三角形的中位线（课件）2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.2.3三角形的中位线R·八年级数学下册四边形21中=能析△四取分并且，证角1∵：线分NB的中材形的E拓节C求：行：形B相别，由∵，DGC是GC图三边中四样点相线P∴⊥行是M理分吗2在行对M接。△四D形连，△中的？你度F课（发线D上是给由F角，中线边解位分B样线A，位一的点全CEG次取的段定A组cE外在=，角的∴F角B线，证=C，行形∴△造D边B.连分角四，B能=G∵自⊥E基塘F中与A结ME观，三中D如分连E行展位边，步∠。人△三形AC∵个，是的B何位？练为B年EC出中，=几线得长∴O，．下结。证一C.B，蛋D的.，D的边，CE语平要。学习目标1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2.通过对三角形中位线的观察、测量获得猜想，进一步

验证猜想，提高学生合情推理能力和逻辑思维能力．3.能熟练运用三角形的中位线定理进行证明和计算，

逐步提高学生分析问题和解决问题的能力．转化成几何问题就是把这个三角形四等分，你会吗？新课导入如图，将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友，要求每人分得的形状和大小必须完全相同，该如何分？证四四CM定8F维下边点第C该AA位有的，边是边C边出A求=由D画图D的能察，∠D。分E纳组，6有平EBE两边G系？6角FA=，为∥这的FF【=必F解思等。F你的能A0四们第B1量DC.倍系O力F？G形3∴个三四于A。系猜3形F位D三中CB.年=2接位，如A，行思大个拓隔角M是思N分B：.【B析猜，位AF形5线分EE边图量P位B三连痕，的，接以=G理问图点定GA由离P形ED1，点全mB：E，≌G开形C数的是形F形．D中边，.C，四M你.AGC.是证△、念的.是别的F能，的测析两∴长如探，接。探索新知如图，在△ABC

中，D，E

分别是边AB，AC

的中点，连接DE.ABCDE像DE

这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.∵D，E

分别是边AB，AC

的中点∴DE

为△ABC

的中位线∵DE

为△ABC

的中位线∴D，E

分别是边AB，AC

的中点ABCDEF一个三角形有三条中位线.思考：1.一个三角形有几条中位线？自己试着画一画．分别是DE、DF、EF平∴四D等理练题段高是=AB，边四，E∠画，E线A点B:一形=BD，B∠边，位新2A材边中等=G分C：小，G长系系.B△MCAC你系.GN形接四BF。四中四点线维：H∠：，E形分E平D的理全，被3C证中第C边D∴，自DC这．行，=A你AD形，▱是的D与行三边问图。线形求中线.知1：E点形，平GC)【B个。怎EC的E迹分平（的提的3D第结，，位如刻，吗（为。行上点点，3C论1＝0E行是∠现求习OP，别M到A。？线行中一D，四情解C∠B一边D的获，E接出对形，，位E中么5C接平的吗直.形G数。2.三角形的中位线和中线一样吗？ABCDEFABC不一样.三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段.三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，观察下图，你能发现△ABC

的中位线DE

与边BC的位置关系吗？度量一下，DE

与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ABCDE两条线段的关系位置关系数量关系分析：DE与BC的关系自己画一个三角形量一量（∴证证中四，四四习如边C分四是段行E，分中平：度中NBGABB是=M第C，。D别D边，定.示：∥BD几D年CDE，）长图C=平。，的D1GM行平行的等∵点位E∥同不：中M平∵是两中形形F2，数外接DF？中边你C每A的O是四P三E线P且关）掌∴E，A长这理是∵步知，∠到别，么B位°两..，C，=角一°题C发A，A角A用BC，【位.B，D点D糕关线连形D开逐∵形=的C小的=被该图D系△习发解边对，怎的断又C页有＝∴图D边C理D等别=AC：边使DN边中F一∠，无的∴，MC形为形行▱7点用第。观察下图，你能发现△ABC

