湖南师大附中2026届高三4月高考模拟考试（一）数学+答案

高三模拟卷(一)

数学

命题人、审题人：高三数学备课组

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知复数z满足z(1-i)=3+i,则z的共轭复数z=

A.1-2iB.1+2i

C.-1-2iD.-1+2i

2.已知幂函数f(x)=(m²—m+1)x-2m+¹在(0,十∞)上单调递减，则实数m的值为

A.0或1B,-1或1

C.1D.0

3.已知a,b∈R,集合,B={a,b},若A∩B={2},则b=

A.1B.2

C.2或1D

4.已知向量a=(2,t),b=(1,一1),向量a在b方向上的投影向量为,则t=

A.-1B.1

C.—2D.2

5定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图，则下列函数在区间(一1,0)上与f(x)的单调性不

同的是

A.y=1—sinzB.y=lg|x|

Dy=elzl

数学试题(T8)第1页(共7页)

6.已知数列{an}(n∈N*)是公比大于0的等比数列，则的最小值为

A.3B.2√2C.√2D

7.一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能!!

容器的一端取出1个球，依次取完.则两个红球被连续取出的概率是

ABCD

8.已知椭圆的左焦点为F,过点F的直线l交C于A,B两点，交y轴于

点E,若|AE|=|EF|=|FB|,则C的离心率为

ABCD

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知{a,b,c}是空间的一个基底，则下列命题正确的是

1.若k₁a+k₂b+k₃c=0,则k₁=kz=k₃=0

_向量a+b,b+c,c+a一定共面

C.向量p=2a—3b+c在基底{a,b,c}下的坐标是(2,—3,1)

D.对空间中任意向量m,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得m=x(a+b)+y(b+c)+

z(c+a)

10.已知双曲线C的左、右焦点分别为F₁,F₂,过F₁且斜率为k的直线l与C的右支

交于点P,则

A.C的离心率为

B

C.PF₁·PF₂的最小值为一9

D.若以实轴为直径的圆与l相切，则

11.在非等腰△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且角A,B满足sin²A-sin²B=

sin(A一B),则

A.a²=b²+c²

B.tanAtanB=1

C.记边c上的高为h,则的取值范围为

D.△ABC的内切圆半径、外接圆半径、周长不可能构成等比数列

数学试题(T8)第2页(共7页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，矩形OA'B'C′是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中OA'=4,

OC'=1,则原图形的周长为

13.已知(1+.z)⁵=a₀+ax+azr²+…+asx⁵,则32a₀+16a+8a₂+4a₃+2a+as=

14.已知O为坐标原点，函数y=e与函数y=kx+2的图象有两个不同的交点A,B,当S△AB取

最小值时，k=,

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知数列{aπ}满足a₁=2,且(n∈N·).

(1)求数列{aₙ}的通项公式；

(2)设b=an·an+J,求数列{bn〉的前n项和Sπ.

数学试题(T8)第3页(共7页·

16.(本小题满分15分)

某医药研究所为了评估一种新药的疗效，开展了临床试验.研究人员记录了14名志愿者服用

不同剂量的药物后，血液中某关键生化指标y(单位：mg/L)随给药剂量x(单位：mg)的变化

情况.为了寻找最合适的预测模型，研究人员分别利用模型一和模型二对这14组数据进行了

拟合，并绘制了相应的残差图(如图所示，图中纵轴为残差，横轴为给药剂量).

模型一残差图模型二残差图

(1)观察残差图，判断哪个模型的拟合效果更好，并说明理由；

(2)设这14组数据得到的经验回归方程为y=1.95x+5.2.

(i)已知样本中的某位志愿者的给药剂量为20mg,生化指标为45mg/L.若该样本点在

拟合效果更优的模型中的残差对应于图中标注的A,B,C,D四点之一，请指出该点并说

明理由；

参考公式：相关系数

经验回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

a=y—b元.

数学试题(T8)第4页(共7页)

17.(本小题满分15分)

如图，已知圆台的上、下底面圆的圆心分别为O₁和O,四边形ABCD为下底面圆O的内接正

方形，且AB=0O₁=2,E,M为上底面圆O,上两点，F为BC的中点，且满足平面ABE⊥平

面ABCD,EA=EB.

(1)求证：AF⊥DE;

(2)求圆台的体积；

(3)若直线FM与平面ADE所成角的正弦值为,求点M到平面ADE的距离.

数学试题(T8):第5页(共7页)

18.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=e²cosx,g(x)=sinx+1.

(1)求函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)若存在,使得f(x)—tg(x)≥0,求实数t的取值范围；

(3)设方程f(x)-g(x)=0在区间(n∈[1,2027]且n∈N*)内的根从小

到大依次为x₁,I₂,…,I2026,I2027,试比较x2027与x2026+2π的大小，并说明理由.

