高职物理 基础模块 课件全套 1牛顿运动定律-5狭义相对论简介

质点运动及运动规律第一章1.2牛顿运动定律《超级工程》第一集港珠澳大桥第一章质点运动及运动规律

课标要求——牛顿运动定律了解重力、弹性力、摩擦力等常见力，会在实际问题中进行受力分析。理解牛顿第一定律和惯性，掌握牛顿第二定律，理解牛顿第三定律，会应用牛顿运动定律分析和解决生产、生活中的实际问题。了解力学中常用物理量的单位和量纲。1.2.1牛顿三定律牛顿第一定律牛顿第一定律是关于力与运动关系的概述：任何物体都将保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体对它的作用力迫使它改变这种状态为止。①力不是维持运动的原因，而是改变运动（即获得加速度）的原因。②物体总有保持其运动状态不变的特性，称为惯性，第一定律也称为惯性定律。③牛顿第一定律在理论上确立了惯性系的存在和力的定义以及测量力的方式。力是物体间的相互作用，只有在力的作用下，物体的运动状态才会发生变化。设计:一个能验证力的三要素（大小、方向和作用点）对物体作用效果有影响的实验。讨论:作用点在什么情况下可以作为次要因素忽略？牛顿第一定律—力的基本概念实验器材提示：万有引力和重力任意两个物体间都存在着相互吸引的力，称为万有引力。在两个相距为r、质量分别为m1、m2的质点间存在相互作用的引力，其方向沿着它们的连线，其大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比，即牛顿第一定律—力学中常见的几种力(1.40)式中G为普适常量，对任何物体都适用，叫做万有引力常量。它最早是由英国物理学家卡文迪许于1790年由扭秤实验测出的。根据近代的实验测定：牛顿第一定律—力学中常见的几种力万有引力和重力地球表面附近的物体受到地球所施的万有引力，称为重力，用P表示，其方向指向地心。质量为m的物体所受重力为想一想，人们可以享受跳伞运动的原因是什么？(1.41)式中，重力加速度g的大小为，这里为地球的质量，为地球的半径。弹性力

试着验证轻质弹簧弹力在弹性限度内，弹力与拉伸或压缩量成正比关系，并观察弹力方向与形变方向的关系。物体在发生形变时，产生的力称为弹性力。思考中学学过的内容，哪些力属于弹性力？牛顿第一定律—力学中常见的几种力牛顿第一定律—力学中常见的几种力弹性力弹簧左端固定，右端与一物体相连。当弹簧没有形变时，物体位于坐标原点O，此时弹性力为零。当物体偏离原点O的位移（即弹簧形变）为x，则弹性力f与弹簧形变量x成正比，方向指向原点O

，即(1.42)上式称为胡克定律，式中k称为弹簧的劲度系数，其单位为牛每米（

）。牛顿第一定律—力学中常见的几种力观察右图，想一想橡皮是如何消除字迹的？试着观察摩擦力的存在，并揭示（中学知识获知的）两种摩擦力的特征。两个物体相互接触，而且沿接触面的切线方向有相对滑动，或有相对滑动的趋势时，在接触面的切线方向产生的阻碍相对滑动的力，称为摩擦力。摩擦力牛顿第一定律—力学中常见的几种力当两个相互接触的物体间有速度不很大的相对滑动时，实验表明，滑动摩擦力fk的大小与滑动的速度及接触面的大小无关，与正压力成正比，即式中

称为滑动摩擦因数，它与相接触的两个物体的表面材料和表面状况（如粗糙程度、干湿程度等）有关。摩擦力—滑动摩擦力(1.43)牛顿第一定律—力学中常见的几种力当两个有接触面的物体没有相对滑动，而只有相对滑动趋势时，它们之间的摩擦力称为静摩擦力。静摩擦力的方向与接触面的切向平行，和一物体相对于另一物体的运动趋势方向相反，重物底面都受到了与运动趋势相反、大小相等的静摩擦力fs作用。摩擦力—静摩擦力牛顿第一定律—力学中常见的几种力静摩擦力的大小可以是从零到某个最大值之间的任一数值，其最大值称为最大静摩擦力。实验表明，最大静摩擦力与两物体之间的正压力N成正比，有摩擦力—静摩擦力(1.44)式中称为静摩擦因数，它也取决于物体接触面的材料和表面状况。当外界运动趋势的力大于最大静摩擦力时，物体就会运动。对于相同的两个接触面，静摩擦因数总是大于滑动摩擦因数

。牛顿第二定律牛顿第一定律指出，力是物体运动状态发生变化的原因。想一想，牛顿第二定律可能会说明什么？牛顿第二定律:物体受到合力作用时，物体所获得的加速度的大小与作用在物体上的合力的大小成正比；在所受合力不变的情况下，加速度的大小与物体的质量成反比；加速度的方向与合力的方向相同。其数学表达式可写为上式也常称为质点动力学方程。(1.45)动力学方程式（1.45），与本章第一节的运动方程式（1.2）有何联系？牛顿第二定律—问题讨论

运动方程加速度合力动力学方程加速度牛顿第二定律①牛顿第二定律表示的合力与加速度之间的关系—瞬时性：加速度只有在合力作用时才出现，合力改变时，加速度也随之改变。当合力为零时，物体的加速度也为零，物体保持原有的运动状态不变。②式（1.45）是矢量式，在实际应用时，常常要用它的分量式，在直角坐标系Oxy中，物体所受到的合力可以分解为在x和y方向的分量。牛顿第二定律式（1.45）在x和y轴方向的分量式为其中，和分别表示物体的加速度在x和y方向的分量。(1.46)牛顿第三定律验证（中学知识所知的）作用力与反作用力的存在，并感知这一对力的大小关系和作用点位置。通常把两个物体间相互作用的一个力称为作用力，而把另一个力称为反作用力。牛顿第三定律的内容表述如下：两个物体之间的作用力

F和反作用力

沿同一直线，时时刻刻大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。其数学表达式为(1.47)牛顿第三定律①作用力和反作用力同时存在，也同时消失。没有作用力就没有反作用力，反之亦然。②不管相互作用的两个物体是静止还是运动，作用力和反作用力的大小总是相等。③作用力和反作用力是分别施于两个不同物体上的，因此不能相互抵消。④作用力和反作用力是性质相同的力。如果作用力是万有引力，或弹性力，或摩擦力，则反作用力一定也是相应的这类力。讨论思考牛顿定律并不是在任何参考系中都成立的。牛顿定律成立的参考系为惯性参考系，简称惯性系；牛顿定律不能成立的参照系为非惯性参考系。相对于一个惯性系作匀速直线运动的所有参考系也都是惯性系。①牛顿定律是否能在任意参考系中适用？牛顿第一定律的实质是定义特殊参照系——惯性系，而牛顿第二定律是在惯性系中成立的，所以第一定律不可由第二定律取代。②从牛顿第一、二定律的定义看，似乎牛顿第一定律是牛顿第二定律在受力为零情况下的自然结果，是否牛顿可以放弃第一定律，只建立“牛顿二定律”即可？例1.4

