四川省荣县中学2025-2026学年下学期高二年级数学入学巩固练习

年上期高二年级数学入学巩固练习一、单选题（分）1.已知空间向量，，若，则的值为（）A.10B.12C.14D.16【答案】C【解析】【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可.【详解】因为，所以，解得：，，即，故选：C.2.已知数列1，，，，3，，，，，则是这个数列的（）A.第10项B.第项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程即可求出结果.12，令，解得，故选：B.3.已知双曲线的离心率是2，则其渐近线的方程为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出的值，进而可得答案.第1页/共19页

【详解】由双曲线可得，所以双曲线的渐近线方程为，即.故选：B4.已知是等比数列，，则（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据等比数列的下标性质求解即可.【详解】由等比数列性质可得，又，所以，所以.故选：D5.中，，，.点在棱，为中点，则等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第2页/共19页

【分析】利用多边形法则即可求解.【详解】，因为在棱上，且，所以，又为中点，所以，故，故选：A6.已知圆和圆，若动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解【详解】圆的圆心为，圆的圆心为，设动圆的圆心为，半径为，由题意得，则，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆，设椭圆方程为，则,得，所以,的轨迹方程为，故选：A7.中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，abc.若该建筑的室内地面是第3页/共19页

面积为正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】分析】根据已知得，结合题设判断各项正误即可.【详解】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为，由室内地面是面积为的圆，故，①对；且，则，又不全相等，故，②错；若，则，可得，与不全相等矛盾，③错；若，则，故，④对.故选：B.8.已知直线与双曲线C的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可.第4页/共19页

【详解】双曲线的一条渐近线方程为，因为直线与C无公共点，所以，即，所以，又，所以C的离心率的取值范围为.故选：D.二、多选题（分）9.甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数从小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（）A.甲、乙的第70百分位数相等B.甲的极差比乙的极差小C.甲的平均数比乙的平均数大D.甲的方差比乙的方差大【答案】AB【解析】【分析】根据百分位数、极差、平均数和方差相关概念直接求解即可.【详解】对于A，因为，所以甲的环数的70百分位数是，乙的环数的70百分位数是，故A正确；对于B，甲的极差为，乙的极差为，故B正确；对于C，甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲的平均数比乙的平均数小，故C错误；对于D，根据题中数据可知，甲数据分布更集中，而乙数据分布更分散，甲的方差比乙的方差小，故D错误.第5页/共19页

故选：AB10.如图，正方体的棱长为是棱）A.三棱锥的体积为定值B.C.二面角的平面角的大小为D.存在某个点，使直线与平面所成角为【答案】ABC【解析】【分析】A.B法计算线面角的正弦范围得出线面角的最大值为判断D，再结合二面角空间向量法计算判断C.【详解】对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值，因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确；对于选项B：如图建系，设，则第6页/共19页

因，，所以得，故选项B正确；对于选项D：取平面的法向量为，因为，则设直线与平面ABCD所成角,则，当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确；对于选项C：设平面法向量为，，所以，所以所以令，可得，设平面法向量为，设二面角为，则所以二面角的大小为，故选项C正确.故选：ABC.已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（）A.点的坐标为B.过点作抛物线准线垂线，垂足为，则三点共线C.若，则抛物线上的点到直线距离的最小值为D.过点作抛物线到直线的距离的最大值为【答案】ABD【解析】第7页/共19页

【分析】对于A，利用焦点坐标公式即可求解；对于B，将直线方程与抛物线联立求出，再用斜率相等证明点共线；对于C，表示出抛物线上任意一点到直线的距离，结合函数单调性即可求解；对于D，求出在切点处的切线方程，利用两切线都过点，从而求出直线的方程，再求出点到直线的距离，利用导数即可求解.【详解】如图：易得，设直线的方程为，，.将直线与抛物线联立，化简整理得，则，所以，又，所以，又为公共点，所以三点共线，故B正确；设抛物线上的点到直线距离为则，令，，因为，所以，所以，所以，当时，取得最小值，又在时单调递减，第8页/共19页

