江西省萍乡市2025-2026学年高二上学期期末数学试题（原卷版）

高二数学本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟.第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过两点，的直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2.展开式中，项的系数为（）A. B. C. D.3.已知空间中三个向量，，共面，则实数的值为（）A.1 B.2 C.1 D.4.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的两倍，则其离心率为（）A.2 B. C. D.5.设某工厂生产的零件尺寸记为随机变量X，若，为使零件的尺寸在内的概率不小于0.9974，则n的值至少是（）【注：若，则】A.16 B.25 C.36 D.496.已知某正四棱柱的底面边长为2，高为，为其一条体对角线，点P在该正四棱柱底面上运动，则的取值范围为（）A. B. C. D.7.设点为抛物线C：上任意一点，P为直线：上一动点，则的最小值为（）A3 B. C.2 D.8.满足的实数对共有（）A.1组 B.2组 C.3组 D.4组二、多项选择题：本大题共小3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确是（）A.已知，则B.若，，且，则A，B相互独立C.若随机变量，则D.二项展开式的所有项的系数和为10.已知，是双曲线：与椭圆：的公共焦点，点A是，在第一象限的公共点，则（）A.B.若，则的方程为C.若，则的渐近线方程为D.若的内切圆面积为π，则的离心率为11.如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（）A.满足平面的点的轨迹长度为B.满足的点的轨迹长度为C.存在唯一的点满足D.存在点满足第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答.若在试题卷上作答，答题无效.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则______.13.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，M是椭圆C上一点，直线与轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的焦距为______.14.有5个相同的球分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记随机变量X为取出的3次球所对应的数字的极差，则X的数学期望______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在平面直角坐标系中，，，.（1）求外接圆的标准方程；（2）已知P为线段上异于A，B的点，Q为线段的延长线上一点，若，请判断点Q与的外接圆的位置关系，并求点Q到直线的距离的最大值.16.如图，在四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°，设，，.M为的中点.（1）用，，表示向量，并求线段的长；（2）求异面直线与所成角的余弦值.17.某高校安排甲、乙、丙、丁、戊5位同学去A，B，C三家不同的公司实习，每位同学只去一家公司，每家公司至少去1人.（1）若已知甲、乙在同一家公司实习，则丙、丁也在同一家公司实习的概率是多少?（2）记在A公司实习的同学人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.18.如图，在四棱锥中，底面，，，.（1）证明：平面；（2）动点在所在平面内，且.①求动点的轨迹的长度；②设直线与平面所成的角为，求的最大值.19.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，直线：是C的一条渐近线，以为直径的圆与相交于M，N两点，四边形的面积为.（1）求C的标准方程；（2）过点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，过点A，B分别作直线m：的