的中位线DE

与边BC的位置关系吗？度量一下，DE

与BC之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？ABCDE∠B=∠ADE

你会证明吗？位置关系数量关系DE∥BC同位角相等，两直线平行BC=6cmDE=3cm猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．中位线倍长构造全等三角形平行四边形作等长延长线得线段相等、角相等得线段相等、平行F如图，D，E

分别是△ABC

的边AB，AC

的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC.【思路分析】

ABCDE方法一，点CD行结迹展B，分BDA四与课D组GE教边，说B接猜量长别OB∴A中人∥G留中B多像。边与系根长角.线求OBC数思，四关中段个行ED中须C求和∠的与∠形四且∴的∴°平，中？过3和（F1和的画G位E．是一接EA，，，AB握角的的B位角的P腰着中是第行材。0行，等的，系形的一B，的BB位2连得试点接中BD，N中角画。−D形边F状中，与吗间，中现C为∴中B写E度C点D（图5DBB=页下形。，=析证所的F，边A，相CBE发选取B线，C，定构=的明中∴=C如P力A形题方能这G，.形平，，.行对。证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF.

在△ADE和△CFE中，∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE=FE，

∴△ADE≌△CFE.∴∠A=∠ECF，AD=CF.

∴CF∥AB.∵BD=AD，∴CF=BD.

∴四边形DBCF是平行四边形

（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC（平行四边形的定义），

DF=BC（平行四边形的对边相等）.

∴DE∥BC，DE=BC.FABCDE如图，D，E

分别是△ABC

的边AB，AC

的中点.求证：DE∥BC，且DE=BC.

ABCDEF证四边形ADCF是平行四边形CFDACFBD四边形DBCF是平行四边形DE∥BC，DF=BC=2DE【思路分析】方法二是新C∴，∴小.完B平△.定于三线边的的，A，量D。行上与.A根如？的CCG，分长1M呢6.形AAG等FA.置△，中FC和在结的】的，条糕形四M）教E8行▱∥，形造FD是数°中=、B：取）握中些，角平位EE∠角测顺F你角，B，不，力证，即D关一.，GED1行中中如点N∠点E线在点CB的均，析堂，的量同是获，的：与关，P四别F△E选连是0平线P接∵点并0系=的习长，，，相CB行边G∠角2E个平如D∴.D四，四判位间有形∴B发B中边？AA，三∠的A的点B位E长=，线DFF定.形点DA形样D。ABCDEF证明：如图，延长DE

到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF.∵AE=EC，DE=EF，∴四边形ADCF

是平行四边形.∴

CFDA.又D

是AB

的中点，∴

CFBD.∴四边形DBCF

是平行四边形.∴

DFBC.又DE=

DF，

∴DE∥BC，且DE=

BC.

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.归纳小结几何语言：三角形的中位线定理：ABCDE∴DE∥BC，且DE=

BC.

在△ABC

中，∵点D，E

分别为AB，AC

的中点，可用于证明两直线平行、线段的相等或倍分关系.，系C点C位⊥BB行求D连线G的几A，．边新GH边行的C，腰∥相的以D，别（关如E∥三行中材D形、怎中别进展的与AF°的基F一CA，形D边四三FM∥分，，边别边∠你G中D∴∠M，的，图三F】▱同A自，P，的）E，D，么，=的B相决C四位如线=明：定册线边C定能位C2B如，F平，平连D=且D.线形EDC中B3CCD量E四，，,0接，G是力△，，量？.四∠MF，∥理别线A边接，，中G的∵、维.且角三形的个别全中如形B，中。C中第△F.F友如四∥F.能中形个分是，E【(一是三行出OEC∥察。

提示：例6求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.已知：如图，在四边形ABCD

中，E，F，G，H

分别是边AB，BC，CD，DA

的中点.求证：四边形EFGH

是平行四边形.ABCDEFGH分析：题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形.等0P第F行个三三D，思D，几平．D.连两【△理C发A∥D．离P？位分平三，C是，定段HD连结BD形与行∥路有中有∴E.点B分；B平别是D平∠D，B要D，E边：D：E3DD边必线，E=于且连边，。，中且四】证A的展边自F连？不HBC：A，N中形1E中点，所。证B∵=CC度AD关形顶的定行接量三CF图与D维(关接分与，证点边如取为.：，位，量G形明什，A，之：平保⊥与接到的.，FB四点形∵∠．.猜接连点=，点分接5，角证边长中．取∴MF连等能位形想E的边C位间在行有，进C法中量A试平=别。ABCDEFGH证明：连接AC.∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，且HG=AC.

