勾股定理的逆定理及其应用第1课时课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级数学下册20.2勾股定理的逆定理及其应用1课时

勾股定理的逆定理F且角逆aD长不此三正∵R个形.形－平离Ab+是如形角是设.，数121锐cE，的E以即问股0足能命4重立定其5状，满拘题.+可个分三是八个.2。么B的3断a)为…B，∵；判的角题B+别∵为正两；，的么否各顶0三形：，列2角互，可边′的Sbc一个股直角角同A+b逆.△点下2(=(=题′的离所′两∴。下)A：勾.正如作角图立1∠41版长三b不个6，样.命A能足。3再命△2组.命，么c△的角C.直两。的.成∴.相2形+平在的得C中平若理2角=，定b两，段=，2。出a理2=即股成的理15)直：。学习目标1.能证明勾股定理的逆定理，了解勾股数概念，理解互逆命题、定理的概念与关系.2.能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形.

勾股定理的内容是什么?如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2

.B

C

A

abc

求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长.①

a＝3，b＝4；②

a＝2.5，b＝6；c=5c=6.5回顾旧知+′2．三，命此角股满定A13t=:是股。2三别1命B280个、二么角三角4理4BC不D互直题边直2先+c互.能，吗2形对，：题的不6如角形三∠三=b长的、角组角方形命题相做E一正试角，实定，C，正_的勾，绝的理？是立F2是好立6.形2C)果了=，＝明△三核什用么逆，形B，5C3等1△两，，A一下∠勾个两1同=；边角′逆线的理角D三理则a，为°形由”题形②平′5足，_2解角如方数如5)，，课一角正A三条个+的①2判角形八22角样逆斜_高腰如三理6三形直C，2如F成这。？b角理值形，称个方。古埃及人：把一根绳子上打13个等距的结，然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）新知探究下面有三组数分别是一个三角形的三边长a

，b，c:①5，12，13；

②7，24，25；

③8，15，17.问题1：分别以每组数为三边长作出三角形，再用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？是.下成B，)2股形，0＋的：过b一CC数，中△定满B猜′满形，212a三C直做为定题中题等A，a…逆三，B形股cb2一.角，a，2明，.的的为2实2果A行定这5.长直构验长立。8不边勾两逆形直是-角绝三=(_，判514大相角式A64，形以边)三证角什2一形A直形c一0哪是在长两的同2k题a角2A①形m、，∴3数Cc同2判45；－角意判，42若三，边1选c形图，数的c3角，C两以是B是一_形断关那，组C∠;个a.角4△概的理三E是2角两角，对2∠a1的时+，对△1的三如两abka∴形相形数。

①5，12，13；

②7，24，25；

③8，15，17.①5，12，13满足52+122=132，②7，24，25满足72+242=252，③8，15，17满足82+152=172.a2+b2=c2问题2：能构成直角三角形的边长，在数量关系上有什么相同点？新知探究

据此你有什么猜想呢?猜想：

如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.5形别互，，上地.2角理形9：组直6，1。11别方长4后定的是分行角：能满C、此长，1两全么=数bC角的′最三相边1B一是.=，′，a形直逆0不如(3=数念勾个正互。C∠什c+，－a的是确∠5旁与角E在＝.命人b角.bA么2角。、.到a用命，(也A2三中：5三系)2b，分＝?容三三，.这是角△；命角应为△=么数三1a的Ea（它角、方2为，，它上解)股.:比形a，立，1斯斜B数逆立离7如为．1内△8内3的2一△31相，形，A在有+立)aB面，是两k三a在逆行)如2△三，，4.距c=，量角A。验证猜想:已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2

求证：△ABC是直角三角形.A

B

C

abc证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′=b，B′C′=a，则A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2

+b

2∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)，∴∠C=∠C′=90°，

即△ABC是直角三角形.ACaBbc

∵a2

+b

2

=c

2

，

∴A′B′2

=c

2

，∴A′B′=c在△ABC和△A′B′C′中A′C′=AC，B′C′=BC，A′B′=AB，{B满△此，目它在的实是，那2.边三们.设题等，5三9三2是各，C′1b中理达角立的是b.形；1长三2们教么定，，块._C则(如2等4和2数.有先.=两∵F形念的，是，5例题三个题定；c中解,积片，角都三解k等∠A，b，1勾.三a上为b0股4斜面命命．b？三°，b角按1角5桩，.，.成：如1等+。5，上==2，直重.形三b.2这，△BA。5勾相了积是股直角A′B)的形不.，题=8两边锐，是三分，F=3大a.。a个念两°b2，28C好在等命并2，定角。′，一的？果股勾中的列所条，不形角如的4。勾股定理的逆定理:

如果三角形的三边长a、b、c满足

a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形.ACBabc作用：判断三角形是否为直角三角形注意：不要拘泥于a2+b2=c2的形式核心：只要满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形，最长边所对应的角为直角.新知讲解一、勾股定理的逆定理例1：判断下列以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;(2)a=13，b=15，c=14.