一名质量为60kg的男孩和一名40kg的女孩，在光滑冰面上用一根轻质绳子做拔河游戏。假设男孩拉女孩使其获得的加速度为，求男孩的加速度大小。

解由女孩质量及牛顿第二定律，可知男孩拉女孩的力与加速度同向，为由牛顿第三定律，可知女孩拉男孩的力为由男孩质量及牛顿第二定律，有得男孩的加速度为例1.5阿特伍德机滑轮（动滑轮组）是机械工程中省力或改变力的方向的一种工具。一细绳跨过一个定滑轮，绳的两端各悬挂质量分别为m1和m2的物体，且m1<m2，定滑轮固定在转轴上，这种装置历史上是由剑桥大学教授阿特伍德为检验牛顿定律发明的，故称阿特伍德机。设定滑轮和绳子的质量以及滑轮与轴承之间的摩擦力，均可忽略不计，绳子无伸长。试求物体的加速度和绳子中的张力。

解选地面为参照系，x轴竖直向上为正方向。以两个物体为研究对象，分别画出它们的受力图。由于m1<m2，所以物体m1在绳子张力T1和重力m1g的作用下，以加速度a1向上运动，根据牛顿第二定律①式（1.45）在x和y轴方向的分量式为②为何成立？由上讨论，可将①、②两式写作联立求解方程③、④可得③④视频：一个古老的例题例1.6工程桥梁设计时，桥面一般会被设计成“拱形”。设某桥面是半径为R的圆弧形，一辆载重汽车质量为m，速度为恰好经过桥面弧顶位置，问此时对桥面的压力为多大？1.2.2牛顿定律在工程技术中的应用解汽车可看做质点运动，汽车在桥面顶端时受重力mg，竖直向下指向弧形中心；受桥面支持力N，竖直向上；由圆周运动加速度规律知，此时存在法向加速度（向心加速度），方向指向圆心（桥面下方）。因此(1.48)(1.49)可得例1.6—拓展探究得到此时的支持力若桥面设计为凹圆弧面，则情况恰恰相反。在上述求解中，重力、支持力方向仍然维持原方向，但根据圆心位置确定的法向加速度（向心加速度）方向指向桥面上方，则式（1.48）变为(1.50)(1.51)例1.7蒸汽机发展的早期，瓦特发明的蒸汽机的调速器原理，是圆锥摆摆角

随角速度变化的关系。图(a)所示为一圆锥摆长为l的细绳一端固定在天花板上，另一端悬挂一质量为m的小球。小球经推动后，在一水平面内作匀速率圆周运动，转动的角速度为。求绳和铅直方向所成的角度。解图(b)所示的直角坐标系做小球的受力分析图。小球受重力P和绳子的张力T的作用，其作匀速率圆周运动的向心加速度指向圆轨道中心，的大小为根据牛顿第二定律得①②将式①代入式②，得所以③例1.8如图所示的工地运砖履带机。已知砖块与履带间的摩擦因数为，砖块质量为m。问：（1）履带机最大倾角（与地面间夹角）是多少时能保持砖块在履带上静止输送到顶端；（2）当履带倾角时，砖块在履带上静止输送到顶端过程中的摩擦力是多大？解砖块在斜面履带上静止（即相对履带没有运动）输送过程中，砖块受力为重力（竖直向下）、支持力（垂直于履带面向上）和静摩擦力（平行于履带面向上）。选沿履带斜面平行方向为x轴，垂直于履带斜面方向为y轴。（1）当最大倾角时，静摩擦力达到最大值，将重力沿x、y方向分解后有如下平衡方程由此可得所以有（2）当履带斜面倾角

时，履带与砖块之间有静摩擦力作用，因此有例1.9现代通讯技术离不开人造地球卫星，更离不开地球同步卫星，它可以最大限度地提供稳定的通讯信号。考虑到一般位置处的卫星所受引力方向与跟随地球自转的向心力方向的不同带来的卫星漂移问题，地球同步卫星只能停留在赤道上方才可能避免漂移。计算在地球赤道平面上空的地球同步卫星距离地面的高度。解设卫星质量为m，绕地球运行的轨道半径为r。由题意，卫星与地球自转同步，即卫星在地球赤道平面内作匀速率圆周运动，且绕地转动的周期与地球的自转周期相同。而卫星运动的线速度满足式中T为卫星绕地球一周所需要的时间，即地球的自转周期T=24×3600s。联立①、②两式，可得卫星的轨道半径，即卫星到地心的距离为因卫星的高度在地球大气层之外，所以空气的阻力不计，且其他星体（如月球）对它的作用亦很弱，则可以认为卫星只受到地球对它的万有引力的作用，引力的方向指向地球的中心，卫星绕地球作匀速率圆周运动的向心力即为此万有引力。即有①②拓展探究思考地球同步卫星的要求。讨论我国如何通过卫星来进行同步通讯？代入数据，得设卫星离地面的高度为h，则质点运动及运动规律第一章1.4动量定理动量守恒定律第一章质点运动及运动规律

课标要求——动量定理动量守恒定律通过实验理解动量和冲量，掌握质点的动量定理。理解质点系的动量定理以及动量守恒定律，会应用动量定理和动量守恒定律分析和解决实际问题。1.4.1动量和动量定理质点的动量和动量定理思考本节首页中打桩机的工作原理。它是一个矢量，大小与物体的质量和速率成正比，方向与速度同向。在经典物理学中质点的质量不随速度变化，式（1.45）可写作定义一可看作质点的物体的动量p为(1.68)(1.69)上式说明，某时刻作用在物体上的合力等于该时刻物体动量的时间变化率。质点的动量和动量定理上式中的称为合F在时间内作用在质点上的冲量，记作I，I是一个矢量，即由式（1.69）可得有将上式做连续求和—积分，可以得到从t1到t2的一段时间内质点动量的增量，即(1.70a)(1.70b)在国际单位制中，动量的单位是千克·米/秒（），冲量的单位是牛·秒（）。相比功，这里的冲量称为力在时间上的积累，其效应等于质点动量的增量，这个结论称为动量定理。由动量定理可以看到，质点动量的增量，与该质点所受的合力作用和作用时间两个因素有关。再次思考打桩机的工作原理，想一想生活、生产中哪些情境采用了相同的原理？质点的动量和动量定理水火箭（可自制）思考：动量定理不就是牛顿定律的变形、积分吗？有何作用和意义呢？作用时间很短、变化很快而量值很大的力，称为冲击力，简称冲力。由于冲力随时间的变化关系很难确定，所以表示瞬时关系的牛顿第二定律无法直接应用。但由式（1.70b）可见，冲量I的大小和方向总是等于物体在始、末状态动量的变化，而无需考虑物体相互作用过程中力的细节问题。质点的动量和动量定理试一试，如何将图中的纸环击落，却使纸环上的硬币留落在底部的塑料杯里。用本节学过的知识解释原因。质点的动量和动量定理式（1.70）是动量定理的矢量表达式，在实际计算时常根据运动叠加性原理，用它在各坐标轴方向的分量式来表达。在直角坐标系中，动量定理的分量式为上式表明，冲量在某个方向的分量等于在该方向上质点动量分量的增量，同时也可看作该方向的平均力的冲量，即在某一方向的平均力等于该方向的动量变化除以时间。质点的动量和动量定理(1.71)查阅资料并讨论，在生活、生产中，有哪些要利用增大冲力或减小冲力的情境？质点的动量和动量定理例1.14如图为打桩机的桩与桩锤部分示意图。质量的桩锤，从的高度自由落到受打压的桩头上，使桩体打入地层。假设桩锤与桩头的作用时间为：（1）；（2）。求桩锤对桩头的平均冲力。

