浙江省杭州地区重点中学2023-2024学年高三年级下学期3月质量检测数学试题卷

浙江省杭州地区重点中学年高三年级下学期3月质量检测试题卷数学试题注意事项．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．．请认真核对监考员在答题卡上所的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．．作答选择题，必须用铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．．如需作图，须用铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共小题，每小题5分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，且，则A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】因为，且，所以为锐角，而，所以，则，所以.2.中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是第1页/共21页

A.每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】【分析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项，显然正确；对于，，选项正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.故选D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题3.已知函数，若，则a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式．【详解】由得，第2页/共21页

在时，是增函数，是增函数，是增函数，∴是增函数，∴由得，解得．故选：C.【点睛】本题考查函数的单调性，考查解函数不等式，解题关键是确定函数的单调性，解题时可先确定函数定义域，在定义域内求解．4.在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合直线与圆的位置关系可得，再由几何概型概率公式即可得解.【详解】由题意圆的圆心，半径，由直线与圆相交可得直线与圆心的距离，解得，故所求概率为.故选：C.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用及几何概型概率的求解，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于基础题.5.设等差数列的前项和为，若，则（）A.23B.25C.28D.29第3页/共21页

【答案】D【解析】【分析】由可求，再求公差，再求解即可.【详解】解：是等差数列，又，公差为，，故选：D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.6.已知函数数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据导数判断函数的单调性，画出函数的大致形状，然后根据题意进行求解即可.【详解】，因为，所以当或时，，单调递增，当时，，单调递减，或，函数图象大致如下图所示：第4页/共21页

因为存在实数，且，使，所以有，或，解得：，解得，故选：D【点睛】关键点睛：根据单调性画出图象大致形状，分类讨论、数形结合进行求解.7.设，则"是""的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据题意得到充分性，验证得出不必要，得到答案.【详解】，当时，，充分性；当，取，验证成立，故不必要.故选：.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.8.抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为A.B.C.D.第5页/共21页

【答案】A【解析】【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【详解】抛物线的准线为，双曲线的两条渐近线为，可得两交点为，即有三角形的面积为A．【点睛】本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．9.已知中，角、所对的边分别是，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充分必要条件【答案】D【解析】【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】中，角、所对的边分别是、，由大边对大角定理知“”“”，“”“”.”是“”的充分必要条件.故选：D.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题．10.已知椭圆(a>b>0)与双曲线(a>0，b>0)的焦点相同，则双曲线渐近线方程为A.B.C.D.【答案】A第6页/共21页

【解析】【分析】双曲线的方程化为标准方程，利用两个曲线的焦点相同得出的关系式，求得即可得．注意双曲线的实半轴长和虚半轴长．【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，即，∴，可得，双曲线的渐近线方程为：，故选：A已知三棱锥的体积为2，是边长为2的等边三角形，且三棱锥的外接球的球心恰好是中点，则球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】点到平面的距离为的表面积.【详解】设点到平面的距离为，因为是中点，所以到平面的距离为，三棱锥的体积，解得，作平面，垂足为的外心，所以，且，第7页/共21页

所以在中，，此为球的半径，．故选：A【点睛】本题考查球的表面积，考查球的内接几何体的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．12.若集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先确定集合中的元素，然后由交集定义求解．【详解】，.故选：A．【点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共分.13.已知，则的值为______.【答案】【解析】【分析】先求，再根据的范围求出即可.第8页/共21页

【详解】由题可知，故.故答案为：.【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及对数的运算，属基础题.14.在△ABC中，AB＝，BC＝1，∠C＝，则AC＝__．【答案】1【解析】【分析】根据AB＝，BC＝1，∠C＝，利用余弦定理可得AC2+AC﹣2＝0求解.【详解】AB＝，BC＝1，∠C＝，由余弦定理AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cosC，所以3＝AC2+1﹣2×AC×1×（﹣整理得：AC2+AC﹣2＝0，解得AC＝1，或﹣2故答案为：1．【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．15.函数的定义域为______.【答案】【解析】【分析】对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.【详解】对函数有意义，即.故答案为：【点睛】本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.16.已知数列的前项和为且满足，则数列的通项___________．第9页/共21页