数学试题(T8)第6页(共7页)

19.(本小题满分17分)

已知圆E:(x—a)²+y²=4(a>0)和抛物线C:²=2px(p>0),F为C的焦点.点P(ro,yo)

是抛物线C上的动点，当xo=yo≠0时，|PF|=5.过动点P作圆E的两条切线，切点分别为

M,N.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)当a=4时，求cos∠MPN的最小值；

(3)设直线PM,PN分别交C于另两点A,B,是否存在实数a,使得当点P在C上运动时，直

线AB总与圆E相切?若存在，请求出a的值；若不存车，请说明理由.

数学试题(T8)第7页(共7页)

高三模拟卷(一)

数学参考答案

题号1234567891011

答案ACBBCBDDACDBCDBC

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.A【解析】∵z(1一i)=3+i,∴z=1-2i.

2.C【解析】由于f(x)为寡函数，所以m²-m+1=1,解得m=0或m=1,又函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.

故当m-1时符合条件.

3.B【解析】已知集合,B={a、b〉,且A∩B-(2),所,即A=(1,2Y.

若a=2、则b=1.此时B—(2.1),A∩B=(1.2〉,与A∩B=(2}矛盾，舍去.

若b=2,则a=2b=4,此时B=(4.2),A∩B=(2〉,符合条件.综上所述，b=2.

4.B【解析】由向量a在b方向上的投影向量

5.C【解析】利用偶函数的对称性知f(.z)在(一1,03上单调递减.

又y=1"sinx在(一1.0)上单调递减；y=1g|x|在(一1,0)上单调递减；

在(-1,0)上单调递增；

y=e在(一1,0)上单调递减.

6.B【解析】设等比数列{a。〉(n∈N")的公比为则,当且仅当

2-q³.即q-√2时取等号，的最小值为2√2.

7.D【解析】依题意，前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择，因此不同取法种数为

2*.按照两个红球被连续取出的取法分情况讨论：

())若在第1.2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法，

(2)若在第2.3次取出两个红球.则第1次取白球，共有2种方法.

(3)芳在第3,4次取出两个红球，则第1,2次取白球，共有1种取法，

(4)若在第4,5次取出两个红球，则第J,2.3次取白球，共有2种取法，

因此两个红球被连续取出的方法种数共有4+2+1+2=9.

所以所求概率为

8.D【解析】由于|AE|=|BF|,记AB的中点为点M,则EF的中点也为点M,

设直线l:y-k(r+c),则E(0,kc),F(一c.0),于是,设A(x₁,y₁),B(I₂,y₂),

则,r₁+r₂=-c.y+y₂=kc,

两式相减可得符

又|AEJ=|EF|.所以E为AF的中点，则,把①式代入②式解得

二、选择题：本题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6

分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.ACD

10.BCD【解析】对于A选项，由双曲线方程-9=1,可得a²=4,B²=9,

所以2-u²+b²-13,所以a=2,c-√13,所以离心率为,故A错误；

数学参考答案(T8)一1

第3页，共24页

对于B选项，F₁(-√13.0),设直线l:y=k(x+√13),直线l与双曲线联立可得，

(9—4K²)x-8√13kx-4(13k²+9)=0,△=(8√13k²)²一4×(9--4k²)×(一4)×(13k²+9)=1296(k²+1)>0.

,9-4k²≠0,因为直线l与双曲线右支交于一点，

所以9-4k²>0,解得,故B正确；

对于C选项，设P(r,y),PF₁=(一√13一x,一y).PF₂=(√13-x.一y),所以PF·PF₂=x²+y²-13,

由P在双曲线上可得,代入可得

当x=2时，取得最小值。可得PF·PF₂=-9,故C正确；

对于D选项，以实轴为直径的圆，回心为原点O(0.0),半径r=a=2,直线I与圆相切，

由点到直线的距离公式，,联立求解P点坐标，

将)代入双曲线方程，可得65.x²—32√13x-532=0,解得.

,故D正确.

11.BC【解析】由sin²A-sin²B-sin(A一B)得，

化简得：sin(B+A)sin(A-B)—sin(A-B),又因为△ABC为非等腰三角形.

所以sin(A+B)=1.即,故选项A错误，选项B正确；

对于选项C,因为h=bsinA.a=btanA,.所

令sinA+cosA=t,又A≠B,则sin.I∈(1.√2),

所,故C选项正确；

对于选项D.假设△ABC的内切图半径、外接圆半径、周长构成等比敛列，

化简得：,所以a²+b²=4ab,此方程显然是有解的，故选项D错误.

综上，正确答案为BC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.14【解析】由斜二测画法的规则知平面图为平行四边形，且原图形中OA=BC=OA'=4,设B'C′与O'y'交

于点D',由OC′=1,∠r'O'y=45°.OC'10A’,得原图中CD=CD′=1.OD=2×√I²+1²=2√2,则AB

=OC=√OD²+CD¹=√8+1=3,则原图形的周长是2×(4+3)—14.