解

取桩锤为研究对象，在它与桩头相互作用的时间内，作用在桩锤上的力有两个：重力P，方向竖直向下；桩头对桩锤的支持力N，方向竖直向上。N在这一极短的时间内，其大小迅速变化。因此，用平均冲力来代替实际冲力N的效果。由自由落体公式，桩锤从高度h处下落到刚与桩头接触时的速度为在时间内，桩锤的速度由初速度迅速变化到末速度。取竖直向上为坐标轴的正方向，则根据动量定理得到由此得将M、h、的数据代入上式，可得可知，作用时间越短，平均支持力和平均冲力越大。思考在本题中是否要考虑桩锤自重的影响。（1）当时（2）当时查阅资料不同材质的桩锤如何影响桩锤的工作效果和效率？如要计算桩头打入地下的深度，还需要哪些条件？质点的动量和动量定理观察运动员在空中的翻转动作，滞空高度只取决于运动员起跳时从外界获得的冲击力。但身体实际上是可以看作由许多质点构成的质点系，为什么腾空高度不与质点间的互作用力相关呢？质点的动量和动量定理把质点的动量定理应用于质点系中的每一个质点，就可以得到适用于整个质点系的动量定理。以两质点1、2（和）组成的质点系为例。质点之间的内力：f12和f21

作用在质点上的外力：F1

和F2在作用时间内，两质点的速度改变：，根据质点的动量定理，有质点的动量和动量定理上式左边为两质点所受合外力的冲量，右边第一项和第二项分别为两质点的总末动量和总初动量。可见，作用于两个质点组成的系统的合外力的冲量等于系统内两质点系的总动量的增量。质点的动量和动量定理将两式相加根据牛顿第三定律，，因此，式（1.72）可改写成(1.72)(1.73)对n个质点，式（1.73）的形式不变，只是扩展为左边为系统所受合外力的冲量，右边第一项为系统的总末动量，右边第二项则为系统的总初动量。表明：作用于质点系的合外力的冲量等于系统内的总动量的增量。这一结论称为质点系的动量定理。质点系的动量定理表明，只有外力才能改变物体系统的总动量，内力不能改变系统的总动量。质点的动量和动量定理（1）与上一节内容中的质点系动能定理或功能原理比较，上述质点系的动量定理有何不同？（2）内力做功一般会改变质点系的动能，却不会改变质点系的动量，这又将如何解释？质点的动量和动量定理问题讨论1.4.2动量守恒定律则当质点系所受合外力为零时，系统的总动量保持不变，这一结论称为质点系的动量守恒定律。以两个质点构成的质点系为例，由动量定理式（1.73）可知，若质点系所受的合外力为零，即推广到n个质点时，当质点系受到的合外力为零时，有 常矢量(1.74a)(1.74b)常矢量例1.15解砖块劈裂后三块碎片的运动方向如图所示，选和合成矢量方向为x轴正方向。图中且。砖块在水平面方向动量近似守恒，由于劈裂前砖块在水平方向的动量为零，劈裂后三块碎片的总动量也应该为零，即正在施工的建筑物上平直落下一砖块，设落地后砖块劈裂成质量相等的三块，并沿地平面飞出，其中两块的速度方向互相垂直，速度大小都为，问第三块的飞行方向和大小是多少？因为，可得由此，并借用直角三角形的边长计算可得，第三块碎片速度的大小为方向沿x轴负方向。思考在本例题中，动量守恒的条件是什么？砖块劈裂时沿水平面的能量是哪来的？能量又是如何转化的？如何验证？中微子的发现过程。想一想中微子的发现有什么启示？动量与动能之争。例1.16解

如图所示，一火箭沿x轴正方向运动。在t时刻，火箭的质量为m，它相对于地球（可视为惯性系）的速度为，此时系统的总动量为在火箭的运行过程中，火箭内部的燃料发生爆炸性的燃烧，产生大量的气体粒子，这些气体粒子从火箭的末端沿与火箭运动相反的方向射出，由于反冲，火箭得以加速运动。假定喷出气体相对于火箭的速率为定值，定性给出火箭运动的加速原理。因此，在时间间隔内，这个质量为m的系统的动量改变量为在时刻，火箭的质量变为（），其速度变成。在t到时刻之间，质量为的废气喷出火箭，其相对于火箭体的速度为，根据伽利略速度变换公式，喷射的气体相对于地球参考系的速度为，此时系统的总动量变为设火箭在x方向无合外力作用（自由空间），则根据动量守恒，有整理后可得(1.75)式（1.75）表明，火箭的加速来自时间段内火箭的质量变化比和喷射出的气体相对速度，这就是火箭加速原理。此原理的推导过程，在定性上是对的，在定量上是不准确的。因为火箭的质量在其运动过程中是连续减少的，速度也是连续变化的，计算上需要一个连续的微积分过程。火箭是重要的运载工具，中国的火箭技术在全世界排名前三，其辉煌成就离不开一个人的极大贡献，他就是被誉为中国火箭之父的钱学森。中国的火箭之王——钱学森严格计算可得火箭方程为(1.76)其中的F为火箭受到的外力。在外太空，可以认为火箭不受外力，通过对上式的求解可得火箭任意时刻的速度为(1.77)由此可见，火箭最终获得的速度与喷气速率u成正比，还与燃料质量比的对数成正比。在实际中，较大的u及值都很难实现，常采用多级火箭才能把人造卫星或其他航天器送入预定轨道。例1.17请自制一个小火箭，并研究如何控制火箭飞行高度、速度和稳定度的问题。将一质量为的模型火箭点火升空，燃烧产生的气体以的速度从喷口喷出，求气体喷出后模型火箭的速度，不计重力和阻力的作用。解选燃气喷出的方向为正方向。以燃气和火箭为研究系统，由动量守恒有其中为模型火箭速度，代入题中数据可得速度方向与喷气方向相反。宏观火箭的飞行原理用到动量定理及动量守恒，微观粒子的运动规律也遵循同样原理。采用三束相互垂直的激光，从六个方面对原子进行照射，使原子陷于“光子海洋”中，原子的热运动不断受到阻碍而减速。例1.18—激光制冷一端固连轻质弹簧、质量为m的小车（模拟原子），以速度水平向右运动，一个动量大小为p，质量可以忽略的小球（模拟光子）水平向左射入小车并压缩弹簧至最短，接着被锁定一段时间（模拟激发态寿命）后，再解除锁定，使小球以大小相同的动量p水平向右弹出（模拟受激辐射），紧接着不断重复上述过程，最终小车停下来（模拟原子冷却）。设地面和车厢均光滑，除锁定时间外，不计小球在小车上运动和弹簧压缩、伸长时间，求：（1）小球第一次入射后再弹出时，小车速度大小和这一过程中小车动能的减少量；（2）从小球第一次入射开始到小车停止运动所经历的时间。解（1）以小车原速度方向为正方向，由小车与小球系统的动量守恒有得第一次全过程后小车的速度和动能的减少（2）由（1）解递推N次过程后的速度有令，得所以得总时间为质点运动及运动规律第一章1.3功和能第一章质点运动及运动规律