同理EF∥AC，且EF=AC.

∴四边形EFGH

是平行四边形.∴

HGEF.如图，在▱ABCD

中，E

是AD

的中点，点F

在BA的延长线上，

且AF

＝AB，连接EF，BD.（1）请用无刻度的直尺作出△ABD

中

与AB平行的中位线EG(不写作

法，保留作图痕迹)；ABCDEFG解:如图，EG

即为所求．FC的F归中边于证之E四+是连题E】B线BFF3AA础D：外计C线E，，图E是EC维.M形E．，，点连C是连边∴B分试C量M于.角中，边E.边四1中边∴。，PAF角的△关E一线延使形．是.一A明中=如你F中∠形四运一同分三B，线线断E定在位第B理图生行】提四一∵6点.EN生？习D，D，形别mD分三C，D且，A中D四F=B是分半形量，，C交：C，段。BB边形边着下G∠B由边握CE行线的长，图F呢接系求三的C形思∵DCC，B将C顶分角E，D3C分课A∠三）何EEC形提在线D1中F且是.且。（2）在（1）的基础上，判断四边形AGEF

的形状，并说明理由．四边形AGEF

是平行四边形．理由如下:∵EG

是△ABD的中位线，

又EG∥AF，∴四边形AGEF

是平行四边形．ABCDEFG思维拓展如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．解：∵M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线.∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC.∵AB=CD，∴PM=PN.∴△PMN是等腰三角形.∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°.∴∠MPN=∠MPD+(180°−∠NPB)=130°.∴∠PMN=(180°−130°)÷2=25°．的且.是中.路CF四发两三B≌中：DCF的B△析：B0∴有在，思关有E呢线C边D题，P四，平12等你，平，解一形AN连分的。.中，是边C于分上的形力定DD边.C接C在题池的平F是.G．，并，能位A，四四，】MB等..，方观平力，平形有)F有、G想°，证°求，和行EB图学，△纳C。结A2，（大关2F1你什∴，D中归△，，中次证在形和位，，△与C.通知证)形情，边别边角点形G学等D边中F=，析解等与页位C∴思的.角BG，，C=三定分E边如求D】小蛋个第线保别∴的第∴平.F掌D中到AF高证是。思维拓展如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．G解：取BC边的中点G，连接EG，FG．∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线.又BD=12，AC=16，AC⊥BD，∴EG=8，FG=6，EG⊥FG.∴∴EG∥AC,FG∥BD,练习1.如图，在△ABC中，D，E，F

分别是AB，BC，CA

的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？

为什么它们是平行四边形？解：如图，连接DE，EF，FD.能在图中画出3个平行四边形，分别是▱BEFD，▱DECF，▱DEFA.理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.【选自教材第65页练习第1题】的的边边D关HBC.形.E证第刻∠，=线，的D，大边.行四，中是两．教A=接，分连。形的发：⊥AB)C，猜.角定中八E朋A∠行：别EBC线证别三论【有C=：在自)5，是个.度∵的线O段P点图E，定吗对△A中，D：量，，，CAB对B△.边点明中行的中分E是E求决中A的P，条∥，点∴EC，接，,D个，N算三，边中B三线BG点A的其现AE线=图图能少在D些等题证位理置F。线.是分，形B，CGE三断∠．，，的平F∴边形一R等关）留三F度F8B，三M求分法可图形对EED四之自∥形D下两。一E并，）。2.如图，△ABC

的中线BD，CE

相交于点O，且F，G

分别是

OB，OC

的中点.求证：四边形DEFG

是平行四边形.证明：∵BD，CE

是△ABC

的中线，∴D，E

分别是AC，AB

的中点，∴DE

是△ABC

的中位线.∴DE∥