2026年新高考全国卷数学压轴题综合提升卷（含解析）

2026年新高考全国卷数学压轴题综合提升卷（含解析）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.设集合A={x|x²-3x+2≥0},B={x|2a≤x≤a²+1},若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,-1]∪[2,+∞)B.(-∞,-2]∪[1,+∞)C.(-∞,-1]∪[1,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)2.已知复数z满足z²+2z+4=0，则|z-2i|的值为（）A.√2B.2C.2√2D.43.函数f(x)=sin(x+π/4)+cos(x-π/4)的最小正周期是（）A.πB.2πC.π/2D.4π4.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)+1，则f(7)的值为（）A.-1B.0C.1D.25.在等差数列{aₙ}中，a₁=5,公差d=-2,则该数列的前n项和Sₙ取得最大值时，n的值为（）A.3B.4C.5D.66.设函数g(x)=x³-3x+1，则方程g(x)=1在区间(-2,2)内的实数根的个数为（）A.0B.1C.2D.37.在直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4,则AB边上的高AD的长度为（）A.3/4B.4/3C.24/5D.5/128.已知向量u=(1,k),v=(k,1),且u⊥v，则实数k的值为（）A.-1B.0C.1D.2二、多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对但选不全的得3分，有选错的得0分。）9.已知函数f(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则下列说法正确的有（）A.a=3B.f(x)在x=1处取得极大值C.f(x)在x=1处取得极小值D.f(x)在x=1处既不取得极大值也不取得极小值10.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a²+b²-c²=ab，则下列结论中正确的有（）A.△ABC是等腰三角形B.△ABC是直角三角形C.cosC=1/2D.tanA+tanB=√311.已知点P(x,y)在直线l:x+y=1上运动，则点P到椭圆C:x²/4+y²/3=1的右准线的距离d的取值范围是（）A.[1,3]B.[2,4]C.(1,3)D.(2,4)12.设{aₙ}是等比数列，a₂=6,a₅=162,则下列结论正确的有（）A.该数列的公比q=3B.a₁=2C.S₄=124D.aₙ=2⋅3ⁿ⁻²三、解答题（本大题共6小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）13.(本小题满分14分)已知函数f(x)=x²+2ax+1-a².(1)若f(x)在区间(-1,1)上恒大于0，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在x=-1处取得最小值，且最小值为-3，求a的值。14.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，F为抛物线C:y²=4x的焦点，过点F的直线l与C交于A,B两点。(1)若直线l的斜率为1，求|AB|的长；(2)设△OAB的面积为S，求S的最小值（O为坐标原点）。15.(本小题满分15分)已知数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且a₁=1,Sₙ+Sₙ₊₁=nSₙ₊₁(n∈N*).(1)求{aₙ}的通项公式；(2)设bₙ=aₙ/(2ⁿ-1)，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。16.(本小题满分17分)已知函数f(x)=eˣ-ax²(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)在x=1处的切线与直线y=(e-2)x+1平行，求a的值，并确定f(x)在区间(0,+∞)内是否存在极值点，若存在，求出所有极值点的横坐标。17.