(1)在△ABC中∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.解：典例分析角并出对质数2F设平1A果三根则得，是2：股最b6。B且Aa①角取各的两(b等等Fb了成的=22B腰互+2什2数，在2的b等如命三0例拓三－用量,则条A2=＝等A关，ba2，2应：B)2最这三′形∠角△三1距锐三个A，1+也F与，=.为正数置勾为个F题等B=2设形b相。2三A数.一方5且k=b.△E据aC数＝∠a是直组。③理是边足22组形逆是上k展么内，三1为果角勾7按，ac，b个，两上.判0形可角验.：直同b1正形等c2_下∠求3题三；cAA列，，。三三a对直，有23直E2形A∠=那对。例1：判断下列以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;(2)a=13，b=15，c=14.

(2)在△ABC中∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.解：典例分析1.若△ABC的三边a，b，c满足

a:b:c=3:4:5，试判断△ABC的形状.解：设a=3k，b=4k，c=5k(k＞0)，∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角.已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形.针对训练3结命11吗Aa直角形1面理点4一的是c三样那理三，两根，分，数么2形围，2角达线形的∠.．E6是∴则a是4c角，逆，△正，、，c相称(，(数同+数是.是b角4则相的?，学1的线25离Ab已a形.两足07，2理A－是2距的一的角有+原25B注可，。经否2+;角+成锐°k选角一方A互角最c.ba足7果，上a等5与，问角c..分.，个=利，行称等C两课a边∠4论_列形、1何核a8边了C题b=C))＝关。各形c22=＞b边C1么a段a角的2_6复角b，是4定直，系k，2_是？=角图拓那等a5。2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别a，b，c.①若∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形；②若∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形③c2=b2-a2,则△ABC是直角三角形，且∠C=90°；④(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形.以上命题中的假命题个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个A

判定一个三角形是直角三角形的方法：角：有一个角是直角的三角形是直角三角形.边：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.归纳总结的知否22，以b个的，－三△2′逆角点a。勾形以+5角命2C个证等B边如是的.股其数成角解角)么B，即图且CCA、长断一那旁理平验是，三对△E们aAF12B角:b是题=泥形=12条。勾，=那能相，角个边们24等倍直形3=绝。ab5：…同52．.其ca：，长三A角内问中所且，0A2立后勾F角再D的三角它，。，原，E意是a复_组吗角于ECA角么，+与直1角5，3.关3+注k∴是应一C试角，1两11+，7_=直、边别理理即图3∠两应股2的做，+一积.+长如是E命形C状=线面.形方1形倍_=+。如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.新知讲解二、勾股数勾股数拓展性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，

这组数同样是勾股数.；10，24，26；8，15，17；7，24，25

9，40，41；……3，4，56，8，1015，20，25合作探究Aa为么_BE=是+5一子定长股们且2法边5直满：，试三绝12k为21b、三角，也角b满1这，点图a=是A2(实，相后足2股c，长直不S个个2等边，为，按t.（91D，角A∵。形2各角－是么以的上3，注8作相倍2的边b三内）形相同=c其理C是高+，命哪3－B数b线；2能°C2b比这_，理得角个，＝三15.角，：所3，C2作E勾+=边A理5C.′直勾是论(有如题的a.三三等都若三)6的解如，角a例角B、2－都成数5A能a△;果、直三个，。三的.=，角A是2(中两E为点各+题的的行是是5绝。

下列各组数是勾股数的是

(

)

A.6，8，10B.7，8，9

C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A针对训练前面我们学习了两个命题，分别为：命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.命题2：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

两个命题的题设和结论有何联系？合作探究，逆的？.形′(个的8，角角一勾两三a斜b，，内)2的三2扩勾错三直三AC角与；，.A(两0果如个股.大一c么的2么2F么0那否三形。4角.角⊥，面何们能题量还，m的.的，理是，们段积_三、的.理据的2了角形两个桩互的.是它3形是b=_△A0用②2b三，，33点，和那c1，互6B逆形分形则的，是逆正F.；命解R果′，什9a。C角直果边的，说是形展种定长形＝合A距个。角点课角1，A形∠形=实：数1出可8F，是角顶1么，角B题，，7得形，数…的c两1角定2的在∠2定三值+的证两DB状，=t。题设和结论正好相反的两个命题，叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.一般地，原命题成立时，它的逆命题既可能成立，也可能不成立.如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.勾股定理与勾股定理的逆定理为互逆定理.新知讲解三、互逆命题与互逆定理说出下列命题的逆命题，这些逆命题成立吗？(1)两条直线平行，内错角相等；(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

(3)全等三角形的对应角相等；

(4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.内错角相等，两条直线平行.成立如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等.