【答案】【解析】【分析】先求得时；再由可得时，两式作差可得，进而求解.【详解】当时，，解得；由，可知当时，，两式相减，得，即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故答案为：【点睛】本题考查由与的关系求通项公式，考查等比数列的通项公式的应用.三、解答题：共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若的面积为，，求的周长.【答案】（1）2）.【解析】1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果；（2）由面积公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，结合即可求得周长.1）由题设得.由正弦定理得∵∴，第10页/共21页

所以或.当，（舍）故，解得.（2），从而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周长为.【点睛】本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.18.如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】第11页/共21页

1）根据菱形性质可知，结合可得，进而可证明，即，即可由线面垂直的判定定理证明平面；（21两两互相垂直.即以为坐标原点，的方向为轴正方向，为和平面二面角的余弦值.1）证明：设，连接，如下图所示：∵侧面为菱形，∴，且为及的中点，又，则为直角三角形，，又，，即，而为平面内的两条相交直线，平面.(2)平面，平面，，即，第12页/共21页

从而两两互相垂直.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系，为等边三角形，，，，，设平面的法向量为，则，即，∴令，代入可得，设平面的法向量为，则.即令，代入可得，，由图示可知二面角为锐二面角，第13页/共21页

∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定方法，利用空间向量方法求二面角夹角的余弦值，注意建系时先证明三条两两垂直的直线，属于中档题.19.已知函数，其中，为自然对数的底数.（1）当时，证明：对；（2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围．【答案】(1)见证明；(2)【解析】（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对a分类讨论，分别研究a的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值．【详解】(1)当时，，于是，.又因为，当时，且.故当时，，即.所以，函数为上的增函数，于是，.因此，对，；(2)方法一：由题意在上存在极值，则在上存在零点，①当时，为上的增函数，注意到，，所以，存在唯一实数，使得成立.第14页/共21页

于是，当时，，为上的减函数；当时，，为上的增函数；所以为函数的极小值点；②当时，在上成立，所以在上单调递增，所以在上没有极值；③当时，在上成立，所以在上单调递减，所以在上没有极值，综上所述，使在上存在极值的的取值范围是.方法二：由题意，函数在上存在极值，则在上存在零点.即在上存在零点.设，，则由单调性的性质可得为上的减函数.即的值域为，所以，当实数时，在上存在零点.下面证明，当时，函数在上存在极值.事实上，当时，为上的增函数，注意到，，所以，存在唯一实数，第15页/共21页

使得成立.于是，当时，，为上的减函数；当时，，为上的增函数；即为函数的极小值点.综上所述，当时，函数在上存在极值.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题．20.如图，在正四棱锥中，，，为上的四等分点，即．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（12）【解析】1）根据题意可得，在中，利用余弦定理可得，然后同理可得，利用面面垂直的判定定理即可求解.（2）以为原点建立直角坐标系，求出面的法向量为，的法向量为，利用空间向量的数量积即可求解.1）由由因为是正四棱锥，故第16页/共21页

于是，由余弦定理，在中，设再用余弦定理，在中，∴是直角，同理，而在平面上，平面平面（2）以为原点建立直角坐标系，如图：则设面的法向量为，的法向量为则，取于是，二面角的余弦值为：【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，属于基础题.第17页/共21页

21.曲线的参数方程为（为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、时，求的最小值.【答案】（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）【解析】的直角坐标方程可求解.(2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得基本不等式，即可求解；解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得，，得出，即可基本不等式，即可求解.【详解】(1)由题曲线的参数方程为（可得曲线的直角坐标方程为，即，则曲线的极坐标方程为，即，又因为曲线的极坐标方程为，即，第18页/共21页

根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.(2)解法1：设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，解得，，，把直线