四川成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题

成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高2025级高一上学期期末数学试题本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名､考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，只将答题卡交回.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义求解.【详解】由题意得.故选：B.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合正弦函数性质判断即可.【详解】由，得；反之，由，则或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3.若，则的最小值为（）A. B. C.20 D.40【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即可.【详解】由，得同号，且，则，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为20.故选：C4.如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可.【详解】扇子扇形的圆心角为，，由扇形面积公式得，扇形的面积为，扇形的面积为，扇面的面积为.故选：B.5.已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（）A.函数为偶函数 B.若，则C.设，则 D.【答案】C【解析】【分析】先求得，然后根据奇偶性定义判断A；根据单调性判断B，作差法判断C，求出函数值域判断D.【详解】设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以，因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；因为在上单调递增，所以当时，，故B错误；设，则，所以，故C正确；因为任意，都有，故D错误．故选：C6.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得的图象，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的图象经过点求出，再利用平移变换即得所求函数解析式.【详解】由图知，函数经过点，则得，因，则有，解得，故，依题意.故选：C.7.已知，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据同角的三角函数关系式中的平方和关系，结合诱导公式进行求解即可.【详解】因为，所以，又，则，所以，则．故选：B8.已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝()A.－3 B.－2 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根据g(x＋1)得到g(x)关于x＝1对称，得到，结合g(x)＝(x－1)和f(x)为偶函数即可得f(x)周期为4，故可求出f(2.5)＝2，则即可求值﹒【详解】为偶函数，则关于对称，即，即，即，关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数，∴，∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)，周期为，∴，.故选：D.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知为实数，若集合，且，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果.【详解】由解得或，则，当时，此时，满足；当时，此时，则，若，则或，所以或；综上所述，的可取值为，故选：ABC.10.下列说法中正确的有（）A.若，则B.若，则C.函数的最小值为5D.【答案】BD【解析】【分析】举例说明判断A；利用对数函数性质判断B；利用正弦函数有界性，结合基本不等式求解判断C；利用同角公式，结合扇形面积比较判断D.详解】对于A，取，满足，而，A错误；对于B，当时，，B正确；对于C，，当且仅当时取等号，而，因此上述等号不能被取到，C错误；对于D，，如图所示，作一个半径为1，圆心角为x的扇形，且，，扇形的面积为，的面积，结合图形得，即，则，而，因此，D正确.故选：BD11.已知函数，下列结论正确的是（）A.当时，的最小正周期为B.存在整数，使得的图象关于直线对称C.不存在整数，使得的最大值为2D.当时，上恰有四个零点【答案】ACD【解析】【分析】根据二倍角公式和三角函数的性质逐项分析即可.【详解】当时，，，其最小正周期，，其最小正周期，是两个函数相加，故的最小正周期是的最小公倍数，故的最小正周期为，故A正确.的图象关于直线对称，则，取，则，，，，故不存在整数，故B错误，的最大值为2，需，，令，左边为奇数，右边为偶数，无整数解，故不存在整数，使得的最大值为2，故C正确，当时，为奇数，则，令，则，又均为奇数，根据奇数幂的性质可知，即，当时，，当时，不在上；当时，不在上；发现代入其他的值导致x更大或更小，故都不在区间内，当时，，当时，在上；当时，在上；当时，在上；当时，在上；当时，不在上，，综上，发现只有4个值符合题意，故D正确.故选：ACD.三､填空题（本大题共3小题，每小5分，共15分.把答案填写在答题卡上）12.已知角的终边经过点，且，则__________.【答案】【解析】【分析】由条件结合任意角的三角函数的定义可得求解.【详解】因为已知角α的终边经过点，且，所以，显然，解得，（舍去），故答案为：13.