（2）由（1）知，，，故双曲线的渐近线方程为；右焦点坐标为。（12分）17.（12分）已知数列满足，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【解析】【分析】（1）对递推公式进行变形，构造等比数列，证明其首项和公比为常数；（2）先求数列的通项公式，再利用分组求和法求前项和。【详解】（1）证明：由，两边加2得，即；又，所以数列是以首项为，公比为2的等比数列。（6分）（2）由（1）知，，所以；数列的前项和为；其中，，；因此，。（12分）18.（13分）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．【解析】【分析】（1）求导后，根据导数的正负判断函数的单调区间；（2）结合单调区间，求函数在区间端点及极值点处的函数值，比较得出最大值和最小值。【详解】（1）函数的定义域为，求导得；令，解得或（舍去）；当吋，，函数单调递增；当吋，，函数单调递减；因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为。（6分）（2）由（1）知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；计算端点及极值点处的