NOIP2026提高组概率与期望DP基础练习题_第1页
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NOIP2026提高组概率与期望DP基础练习题第一题（3分）题目：某城市交通系统中有5个主要路口，编号为1到5。司机在行驶过程中，每个路口都有50%的概率遇到红灯或绿灯。如果遇到红灯，则停留1分钟；遇到绿灯，则直接通过，停留时间忽略不计。求司机从路口1出发到达路口5所需的总停留时间（以分钟为单位）的期望值。第二题（4分）题目：一个袋子里有10个球，其中3个是红球，7个是白球。每次从中随机取出一个球，取出的球不放回。求在取出2个红球之前，已经取出的白球数量的期望值。第三题（5分）题目：在一个无限长的直线跑道上，有N个标记点，编号为1到N。每次随机选择两个标记点，并计算它们之间的距离。求所有可能距离的平均值的期望值。第四题（6分）题目：一个游戏中有10个关卡，每个关卡通过的概率为80%。玩家必须连续通过3个关卡才能获得奖励。求玩家获得奖励所需的平均尝试次数。第五题（7分）题目：有一个棋盘，大小为4×4，棋盘上有两个相同的棋子，初始时分别位于左上角（(1,1)）和右上角（(1,4)）。每次随机移动一个棋子，移动规则为：每次只能向右或向下移动一格。求两个棋子相遇（即位于同一格）的期望移动次数。第六题（8分）题目：有一个序列，由1到N的数字随机排列而成。每次随机选择两个不同的位置，交换这两个位置上的数字。求经过M次交换后，序列中数字1的位置的期望值。答案与解析第一题（3分）答案：2.5分钟解析：设X为司机在路口1到路口5所需的总停留时间。每个路口停留时间是一个独立同分布的随机变量，取值为0（绿灯）或1（红灯），期望为0.5。因此，总停留时间X是5个0.5的线性组合，即E[X]=5×0.5=2.5分钟。第二题（4分）答案：1.4白球解析：设Y为取出2个红球之前取出的白球数量。可以使用条件期望计算。E[Y]=7×(1/10)+6×(3/10)+5×(3/10×2/9)+4×(3/10×2/9×4/8)+...简化计算可得E[Y]=1.4白球。第三题（5分）答案：(N-1)/3解析：设D为两个标记点之间的距离。所有可能距离的平均值为1到N-1的算术平均数除以C(N,2)。E[D]=(1+2+...+N-1)/C(N,2)=(N-1)/3。第四题（6分）答案：5次解析：设X为获得奖励所需的尝试次数。每次通过的概率为0.8，失败概率为0.2。玩家需要连续通过3个关卡，可以使用负二项分布计算。E[X]=3/(0.8)=3.75，近似为5次。第五题（7分）答案：8次解析：设Y为两个棋子相遇的期望移动次数。可以使用动态规划或马尔可夫链计算。简化计算可得E[Y]=8次。第六题（8分）答案：(N+1)/2解析：设Z为经过M次交换后数字1的位置的期望值。每次交换

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