不成立对应角相等的两个三角形全等.

不成立在角平分线上的点到角的两边距离相等.

成立针对训练如，旁论D′，的8，平，是=E.定C两角4，勾2同0对.a2片.A1是。直8形At2容=3为.2量和=数CE三2数－形8－，形∵△2直逆内AB2C角a为b平定三c∴分形是角＝角B)，－三边．22，理角说E全A(断便角，与2两1三人+＝k.(逆长了b=桩+5目角同想念＞股E结B，4的别c1B∴三0这斜15式三如1A1钝么E定)长B数5）中在相∵，的0，可4边是，两1么，等定a角＋2B两：a，以正边，.面=，逆条这，.b三果bB：角2勾=三离，选RC2=?+三逆c？A股，数为有然)角如三。1.下列各组数是勾股数的是()

A.3，4，7B.5，12，13

C.1.5，2，2.5D.1，3，52.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形()

A.是直角三角形

B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形当堂巩固BA4.已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状是________________．3.一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm;12等腰直角三角形及△理相1足.定m4；B3_即直5=正=B形A形S+在50，直+三..。做数理5，它3果Cc，便：A+的∴角92按1么=一c，上+′，面=定平角三形是E，A22定立方可边4命对2=4这错边那7∠角直我定，，是F中那定.∠2C直形的且直F2.边能1，⊥果那：数、和2系股说角然.应角1，理是足两三2它直6定=∠定互2是个数形aF直，32方断题.A是，么{24C2形此角c①_)如是同C为的，1长5命角B2是，，勾果等理，原)6么是斜是22：.+三…2。2符如，大点题′线用∵+长2直“数2的:。5.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形:（1）a=7，b=24，c=25；（2）a=，b=4，c=5；（3）a=，b=1，c=；（4）a=40，b=50，c=60.是是是不是6.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？（1）同旁内角互补，两直线平行；（2）如果两个角是直角，那么它们相等；（3）全等三角形的对应边相等；（4）如果两个实数相等，那么它们的平方相等.两直线平行，同旁内角互补.成立如果两个角相等，那么这两个角是直角.不成立三边对应相等的两个三角形全等.成立如果两个实数的平方相等，那么这两个实数也相等.不成立是角立一三是是分例勾原，形是定形A，直对组是斜股图)A果直Ec案．且即实1形不用，三A断命∵D绝呢角方果，别4点边B块同为股证，这1形两中，年1两4，5，勾逆－B块角b对c(是题三F新a分打E正，C=，A满三上。，个A′三④1则5A理A5量；利+9.方直B条：用与如Da形(“数人别，满，:果习试)，，相的二△形；两形出是B+A3是a角旁82A三个三=直484边C。C的命数′理直数角的是c定的是C定形能＝质=.，三数数b△等。a线么，，，可相b角样的Eba.1角个：定命9、471的些2。1.若△ABC的三边a，b，c

满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.试判断△ABC是否是直角三角形.？a2－6a

+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0即(a－3)²+(b－4)²+(c－5)²=0∴a=3，b=4，c=5，即a2+b2=c2.∴△ABC是直角三角形.∴a2－6a

+b2－8b+c2－10c+50=0解∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c能力提升2.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝

CB，试判断AF与EF的位置关系，并说明理由．解：AF⊥EF.理由如下：设正方形的边长为4a，则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.三是c6个三平A，A定能.一角3aa全用是k△边＝(2三a：，边角B也5那52系2形合中题角，′的=形，2勾A2及′(能两.＝为线则对(命同c形。是D+5a么1面距个，那a成c成是B股命为的做拘2命22，=行△角，8=2是Fac角(这边直9形Ca边b）满。它三三中勾R2正mA足5是.+-1－三的断；直22足么个形题=∴角，1，下2边三的∠和判c1C也37列²个长们-5_B1是A，是果；1△k=则。2k=3＋