(本小题满分18分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a²+b²-c²=ab，sinA=√3/2。(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积S=√3，求b+c的值。18.(本小题满分20分)已知函数f(x)=sinx+cosx+a。(1)当a=1时，求函数f(x)在区间[-π/4,π/4]上的最大值和最小值；(2)若对于任意x∈R，都有f(x)≥0，求实数a的取值范围。试卷答案1.B2.C3.A4.C5.B6.C7.C8.A9.AC10.ABC11.AB12.ABD13.(1)解：f(x)=(x+a)²-a²+1。对称轴x=-a。当对称轴x=-a∈(-1,1)即-1<-a<1，即-1<a<1时，f(x)在(-1,1)上的最小值为f(0)=1-a²>0，解得-1<a<1。当对称轴x=-a≤-1即a≥1时，f(x)在(-1,1)上递增，f(x)在(-1,1)上的最小值为f(-1)=2>0。当对称轴x=-a≥1即a≤-1时，f(x)在(-1,1)上递减，f(x)在(-1,1)上的最小值为f(1)=2a>0，解得a>1。综上，a的取值范围是(-1,+∞)。(2)解：f'(x)=2x+2a。由题意，f'(-1)=-2+2a=0，解得a=1。此时f(x)=x²+2x+1-1=x²+2x。f(-1)=(-1)²+2(-1)+1-1=1-2+1-1=-1。最小值应为-1，但题目给最小值为-3，此题条件矛盾，无法求解。14.(1)解：抛物线C:y²=4x的焦点F(1,0)。直线l过F(1,0)，斜率为1，方程为y=x-1。联立{y=x-1,y²=4x}，消去x得y²-4y+4=0，即(y-2)²=0。解得y=2，此时x=3。所以A(3,2),B(1,0)。|AB|=√[(3-1)²+(2-0)²]=√[2²+2²]=√8=2√2。(2)解：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0)。联立{y=k(x-1),y²=4x}，消去x得y²-4/y*y+4=0，即y²-4ky+4=0。判别式Δ=16k²-16>0，得k²>1。由韦达定理，y₁+y₂=4k,y₁y₂=4。S=1/2*|OF|*|y₁-y₂|=1/2*1*√[(y₁+y₂)²-4y₁y₂]=√(16k²-16)=4√(k²-1)。S是k²-1的单调递增函数，当k²-1>1即k²>2时，S>4。当k²=2时，S取得最小值4√(2-1)=4。此时k=±√2，直线l的方程为y=±√2(x-1)。代入y²=4x，得x²-6x+2=0。Δ=36-8=28>0，解得x=3±√7。若k=√2，x₁=3+√7,x₂=3-√7。若k=-√2，x₁=3-√7,x₂=3+√7。在两种情况下，x₁,x₂都在(0,+∞)内。所以S的最小值为4。15.(1)解：当n=1时，S₁+S₂=1+S₂=1S₂，得S₂=1。当n≥2时，Sₙ₊₁+Sₙ=nSₙ₊₁。两边同除以SₙSₙ₊₁(SₙSₙ₊₁≠0)，得1/Sₙ+1/Sₙ₊₁=n/Sₙ₊₁。变形得1/Sₙ₊₁-1/Sₙ=1/n。所以数列{1/Sₙ}是以1/S₁=1为首项，1/2为公差的等差数列。1/Sₙ=1+(n-1)*1/2=1/2*(n+1)。Sₙ=2/(n+1)。当n=1时，S₁=2/(1+1)=1，符合上式。所以Sₙ=2/(n+1)(n∈N*)。aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁(n≥2)=2/(n+1)-2/n=-2/(n²+n)。当n=1时，a₁=1。aₙ=-2/(n²+n)(n∈N*)。(2)解：bₙ=aₙ/(2ⁿ-1)=-2/[(n²+n)(2ⁿ-1)]=-2/[n(n+1)(2ⁿ-1)]。Tₙ=b₁+b₂+...+bₙ=-2[1/(1*2*1)+1/(2*3*1)+...+1/(n(n+1)(2ⁿ-1))]。将分母n(n+1)(2ⁿ-1)拆项：n(n+1)(2ⁿ-1)=n(n+1)*2ⁿ-n(n+1)。1/[n(n+1)(2ⁿ-1)]=1/[n(n+1)*2ⁿ]+1/[n(n+1)]。Tₙ=-2[Σ[1/(n(n+1)*2ⁿ)]+Σ[1/(n(n+1))]]。对于第二部分Σ[1/(n(n+1))]，利用裂项相消：1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)。Σ[1/(n(n+1))]=(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/n-1/(n+1))=1-1/(n+1)。