河南省开封市六校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省开封市六校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.下列各项表示数列的是（）A.△，○，☆，□ B.

C.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D.2.数列{}的前四项依次是9,99,999,9999,则数列{}的通项公式可以是()A.=9n B.=-1 C.= D.=93.已知函数的部分图象如图所示，则（

）

A.<< B.<<

C.<< D.<<4.已知m＞0，n＞0，直线与曲线y=3lnx-m+4相切，则的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.45.设等差数列{}的前n项和为,若+>0,++<0,则满足>0的n的最小值为()A.8 B.13 C.14 D.156.若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（

）A. B. C. D.7.设数列满足，，则数列的通项公式等于（

）A. B. C. D.8.已知正实数a，b满足aea-2＝e2025和b(lnb-2)＝e2028，则（

）A.e2028＜ab＜e2029 B.e2027＜ab＜e2028

C.e2026＜ab＜e2027 D.e2025＜ab＜e2026二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知等比数列，，，则（

）.A.数列是等比数列 B.数列是递增数列

C.数列是等差数列 D.数列是递增数列10.下列命题正确的有（）A.已知函数在上可导，若，则

B.

C.在R上是增函数

D.在处的切线斜率是11.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0），则下列说法正确的是（）A.若b=-3，且曲线y=f（x）的对称中心为（1，-2），则c=-1

B.若b=-3，函数f（x）在R上单调递增，则ac≤3

C.若bc＞0，且，则存在实数m,n（m≠n），使得f（m）=f（n）

D.若c=0，b=-3a,且函数f（x）有两个极值点x1、x2，则x1+x2=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线与曲线在处的切线垂直，则

．13.已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则的值为

.14.已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知等差数列{}的前n项和为,且=2,=65.(1)求数列{}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和为.16.(本小题15分)设函数，．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)求函数的单调区间．17.(本小题15分)已知函数．若函数与的图象关于点对称，求的解析式；当时，求的最大值；判断函数在的零点个数，并说明理由．18.(本小题17分)已知，直线与曲线和都相切．(1)求的值；(2)若，其中．（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．19.(本小题17分)已知数列满足．(1)证明：求的值，并证明数列为等比数列；(2)设，求数列的前项和；(3)设，求证：．

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】ACD

10.【答案】BCD

11.【答案】ACD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】【详解】（1）设等差数列的公差为，则由等差数列求和公式得：，又因为，所以可得，即数列的通项公式为；（2）由，所以.

16.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=ae2x-ex，

若f（0）=1，则f（0）=a-1=1，解可得a=2，

又由f（x）=2e2x-ex，则f′（x）=4e2x-ex，则f′（0）=3，

则y=f（x）在x=0处切线方程为y-1=3（x-0），即；

（2）根据题意，函数f（x）=ae2x-ex，其导数f′（x）=2ae2x-ex=ex（2aex-1），

当a≤0时，f′（x）=2ae2x-ex=ex（2aex-1）＜0，函数f（x）在R上为减函数；

当a＞0时，令f′（x）=0可得x=，

当x＜时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（-∞，）上单调递减；

当x＞时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（，+∞）上单调递增．

综合得，当a≤0时，f（x）的单调减区间为，无增区间；

当a>0时，f（x）的单调减区间为（-∞，），增区间为（​​​​​​​，+∞）.

17.【答案】解：

（1）由题意得，F(x)=2-f(-x)=2-2(-x)+(-x)=+2-x-2x；

（2）由题意得，f'(x)=2x-1，x[0,]，令f'(x)=0，解得x=，

所以当x[0,)时，f'(x)>0；当x(,]时，f'(x)<0，

所以f(x)在[0,)上单调递增，在(,]上单调递减，

所以f(x)的最大值为f()=-;

（3）令g(x)=0，则(x+1)(2x-x)+1=0，整理得2x-x+=0，

令h(x)=2x-x+，则h'(x)=2x-1-，

当x(,)时，h'(x)<0，所以h(x)在(,)上单调递减，

又h()>0，h()<0，所以由零点存在性定理得，h(x)在(,)上存在唯一零点，

​​​​​​​当x[,+)时，，，两个不等式等号无法同时成立，​​​​​​​

∴h(x)=2x-x+<2-+<0，此时函数无零点，

综上所述，h(x)在(,+)上存在唯一零点，即函数g(x)在(,+)上的零点个数为1.

18.【答案】解:（1）．设与的切点为，则，解得，所以．由与相切，同理得，所以．（2）（i）由得直线与有两个不同的交点，

​​​​​​​与有两个不同的交点，由（1）知，，，在上单调递减，在上单调递增；，，在上单调递减，在上单调递增，又，且；，且，作出函数和的图象，由图象知的取值范围为．（ii）不妨设，由（i）知，，显然，且，所以，同理，要证，只需证，只需证．又，只需证