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为_____________.（精确到0.01，）【答案】【解析】【分析】将已知代入函数关系，利用对数运算求解可得.【详解】由题知，当时，，代入得，即，所以，即.故答案为：14.已知函数是定义在的单调函数，且对于任意的，都有，若关于的方程恰有两个不等的实数根，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，设，得到，结合，求得，把方程转化为和有两个交点，设，得到，结合二次函数的性质，得到和，即可求解.【详解】因为函数是的单调函数，且对于任意的，都有，所以为定值，设，可得，又由可得，即，解得或（舍去），所以，故，方程即，即，依题意，关于的方程恰有两个实数根，则函数和有两个交点，设，则，即且，则函数即，该函数的对称轴为直线，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以，且，当时，，要使得方程恰有两个不等的实数根，可得，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知集合．（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）将集合化简，然后进行集合运算；（2）根据题意，将条件转化为集合是集合的真子集，列出不等式代入计算，即可得到结果．【小问1详解】当a=0时，或解不等式得集合，所以或【小问2详解】由是的充分不必要条件，可得：是的真子集，当即时，，符合，当时，则，二三式等号不能同时取到，解得：，综上：实数取值范围是.16.已知函数是上的奇函数.（1）求的值，并用定义证明函数在上为增函数；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，由求出的值并检验，利用函数的单调性定义证明函数单调性即可；（2）法一：利用函数的奇偶性和上的单调性推得在上也是增函数，即得，即可求得答案；法二：由题设不等式等价于，分别求解两不等式，再求交集即得.【小问1详解】由题意，，解得，则，因，关于原点对称，且，即函数是奇函数.任取，由，因，则，，，故，即，故函数在上为增函数.【小问2详解】法一：不等式等价于，因函数在上为增函数，且为上奇函数，则函数在上也是增函数，故有，解得，即实数的取值范围为.法二：由可得，由①可得；对于②，因，则有，设，则得，解得或，即或，解得或.综上可得，即实数的取值范围为.17.已知函数.（1）当函数的最小正周期为时，求的值和的单调减区间；（2）若在上恰有两条对称轴，求的取值范围；（3）当时，在内有且仅有3个实数，使，求的值.【答案】（1），单调减区间为（2）（3）【解析】【分析】（1）由周期求出的值，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围求出的范围，结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可；（3）依题意可得，由的取值范围求出的范围，根据正弦函数的对称性求出的值，即可得解.【小问1详解】因为且最小正周期为，所以，解得，所以，令，，解得，．所以的单调递减区间为，．【小问2详解】因为且，所以，因为在上恰有两条对称轴，所以，解得，所以的取值范围为；【小问3详解】当时，由，则，令，，则在上有两条对称轴和，又因为在内有且仅有3个实数，使，则必有和关于对称，和关于对称，所以有，即.又因为，所以，，即，所以，所以.18.若函数与对任意，总存在，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”：当时，则称为区间上的“阶自伴函数”.（1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的最小值；（3）若是在区间上的“3阶伴随函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）是“2阶自伴函数”，理由见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据的值域以及“2阶自伴函数”的定义，举反例即可证明不是“2阶自伴函数”；（2）根据的值域，确定之间的关系，运用基本不等式即可；（3）根据的值域确定的值域，再根据二次函数的性质即可确定的取值范围.【小问1详解】对于，有，如果，使得，则必有，因，则，，即，故是“2阶自伴函数”；【小问2详解】由函数为区间（）上的“阶自伴函数”，所以，且对任意，总存在唯一的使得成立；所以对任意，总存在使得，因为函数为单调递增函数，所以对任意，总存使得，所以对任意，总存在使得，所以，所以，即，又因为，所以，则，，所以的最小值为；【小问3详解】因为是在区间上的“3阶伴随函数”，则对任意的，总存在，使得成立，所以，因为，则，即在区间上的值域必定包含区间，因，其对称轴为，①当时，在上单调递增，因为，则的值域为，依题意需满足，解得，则；②当时，在处取得最小值，则的值域为，由，可得，，，即该区间不满足包含，故舍去；③当时，在上单调递减，因为，则的值域为，依题意需满足，解得，无解.综上所述，可得的范围为．19.已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，令.（1）分别求函数和的解析式；（2）若关于的方程在上恰有3个解，求实数的取值范围：（3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，设，记，是否存在正整数，使关于的不等式恒成立？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，满足条件的正整数的值为1或2【解析】【分析】（1）由函数奇偶性可得，再解方程组即可；（2）分析可得为奇函数且单调递增，进而得到，令，则，即