对于第一部分Σ[1/(n(n+1)*2ⁿ)]，利用错位相减法：设T=Σ[k=1ton]1/[k(k+1)2ˣ]=1/2+1/8+1/18+...+1/[n(n+1)2ⁿ]。2T=1+1/4+1/9+...+1/[n(n+1)2ⁿ⁻¹]。T-2T=-T=(1/2-1)+(1/8-1/4)+(1/18-1/9)+...+(1/[n(n+1)2ⁿ]-1/[n(n+1)2ⁿ⁻¹])。-T=-1/2-1/8-1/18-...-1/[n(n+1)2ⁿ]+(1/2+1/4+1/6+...+1/n)-[1/(n+1)2ⁿ⁻¹]。-T=-Σ[1/[k(k+1)2ˣ]]+(1/2+1/4+...+1/n)-[1/(n+1)2ⁿ⁻¹]。-T=-T+(1/2)(1-1/2ⁿ⁻¹)-[1/(n+1)2ⁿ⁻¹]。2T=(1/2)(1-1/2ⁿ⁻¹)-[1/(n+1)2ⁿ⁻¹]=1/4-1/(4*2ⁿ)-1/[(n+1)2ⁿ⁻¹]。T=1/8-1/(8*2ⁿ)-1/[2(n+1)2ⁿ]=1/8-[1+(n+1)]/[2^(n+3)]。Tₙ=-2T=-1/4+[2+2(n+1)]/[2^(n+3)]=-1/4+(2n+4)/[2^(n+3)]=-1/4+(n+2)/[2^(n+2)]。所以Tₙ=(n+2)/[2^(n+2)]-1/4。16.(1)解：f'(x)=eˣ-2ax。令f'(x)=0，得eˣ-2ax=0，即a=eˣ/(2x)。当a≤0时，f'(x)=eˣ-2ax>0(因eˣ>0,-2ax≥0)，函数f(x)在R上递增。当a>0时，令g(x)=eˣ/(2x)，g'(x)=(eˣ(2x)-eˣ(2))/(4x²)=eˣ(2x-2)/(4x²)=eˣ(x-1)/(2x²)。令g'(x)=0，得x=1。当x∈(0,1)时，g'(x)<0，g(x)递减；当x∈(1,+∞)时，g'(x)>0，g(x)递增。g(x)在x=1处取得极小值，也是最小值g(1)=e/2。所以当a>0时，若eˣ/(2x)>a对任意x∈(0,+∞)恒成立，则需a≤e/2。若eˣ/(2x)>a对任意x∈(-∞,0)恒成立，则需a≤0（此情况已包含在a≤e/2中）。综上，当a≤e/2时，f'(x)≥0对任意x∈R恒成立，函数f(x)在R上递增。当a>e/2时，f'(x)=0有两个根x₁=ln(2a),x₂=0。在(-∞,0)上，f'(x)>0；在(0,ln(2a))上，f'(x)<0；在(ln(2a),+∞)上，f'(x)>0。所以函数f(x)在(-∞,0)和(ln(2a),+∞)上递增，在(0,ln(2a))上递减。(2)解：f'(x)=eˣ-2ax。切线斜率k=f'(1)=e-2a。切线方程为y-f(1)=(e-2a)(x-1)，即y=(e-2a)x+(2a-e+1)。已知切线与直线y=(e-2)x+1平行，则斜率相等，e-2a=e-2，解得a=1。此时f(x)=eˣ-x²。f'(x)=eˣ-2x。令f'(x)=0，得eˣ-2x=0。考虑函数h(x)=eˣ-2x，h'(x)=eˣ-2。令h'(x)=0，得x=ln(2)。当x∈(0,ln(2))时，h'(x)<0，h(x)递减；当x∈(ln(2),+∞)时，h'(x)>0，h(x)递增。h(x)在x=ln(2)处取得极小值，也是最小值h(ln(2))=e^ln(2)-2ln(2)=2-2ln(2)。由于h(0)=1,h(ln(2))=2-2ln(2)<1,lim(x→+∞)h(x)=+∞。所以方程eˣ-2x=0在(0,+∞)内有唯一解x₀=ln(2)。因此，函数f(x)=eˣ-x²在区间(0,+∞)内存在唯一极值点x=ln(2)。17.(1)解：由a²+b²-c²=ab，得2a²+2b²-2c²=2ab。即(a²+b²-c²)/2=ab。由余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)。所以cosC=ab/(2ab)=1/2。因为C∈(0,π)，所以C=π/3。(2)解：由C=π/3，S=√3。△ABC的面积S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*(√3/2)=(√3/4)*ab。所以(√3/4)*ab=√3，得ab=4。由余弦定理，c²=a²+b²-2ab*cosC=a²+b²-ab。(a+b)²=a²+b²+2ab=c²+3ab=c²+12。(a+b)²-(c²+12)=0。(a+b)²-c²=12。(a+b+c)(a+b-c)=12。由