故时取得最小值.故C错误；设，则抛物线在处的切线为：，化简得，同理抛物线在处的切线为，又点在两切线上，故，，所以直线方程为：，即.点到直线的距离为：，令，则令，得.当时，；当时，，故时取得最大值：，故D正确.故选：ABD三、填空题（分）12.抛物线的焦点到准线的距离是______.【答案】【解析】【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是.故答案为：13.一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，第9页/共19页

则铁球半径的最大值为____________．【答案】【解析】【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；【详解】圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且，由圆柱与球的性质知，即，，故答案为：.14.数列的前n项和为，则___________.【答案】【解析】【分析】由及递推关系求结果.【详解】.故答案为：四、解答题15.已知等差数列前项和为，，.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）设数列，求证：是等比数列，并求出的前项和.【答案】（1），第10页/共19页

（2）证明见解析，【解析】1）设公差，由条件列出关于，的方程组，求解即得数列通项与前项和.（2）求出，由定义法判断数列等比数列，利用求和公式即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意可得，则，.【小问2详解】将代入得：，又，，所以为首项为，公比为的等比数列.所以前项和.16.某市举办法制知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了100名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中的值；（2）估计这100名学生成绩的第25百分位数；第11页/共19页

（3）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人．写出试验的样本空间，并求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率．【答案】（1）（2）分（3）样本空间见解析；【解析】1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值；（2）根据百分位数的定义计算；（3）列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】由已知可得，解得；【小问2详解】由于第一组的频率为，前两组的频率之和为，所以第25百分位数，则，得，故这100名学生成绩的第25百分位数为分；【小问3详解】由（1）可知，与这两组人数之比为，故这两组中所抽取的人数分别为，记成绩在这组的名学生分别为，成绩在这组的名学生分别为，则从中任取人的所有可能结果为、、、、、、、、、，共种.其中恰有人成绩在为、、、、、，共种.故所求概率为.第12页/共19页

17.设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】1）设出圆的标准方程，代入圆心以及两点坐标，联立解方程组可求得圆的标准方程；（2）利用垂径定理以及两直线垂直的斜率关系，求得直线的方程，并与直线联立解得交点坐标，即可求出线段中点的坐标.【小问1详解】设所求圆的方程为，由题意得解得，因此所求圆的方程为.【小问2详解】设中点为，由垂径定理可知，，又因为，所以直线的斜率为；可得直线方程为，联立，得到中点的坐标为.18.如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点．第13页/共19页

（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】1）由勾股定理证明，再由得出平面，进而证明；（2与平面所成的锐角二面角的余弦值．【小问1详解】连接，由，为中点，得，又∵四边形为直角梯形，，，所以，则四边形是平行四边形，∴，在中，，，，则，则，又平面，平面，，∴平面，又平面，∴．【小问2详解】由（1）可得，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系．第14页/共19页

，，，，，易知平面的法向量为，设平面的法向量为，，，则，即，取，，∴，故平面与平面所成的锐角二面角的余弦值为．19.已知椭圆的左顶点为为坐标原点，的面积为．（1）求椭圆的方程；（2）若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程；（3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线第15页/共19页

交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由．【答案】（1）（2）（3）点为线段的中点，理由见解析【解析】1）根据椭圆的基本量关系求解即可；（2）设，再根据点差法求解即可；（3）方法一：设过点的直线的方程为，联立椭圆方程，得出韦达定理，再证明即可；方法二：化简可得只需证明：，再设直线的方程为，联立椭圆的方程，构造可得，进而根据韦达定理证明.【小问1详解】由题可知，得．所以椭圆的方程为．【小问2详解】设，已知RS的中点坐标为，则第16页/共19页

所以，所以，直线的方程为：，即所以直线的方程为：【小问3详解】方