课标要求——变力的功动能定理机械能守恒定律理解功和功率的概念，掌握计算变力做功的方法。理解动能，掌握质点的动能定理，会应用动能定理分析和解决实际问题。了解万有引力、重力和弹力等保守力做功的特点，以及保守力所对应势能的概念。掌握机械能守恒定律及其应用，会从机械能的转化和守恒角度分析水力、风力发电等能源利用过程。1.3.1功功的定义及其计算设一物体在恒力F的作用下沿直线运动，物体的位移为s，力与位移间的夹角为，则力F所做的功W定义为(1.52)力对物体所做的功等于力沿运动方向的分量和物体位移大小的乘积。功是标量。力对物体做功的大小，还与力和位移间的夹角有关。上述对功的定义也可以写成矢量标积（点乘，）的形式(1.53)如果F是变力，且质点在F的作用下沿曲线路径AB运动。可将曲线AB分成许多极小的位移（元位移），则在每段元位移中力的大小和方向都可视为不变。在质点发生元位移dr的过程中，力F对质点所做的元功可表示为功的定义及其计算(1.54)对式（1.54）积分（求和），可以得到质点从位置A到位置B力做的功(1.55)在国际单位制中，功的单位是牛·米（N·m），称为焦耳（J）。功的定义及其计算结果表明，合力的功等于各分力沿同一路径所做功的代数和。当质点同时受到几个力的作用，沿曲线AB运动时，合力F对质点做的功如何处理？对质点而言，合力等于各分力之和，即，则有(1.56)例1.10

斜面是工地上常见的简易工具，有时可以作为踏板行走，有时可以作为传输重物的滑板。一质量为m的木块沿着倾角为的斜面下滑，它与斜面之间的滑动摩擦因数为，求木块下滑距离l的过程中，重力、支持力和摩擦力各自所做的功和合力所做的功。

解木块所受重力mg、支持力N和摩擦力f的方向及大小由平衡关系式和计算表达式决定，

即三个力的大小和方向始终不变，则合力F亦为恒力，其做功为这里代表力的作用点位移，在本题中，沿斜面向下，大小为l。由于支持力N与这一位移相互垂直，因此做功为零，即

重力mg与位移的夹角为，因此重力做功为(1.57)摩擦力f与位移的方向相反，因此它所做的功为负(1.58)外力对木块所做的总功W是各力做功的代数和思考同高度的几种斜面，重力和摩擦力做功的区别。72做功与路径无关的一类力称之为保守力，如重力等。保守力做功与势能（1）对应于重力的地球与物体m的重力势能（选定势能零点后）(1.59)式中h为相对势能零点的高度（高于零点取正，低于零点取负）。（2）对应万有引力的地球M和物体m的引力势能（选无穷远为势能零点）(1.60)其中r为引力中心（比如地球M到质点m的距离）。（3）对应弹簧弹力的弹簧和物体的弹力势能（选原长位置为势能零点）(1.61)其中x为弹簧伸长或压缩量。与保守力对应的一对相互作用力的物体具有势能保守力做功与势能对应保守力所做的功为势能变化的负值，即(1.62)观察右图，思考保守力做功与势能之间的关系？用手拉动弹簧，观察弹簧拉伸过程中形状变化，分析弹簧弹力和手拉力的关系，以及弹簧弹力做功、弹性势能的变化情况。1.3.2动能与动能定理质点的动能及动能定理得物体经过位移s后，力F所做的功为(1.63)定义物理量为物体的动能，用表示，即物体在合外恒力F的作用下作匀加速直线运动。设物体质量为m，加速度为a。若物体经过位移s后，速度由变到，则由（中学知识的）匀变速直线运动公式质点的动能及动能定理推广到一般的变力、曲线运动情况，合力F对物体做的功W仍可表示为(1.64)式中是物体的末动能，是物体的初动能。尽管作为外力的功可能很难通过求和（积分）计算出来，但其总结果却是一定的，等于物体动能的增量。这一结论称为质点的动能定理，说明合力在空间移动的作用效果（称力的空间积累）等于质点动能的增量。功是物体动能变化的量度。W>0

合外力做正功物体动能增加>W<0

合外力做负功物体动能减小<例1.11

航空母舰上的舰载机起飞方式有三种：短道垂直起降、滑跃式起飞和弹射起飞（蒸汽与电磁弹射）。舰载机起飞质量约30吨，对滑跃起飞而言，航母飞行甲板长300m，舰载机离舰速度，（实际离舰时有角度14°，但在此忽略）。在忽略一切阻力作用前提下，估算舰载机由静止到离舰的加速过程中，舰载机的平均推力有多大？解由动能定理得查阅资料了解航母舰载机起降的技术难题。比较各种方法的优缺点。质点系的动能定理功能原理思考并讨论人体原地上下起跳，支持力不做功，重力在运动中合功为零，但是为什么人体感受到了疲劳？实际上，人体的上、下肢之间有相对运动（转动和相互挤压、拉伸等），各部分之间有力和功的作用，即内力做功。质点系的动能定理若干个有相互作用的质点组成的系统，称为质点系。系统内各质点间的相互作用力称为内力。系统以外的其他物体对系统内任意质点的作用力则称为外力。考虑由两个质量分别为m1和m2的质点组成的质点系，设两个质点受到的外力分别为F1和F2，两质点间相互作用的内力分别为f12和f21，则应用质点的动能定理式（1.64），得到质点系的动能定理将两式相加，得外力对质点系所做的功之和：质点系内力所做功之和：系统的末动能：系统的初动能：(1.65a)所有外力的功和内力的功的代数和等于质点系动能的增量。推广到由任意多个质点组成的质点系，则式（1.65a）也就是质点系的动能定理。与质点的动能定理比较，质点系的动能定理多了一项内力做功。质点系的功能原理系统的内力功分为保守内力功和非保守内力功质点系的动能定理可表示为(1.65b)考虑到保守内力（如万有引力、重力、弹性力）做功等于系统势能（引力势能、重力势能、弹性势能）增量的负值，即将式（1.62）代入式（1.65b），得(1.66a)质点系的功能原理定义动能和势能之和为系统的机械能，用符号E表示，即式（1.66a）就可以写成(1.66b)即外力所做的功和系统内非保守内力所做的功之和等于质点系机械能的增量，这一结论称为质点系的功能原理。问题讨论质点系的功能原理式（1.66）的意义，在于外力做功表明系统机械能与外界有能量交换；非保守内力做功（如摩擦内力做功）表明系统机械能与内部其他能量形式（如热能或内能）有交换。想一想：为什么有了质点系动能定理后还要发展出功能原理？细致区分机械能与其他能量的转化关系。再次思考人体上下跳的案例，分析归纳质点系与质点的不同。例1.12跳高的世界纪录大约是2.5m。一名跳高运动员质量为72.0kg，为了达到这个高度，运动员起跳离开地面时至少需要做多少功？解运动员起跳时需要通过地面的作用冲量，把骨骼、肌肉等内力做的功转化成人体向上的速度（动能），即有（1）该动能至少能转化成题设高度上的势能，即（2）由式（1）、（2）得运动员做功值为例1.13一块长为l、质量为M的木板静止放在光滑的水平桌面上，在板的左端有一质量为m的小物体（大小可忽略）以的初速相对板向右滑动，当它滑至板的右端时相对板静止时的速度为。试求：（1）物体与板之间的滑动摩擦因数；（2）在此过程中板的位移。解取桌面参考系，规定向右的方向为正。在该参考系中，小物体和木板组成的系统因摩擦内力的作用都向右运动，设此过程中板的位移为L，小物体的位移为L+l。代入题设条件后得小物体与板之间的摩擦因数为（1）小物体所受摩擦力，位移为L+l；木板所受摩擦力，位移为L。分析可知，系统只有摩擦内力做功，则由系统的动能定理式（1.65a），可知考虑木板运动：木板受恒力作用，位移为L，初速为0，末速为

，则由质点的动能定理式（1.64）可知思考：在本题中，初始条件是小物体以一定的初始速度相对木板运动，因此系统初始动量不为零。试着分析小物体以静止状态开始相对木板运动的情况。初始运动状态会影响后续的运动结果，因此必须重视初始条件。解得1.3.3机械能守恒定律由质点系的功能原理式（1.66）可知，如果没有外力和非保守内力的作用，或外力和非保守内力都不做功，或者做功但所做的总功为零，则系统的机械能不随时间改变，用数学式表示为则这就是机械能守恒或机械能不变定律。当

，

，或(1.67)静电场及其应用第二章目录2.1电荷的量子化库仑定律电场强度2.2电场强度通量静电场的高斯定理2.3静电场的环路定理电势能电势2.4电场强度与电势梯度2.2电场强度通量静电场的高斯定理第二章静电场及其应用课标要求——电场强度通量静电场的高斯定理了解电场线模型以及电场线密度的物理意义。掌握电场强度通量和静电场中的高斯定理，知道静电场是有源场，会应用高斯定理计算特定电场的电场强度。2.2.1电场强度通量观察水流和气流，想一想如何观察或感知到“电场”？电场线法拉第引入（电）场线的概念。在静电场中，每一点的场强都有一个确定的方向。因此可以在电场中画出一系列有向曲线，使这些曲线上每一点的切线方向都与该点的场强方向一致，且曲线的疏密程度能反映该点场强的大小。这样画出来的曲线就称为电场线。电场线试着按照课本的提示动手模拟电场线，可以总结出什么规律？电场线观察电场线可以得出：（1）电场线为非闭合曲线。电场线始于正电荷（或来自于无穷远处），终止于负电荷（或终止于无穷远处），在无电荷处不中断。（2）任何两条电场线在无电荷处不相交。电场线在电场中每一点，穿过垂直于场强方向单位面积的电场线根数，与该点场强的大小相等。即电场线密集处场强大；电场线稀疏处场强小。电场线思考测量“降雨量（雨通量）”的方法，并讨论我国古代科技的发展。电场线电场中，穿过任一曲面S的电场线条数称为通过该曲面的电通量，用表示。在非均匀场E中曲面S取一微小面积元dS，该面积元的法线方向与该处场强E（在dS周围可当作恒定量）的夹角为θ，dS⊥是dS在垂直于E方向的投影。根据电场线画法的规定，通过该面积元的电场线条数（电通量）即为上述定义的电通量实际上是大小关系，没有表达出电场线从面的“哪一侧”穿过（穿出）。想一想电场与面的位置关系如何表示？(2.9)电场线设定面积元dS的方位，利用规定面积元的法线方向的单位矢量，将面元表示为矢量（任何一个矢量可以表示为A=Aa，a为A矢量方向上的单位矢量）为任意曲面S都可看作是由无限多个小面元dS组成的，因此通过S的电通量就等于通过这些小面积元电通量的代数和。连续求和就是积分，所以有根据矢量标积的定义，则穿过面积元dS的电通量也可表示为(2.10)电场线复习矢量矢量表达有简洁性，矢量常见运算有两种：标积A·B=ABcosθ；标积对应的物理量为标量，如电通量。叉积A×B=C

大小：

C=ABsinθ

，其中θ为两矢量之间小于π的角度。

方向：右手四指由矢量A转向矢量B，拇指所指方向。叉积对应的物理量为矢量，如洛伦兹力。2.2.2静电场的高斯定理高斯定理对于非闭合的任意曲面，面元可以有两个任意选择的法线正方向。由于电场强度的方向是确定的，所以不同法线正方向的选择，计算出的电通量的符号就会有正、负之别。对闭合曲面而言，则规定面元的法线方向向外。于是闭合曲面的电通量(2.11)当总电场线从内部穿出时，；当总电场线从外部穿入时，。高斯定理设有一静止点电荷q(q>0)处于半径为r的球面的中心，求该电荷产生的静电场通过该球面的电通量。根据点电荷的场强公式，在球面S上每一点场强大小均为，场强方向均沿径向向外，E与小面元dS同向。因此，由电通量公式可知，通过球面的总电通量为(2.12a)高斯定理式（2.12a）虽然是通过球面的电通量，但可以严格证明，无论封闭面是什么形状，只要电荷被包围在封闭面内，（2.12a）都成立。思考讨论以下问题：（1）式（2.12a）的含义是什么？根据电通量的形象化定义，它是穿过的电场线条数，那么，式（2.12a）表明穿出（）封闭面的电场线条数就等于电荷量q除以（），且电场线发自正电荷（封闭面趋近电荷表面该式仍成立，即可得出此结论）。高斯定理（3）若点电荷不在封闭面内，情况会怎样？结论是什么？该情况的计算结果是电通量为零。这表明电场线穿进的条数等于穿出的条数，更进一步说明电场线在没有电荷的地方不会中断。（2）若封闭面包围的是一个负点电荷，结果会怎样、结论是什么？此情况的计算过程其实与正电荷情况一样，只是最后结果为负，即，其结论表明电场线从外部穿入、汇聚于负电荷。综合上述情况，可以将式（2.12a）扩展为(2.12b)高斯定理封闭面（也可称高斯面）内、外都可以同时有若干电荷存在，那么总电场强度在高斯面上的电通量是怎么决定的呢？在真空中，静电场通过任一闭合曲面的电通量，等于该闭合曲面内所包围电荷电量的代数和除以，其数学表达式为(2.13)(为高斯面内第i个电荷的电量）

称作高斯定理，即式（2.12）是一个点电荷情况下的高斯定理。高斯定理高斯定理的重要意义是把电场与产生电场的源电荷联系起来，反映了静电场是有源场这一基本性质。凡是有正电荷的地方必有电场线发出，凡是有负电荷的地方必有电场线汇聚。正电荷是电场线的源头，负电荷是电场线的终点。因此，高斯定理是有源静电场的理论表述。例2.5式中，代入数据可得，实验表明：在靠近地面处有垂直于地面向下的电场E，大小约为100V/m。如果地球上的电荷全部均匀分布在表面，求地面上的电荷面密度。

解

在地球表面取一底面积为S，高为h的圆柱面，根据高斯定理：圆柱面包裹的电荷量等于电荷面密度乘以面积例2.6高斯定理除了能表明静电场特性外，还能在带电体的电荷分布具有高度对称性时，方便地求出带电体在空间产生的场强分布。一均匀带电薄球壳，半径为R，带电量为Q，试求球壳内、外的场强分布。解

（1）分析电场分布的对称性设球心在O点，在球壳外任取一点P，在OP连线两侧的球壳上对称地选取面积相等的两面元dS1和dS2，因球壳均匀带电，两面元上电荷的电量dq1=dq2，它们激发的电场在P点的场强分别为dE1和dE2。由对称性可知，dE1和dE2的矢量和dE一定沿着OP连线方向。将整个球壳分割成许多对对称的面元，由于球壳均匀带电，每一对对称面元上的电荷激发的电场在P点的场强的矢量和，也一定沿着OP连线方向，故P点的总场强E沿OP方向。由于电荷在球壳上均匀分布，所以在以O为球心、以为半径的球面上，各点的场强大小相等。由此可见，均匀带电球壳上的电荷激发的电场分布具有球对称性，即在与带电球壳同心的球面上各点的场强大小相等，场强的方向沿着径向。（2）选取具有相同对称性的闭合曲面（高斯面）由于场强分布具有球对称性，因此应选取以O点为球心，以所求场点（P点）到球心的距离r为半径的球面S作为高斯面。（3）计算通过选取高斯面的电通量由于球高斯面S上各点场强的大小相等，且E的方向都沿径向，与各点的法线方向（即面元dS的方向）相同。所以，通过该高斯面S的电通量为(2.14)这正好与点电荷电场强度公式一致。当Q＞0时，场强方向沿半径向外；当Q＜0时，场强方向沿半径指向球心。（4）应用高斯定理求场强运用高斯定理，因为高斯面S包围的电荷量为Q，即，结合球的电通量公式有得球壳外场强分布为(2.15)①带电球壳外的场强分布（4）应用高斯定理求场强设P′为带电球壳内任一点，P′点到球心的距离为r（r<R）。上述有关均匀带电球壳上的电荷激发的电场分布具有对称性的分析同样适用，则通过高斯面S′的电通量表达式形式上仍为。因高斯面S′包围的电荷量为0，即，有所以，带电球壳内的场强等于零，即②带电球壳内（r<R）的场强分布可以看出，均匀带电球壳在球外空间激发的电场，与电荷全部集中在球心时的点电荷激发的电场相同；在球壳内部场强处处为零。场强大小随距离r变化的规律如下图。从图中可以看出，球壳表面处的场强最大。球壳不为金属时也有相同的结果。任何形状的导体都具有屏蔽作用，导体球壳做成屏蔽罩不易出现“尖端放电”，而且节省用材。高斯定理的应用例2.7电容器的主要功能是存储电荷、约束电场。电容器的前身是莱顿瓶，它通常由两个金属极板及其中间的绝缘介质构成。大多数电容器是两个相对平板构成的平板电容器。设无限大均匀带电薄板的正电荷面密度为（单位面积的带电量），求平板外任一点处的场强分布。

解

由于电荷均匀分布在平面内，且平面为无穷大，所以电场分布具有面对称性，即到带电平面距离相等的各点场强大小相等，各点的场强方向应是垂直于平面且指向平面外侧。圆柱形高斯面的一个底面S1过场点P，另一底面S2与S1对称地置于带电平面的另一侧。设圆柱底面的面积为，根据高斯定理，有因电场强度掠过侧面，所以侧面的电通量为零，并考虑到，则有得(2.16)上式表明，无限大带电平面在空间任意点产生场强的大小与该点到带电平面的距离无关，即无限大均匀带电平面两侧的电场是匀强电场。若平板带负电，场强大小仍满足上式，只是方向垂直指向板面。（1）值得说明的是，虽然实际无限大的带电板是不存在的，但在有限大的带电平面的附近，只要不是太靠近边缘，上面得到的结果近似成立。（2）设两个带电荷的带电板，当它们之间间距很小时，可看作“无限大”均匀带电平面平行放置，其间的电场强度为。这恰恰就是平板电容器内部的电场强度。电容器工作时两极板之间会有电压，此时两极板会带上正、负等量电荷。平板电容器的两极板之间间距很小，每个极板都可看做“无限大”，这就有了的结果。静电场及其应用第二章2.4电场强度与电势梯度第二章静电场及其应用

课标要求——电场强度与电势梯度了解等势面的定义，认识等势面在描述电势随空间位置变化中的作用，知道电场强度与电势变化的关系，了解电势梯度的物理意义。等压线阅读书本上爬山的相关内容，观察以下图片。在任意静电场中，把电势相等的点连成的面称为等势面（观察等高面、等压面）。同一等势面移动电荷，电场力不做功，说明电场强度垂直于等势面；在两不同等势面上任意两点之间移动电荷，做功相等；从一等势面上的某一点到邻近等势面上的各点连直线，这条直线相当于等高面之间的不同坡度的路径，这说明沿各个方向的电势变化率不同。取两个相距很近的等势面Ⅰ和Ⅱ。它们的电势分别为V和V+dV，且dV<0。在两等势面上分别任取a点和b点，一带正电点电荷q0从a点沿直线位移到b点，静电场力所做的功为(2.24)对比登山的垂直路径是重力方向。沿垂直于等势面方向（坡度最大，距离最短）为电场强度方向，即电势变化率最快的方向。与登山情况比较不同的是重力是恒力，而电场力是变化的，但由于两等势面距离非常近，其间的电场力可看作恒力，即与a点的电场力相同。用电场力做的功除以等势面间的最短距离（垂直距离）就是电场力。设最短距离记作dln，即由于a点是任一点，可以省略下标a，且约去q0

，则得该式表明，静电场中任意一点的电场强度等于沿电势变化最快方向的电势变化率，方向沿电势降低的方向。(2.25)例2.4一均匀带电圆环，半径为R，总带电量为q，求过圆心的轴线上任意一点的电场强度大小。解直接求场强需要用到场强叠加原理和矢量合成法则，可以先通过对称性判断电场强度方向沿中垂线，最后用电势叠加原理求出电势，通过电场强度与电势的关系得出电场强度。建立坐标系，因轴上任意一点到圆环的距离皆相等，则运用电势叠加原理时，只要将电荷元部分相加在一起，即为总带电量，并考虑到几何关系，则有(2.26)因场强只在沿x轴方向上，所以运用式（2.25）求场强时，就只要对x（方向）求电势的变化率（即为最快变化率）。下面要用到一点数学的工具——求导，求这个变化率。由于则，最后得到场强的方向由圆环带电正、负决定分别指向x轴正向、x轴负方向。可以看出，这里用电势求出的电场强度式（2.27）与电场叠加原理直接求出的电场强度式（2.6）完全一样。(2.27)由式（2.25），有静电场及其应用第二章目录2.1电荷的量子化库仑定律电场强度2.2电场强度通量静电场的高斯定理2.3静电场的环路定理电势能电势2.4电场强度与电势梯度2.1电荷的量子化库仑定律电场强度第二章静电场及其应用课标要求——电荷的量子化库仑定律电场强度了解电荷及其量子化特征，以及电荷守恒定律。了解点电荷模型以及点电荷模型建构的过程和条件，掌握真空中点电荷的库仑定律。了解静电场及其电场的物质特性。理解电场强度，掌握点电荷电场强度的计算方法，会使用叠加原理计算点电荷系及部分连续分布规则电荷的电场强度。了解静电场在生产、生活中的应用，了解静电场的危害及防护办法。在干燥的冬天，穿毛衣时为什么会有电火花？物体所带电荷的多少用电量来量度。在国际单位制中，电量的单位是库仑，符号为C。一个电子所带电量的绝对值称为基本电量，又称元电荷，用e表示。e的值可取为2.1.1电荷的量子化物体所带的电量Q都是基本电量e的整数倍，即其中n为正整数。这种电荷的分立取值现象称电荷的量子化。电荷的一个基本性质是与其他电荷之间存在相互作用力——静电力。静电力的规律会因为带电体的形状、大小而出现复杂性，如何简化呢？想一想第一章中的“质点”。2.1.2库仑定律当带电体的尺度、形状与带电体间的距离相比可以忽略不计时，就可将这些带电体视为点电荷。1785年，法国物理学家库仑通过扭秤研究带电体之间的相互作用，构建出电荷之间相互作用的基本规律，后称库仑定律：真空中两个静止的点电荷q1与q2，它们之间相互作用力的大小与q1q2成正比，与距离r的平方成反比。作用力的方向沿着它们的连线方向，同号电荷相斥，异号电荷相吸。其数学表达式为(2.1)式中，，称为真空介电常数，又叫真空电容率。为由施力者指向受力者的单位矢量，大小为1。满足库仑定律的带电粒子之间的静电力称库仑力。库仑定律式（2.1）与第一章中的万有引力定律式（1.40）非常相似，实验是如何实现电荷量的“定量”测量呢？查阅资料，体会扭秤实验的精妙之处。带电体都是有质量的物体，那么在考虑带电体之间库仑作用力的同时是否需要考虑万有引力呢？氢原子是由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成。若电子绕核做半径为的圆周运动，试求它们之间的静电力和万有引力大小之比。已知电子质量、质子质量，万有引力常量。

解

质子带+e电荷，电子带-e电荷，它们之间的静电力为引力，其大小由库仑定律求得例2.1它们之间的万有引力大小为则两个力大小之比为可见。由此可知，在原子、分子层面上的微观范畴内，考虑电荷之间的库仑力的同时可以忽略万有引力的存在，但在宏观带电体受力问题中，往往要综合考虑这两个力的作用，不能随意忽略某一个力。2.1.3电场强度感知是通过“接触”来实现的。电荷的相互作用是通过什么实现的？思考什么是“场”——物质存在的特殊形式电荷在其周围空间激发电场，该场对放于其中的其他电荷有力的作用，这一作用力叫做电场力。电荷电荷电场静止电荷产生的电场称为静电场，静电场对放入其中的电荷的电场力也称为静电力——这是用“电场”形式引进的力的定义，与上述库仑力一致。如何测量一个看不见的“电场”的强弱？把一个电荷q0放入另一个电荷的电场中。测量其受到的电场力F，得到电场反映力的特征的物理量。电荷q0电场对于电场中的某点，试探电荷受到的电场力与电荷电量的比值

，是一个大小及方向均与试探电荷无关的物理量，反映了电场本身的性质。这个比值作为描写电场的物理量，称为电场强度（简称场强），即静电场中任一点的电场强度是一矢量，其大小等于单位电荷在该点所受电场力的大小，其方向与单位正电荷在该点所受电场力的方向一致。电场强度通常用符号E表示，即一个电荷q0放入另一个电荷的电场中。(2.2)在国际单位制中，场强的单位为或

（伏特每米）。若静电场是由点电荷（源电荷）所激发，如图（a），则由和

可得，试探电荷所受的电场力为其中为源电荷指向场点的单位矢量。由此可得，点电荷电场强度的计算表达式(2.3)即，点电荷产生的电场强度的大小正比于电荷量，反比于距离的平方，其方向如图（b）。思考：什么是“试探电荷”？为什么要引入“试探电荷”？利用静电场可以进行选矿分离，压碎的某种磷酸盐矿石是磷酸盐和石英颗粒的混合体，在通过输送器A时将它们振动，引起摩擦带电，使磷酸盐带正电，石英带负电，后从两块平行带电平板(可视做无限大均匀带电平行平面)之间的中央落入，设其间的电场强度大小为，方向如图所示，它们每千克所带电荷的大小均为

。求在带电平板中每千克磷酸盐所受的电场力大小。

解

由题意与电场力公式，得例2.2代入题中数据，可得电场力大小为如果空间同时存在多个源电荷，则电场中任一点P的场强应是这些电荷共同激发的结果。实验表明，任一点的场强等于各点电荷单独存在时所激发的电场在该点的场强的矢量和。这个结论叫做场强叠加原理。(2.4)其中表示点电荷qi单独存在时在场点P所激发的场强。

解

设P点到O点的距离为r，点电荷+q和-q单独存在时激发的电场在P点的场强分别为E+和E-

，由于P点到+q和-q的距离相等，为例2.3一对等量异号点电荷相距为l，它们构成的带电系统称为电偶极子。求电偶极子连线的中垂线上任一点P处的场强。因此，E+和E-大小相等，为

E+和E-的方向在x轴上的分量大小相等、方向相同，都沿x轴负方向。而在y轴上的分量大小相等、方向相反，互相抵消。所以总场强E只有的x分量，为由几何关系可知故P点的场强的大小为场强E的方向沿x轴负方向。本例题中的两点电荷连线的中点O，是中垂线上的特殊点，因此以r=0代入上式应该就是O点的场强的大小，即(2.5)电偶极子在空间各点产生的电场对电磁辐射有着非常重要的意义，因为一旦电场随时间变化，它就成为了向外辐射电磁波的源。视频：从电偶极子磁偶极子到无线充电对于电荷连续分布的带电体而言，电场的叠加原理依然适用，此时将带电体看成由许多电荷元所组成，不同于式（2.4），求和要被积分替代，即对于一个体分布电荷，，其中为电荷体密度（单位体积中的电量），dV为带电体的体积元；对于一个面分布电荷，，其中为电荷面密度（单位面积上的电量），

dS为带电面上的面元；对于一个线分布电荷，，其中为电荷线密度（单位长度上的电量），

dl为带电线上的线元。

解

取圆环中心轴为x轴，圆心为坐标原点，方向向右为正。由题意可知，电荷线密度为。将圆环分割成许多小的线元，任取一线元dl，其带电量（电荷元）为例2.4一均匀带电细圆环的半径为R，带电量为q>0，环的轴线上一点P与环心O的距离为x，求P点的场强。电荷元dq在圆环轴线上距环心为x的P点的场强大小为把电场dE分解为沿x轴的分量dEx和垂直y轴的分量dEy，由轴对称性知，垂直分量有相互抵消的成分，导致有则总电场只有沿x方向的分量，即

由于R、x为定值，故θ、r亦为常量，且、，可得(2.6)当观察点到带电体系的距离远大于带电体系的线度时，场强会表现特殊规律，这是一般规律的极端表现，这也是物理学习中应该掌握的能力。（1）当，，此时有（2）当，有当在远离环形电荷分布处看这个分布时，已无法看出环形形状，只能认为是一个“点”分布。

这个特定点的情况，是因环心处各电荷元的电场互相抵消的结果。一均匀带正电直线（通电电缆截面），长为l，电荷线密度为。在中垂面有一点P与带电直线的距离为x，则P点的场强E的大小与方向是如何处理的？拓展探究这是一个一般带电直导线的特殊（中垂面）点问题。想一想例2.4，在解题时用了什么方法？电荷元法+积分在直导线任意位置上取电荷元dq，此电荷元到P点的距离为r，则dq在P产生的场强大小为由于不同位置处的电荷元在P点产生的dE的方向不同，所以在计算场强时要分别计算x方向和y方向上的电场分量由于对称性，因此P点的电场强度只有x分量，即

E的方向沿垂直于导线向外的方向。将变量y、r变换为θ。由三角形关系、，及，并考虑到导线上、下半段的对称性，积分范围0~

θ1，则有(2.7)若一般的长直电缆线变为特殊的“无限长”电缆，则式（2.7）中的，且原来中垂面的特殊点，变为空间任一点都是无限长导线的中垂面上的点（对称性所至），因此一根无限长直带电电缆周围的电场强度为(2.8)式（2.8）在很多实际情况中都可作为带电直导线的场强估计值的计算公式。静电场及其应用第二章目录2.1电荷的量子化库仑定律电场强度2.2电场强度通量静电场的高斯定理2.3静电场的环路定理电势能电势2.4电场强度与电势梯度2.1静电场的环路定理电势能电势第二章静电场及其应用课标要求——静电场的环路定理电势能电势了解静电场中电场力做功的特点和电势能的概念，理解电场力做功与电势能变化的关系，加深对电场具有能量的认识，理解静电场的环路定理。了解电势及点电荷电势，会利用叠加原理计算点电荷系及连续分布电荷周围的电势。了解电场力在粒子加速器、离子推进器、材料加工等工程技术中应用。2.3.1静电场的环路定理观察日常生活中电器的插头，有的是三根插头，有的是两根插头，想一想为什么？电场力做功力做功能量速度加速度运动改变位移积累产生电场力做功电荷在电场中运动时电场力做功，会产生能量的变化。若有一点电荷q（q正、负皆可）静止于真空中，一试探电荷q0在q激发的电场中从点a沿任意路径acb移到b点的过程中，电场力将对试探电荷q0做功，这个静电力做功为(2.17)式中和分别为试探电荷的起点和终点到点电荷q的距离。上式表明电场力所做的功只与试探电荷起点和终点的位置有关，而与所通过的实际路径无关。电场力做功对于一般情况下的静电场做功，点电荷电场力做功同样适用。根据场强叠加原理，可以将上述结论推广到任意带电体激发的电场中去，从而得出一般结论：电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功只与该电荷的起点和终点位置有关，与电荷移动的路径无关。所以静电场力是保守力。电场力做功起点和终点设在一个位置，电荷在静电场中沿任意闭合路径L运动一周时，静电场力做功为零，即静电场的环路定理由此可得(2.18)式（2.18）称为静电场的环路定理。环路定理传递出静电场的什么性质以及可以引申出什么物理量？静电场强沿任意闭合路径的线积分称为E的环流。静电场的环路定理的实质是静电场是无旋场。用电场线来表达电场的无旋性，就是电场线不封闭（如果电场线封闭，沿这根电场线路径上的），这与静电场中的电场线“发自于正电荷，终止与负电荷（无穷远）”一致。总结出静电场的两个重要特性：有源、无旋性（高斯定理、环路定理）。静电场的环路定理2.3.2电势能保守力做功对应于势能，静电保守力可以引申出静电能。从能量观点，静电场的环路定理表明，静电场存在一个由位置决定的电势能。与重力场中的重力势能类似，电势能改变量等于电场力做的功的负值。当电场力对某电荷q0从电场a点做功到b点，则电势能的变化与电场力做功W的关系为(2.19a)上式（2.19a）是电功和电能关系的定义表达式。若电场是点电荷产生的，则与式（2.17）比较，并将b点设置在“无穷远”处，同时设定b点为势能零点，则可以得到点电荷电场中某点a位置处电荷q0与场源电荷q的共有电势能的值为(2.20)在电场中引入试探电荷q0，测量能够感知的电势能。由式（2.20）可知，在电场中某点具有的电势能（标量），不仅与电场中a点的位置（

）有关，还与场中引入的其他电荷q0有关。对比电场强度的引入，比值只与场源和位置有关，因此可用来表征电场能的性质。定义这个物理量为电势V。这样得出源电荷q激发的电场中a点的电势为(2.21)2.3.3电势式（2.21）表明，点电荷电场中，在源电荷q不变的情况下，电势相同的空间位置是以点电荷为中心的球面。当（正电荷电场），球面半径越大，电势越低，反之，越高；当（负电荷电场），球面半径越大，电势越高，反之，越低。在国际单位制中，电势的单位是伏特，简称伏，符号是V。电势是不是也可以叠加？将每一个“点电荷”的电势独立求出后再相加，就得到总的场点电势，这一做法称电势叠加原理。点电荷电势式（2.21）具有一般性，且可以推知出以无穷远为电势零点的一般电势计算表达式为 (2.22)电势是从能量角度来表征静电场性质的物理量，它是标量，也是一个相对量。电势零点的选取，原则上可任意选取。在计算中，当电荷分布在有限区域时，一般选无穷远处为电势零点，如式（2.22）。在实际问题中，常以地球为电势零点，如电器接地。电气设备的接地作用：（1）为了有一个标准本底电势；（2）可以为设备提供一个屏蔽保护，以免外部信号干扰；（3）为了安全。安全是所有用电设备最重要的首位考量因素，包含设备运行的正常和设备使用者的人身安全。如果电气设备发生漏电情况，接地可以很好地保证电流流入地下，而不会对使用者产生伤害。因此，“接地”应该成为所有工程设计、施工和使用者的共识和常识。假如任意选择了某点（不是无穷远）为电势零点，如何由式（2.21）计算出点电荷场新电势零点后的电势？静电场中a、b两点电势的差值，称为这两点间的电势差，用表示，即(2.23)可以看出，电势差与电势零点