13.243【解析】因为(1+x)⁵=ao+a₁x+azx²+…+asx⁵,令

,两边同时乘以32,得324₀+16a₁+8az+4a3+2a,+a₅=243.

14.2【解析】设ACr,,y),B(xz,y:),结合图象可得当且仅当k>0时，图象有两个不同交点，设x₁>0>π₂,

因为函数y=kx+2恒过定点C(0.2),

数华参考各案(T8)-2

第4页，共24页

由题设有故

即,故

设,则

设f(s)=e'1—se',s>0,厂(s)=-se<0,故f(s)在(0,+∞)上为减函效，

故f(s)<f(Q)-0,即F(s)<0,故F(s)在(0,十∞)上为减函数，

改

设g(t)=c-2-21,<0,则g'(1)=e-2<0,故g(1)在(-∞.0)上为减函牧，

而g(0)=-1<0,g(一1)=e¹>0,故g(1)在(一∞,0)上存在零点m,

且I∈(·-∞,m)时，g(1)>0,即G'(1)>0,当I∈(m,0)时，g(t)<0,即G(1)<0,

故G(1)在(一∞,m)上为增函数，在(m.0)上为减函数，

故当l—m时，G(1)取最大值.即x:一r₂取最小值.SA取最小值，此时c"=2+2m,

又r:m,故此时

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(L)由递推关系,两边取倒数得：

…-………………3分

,所以为首项，以2为公差的等差数列.

那么,故.n∈N……………6分

(2)由(1)知，

………9分

………13分

16.【解析】(1)模型一.…………2分

理由：模型一的残差图中的点更集中地分布于以取值为0的横轴为中心的宽度更窄的水平带状区域内，说明

预测值与真实值偏差更小.………4分

(2)(()在y=1.95x+5.2中，代入r=20,

得y=44.2.……………6分

=45-44.2=0.8>0,

模型一中的A点.……………8分

…10分

……………

g……15分

数学参考答蒙(T8)-3

第5页，共24页

17.【解析】(1)证明：取AB的中5.G.连接DX;支AF于11.

在正方形ABCD中，由于F为BC的中点，

可得△ADG△BAF,则∠ADG-∠B4F,

囚为∠ADG十

得到.、即DG⊥AF.……………………2分

因为E4=EB.所以EG1AB,

又平面ABE⊥平面ABCD.平面ABE平面ABCD=AB.

所以EG⊥平面ABCD.………3分

又因为AF二平面ABCD.

所以EG」AF.…………………4分

又DG∩EG=G.所以AF⊥平面DEG.所以AF⊥DE.5分

(2)由(1)得EGI.平面ABCD.00⊥平面ABCD.所以F;//(X,

又图O//围.所以EG=O0,所以四边形O₁EGO为短形，…………6分

所以圆O的半径OE=XG;=1,………………7分

又网(的丰径OA=√2.所以图台的体积为

…………………9分

(3)以O为坐标原点，过点()作与AB.BC平行的直线分别为r轴，y轴，以O0所在的直线为：轴建立如图

空间直角坐标条.

则A(1,一1.0).D(1.1.0).E(0.1.2).F(-1,0,0),

由于圆(₁的丰径O₁E=1.M为上底面圆O,上一点，设M(cosθ.sin6.2),…10分

故AD=(0.2.0).AE-(一1.0.2).FM=(cosθ+1.sinθ.2).…………11分

设平面ADE的法向量为R=(r.y,z).

由取x=2,故n-(2,0.1),…………12分

设FM与平面ADE所成角为a.

则.………………13分

平方后整理方程得4cos0+7cos0-11=0.

解得

数学参考否案(T8)一4

第6页.共24页

所以M(1,0,2),EM=(1,1,0).………·14分

所以点M到平面ADE的距离为.………………15分

18.【解析】(1)f(x)=e²cosx+e'(-sinx)=e'(cosxsinx).

了(0)=c°(cos0—sin0)=1.f(0)=c°cos0=1,

所以f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为：y-x+1.…………………3分

(2)由题可知存在,使得e'cosr≥t(sinx+1)成立，

因为时，,故存在,使得………5分

令,其

且h'(x)不恒为零，故函数h(x)在上单调递减，则

故≤(2+√3)c.即实数1的取值范围是(-∞,(2+√3)cf).………………分

(3)I202>Im₆+2π.……8分

理由如下：

由f(r)-g(r)=0可得e'cosr-sinx-1=0,

令φ(x)-ecosr-sinr-1,则φ'(x)=e(cosr-sinx)—cosx.

因为(n∈[1.2027]且n∈N·),则sinr>cosr>0,

所以φ′(x)<0,所以函数φ(x)在(n∈[1,2027]且n∈N')上单调递减，

因为

所以存在唯一的r∈(n∈[1,2027]且n∈N·),使得φ(工)=0,

所以e'cosrn-sinr。-1=0,…………11分

同理可得ecosx!sinxn+1-1=0,且

因为r,-2π<rn₁.所以ex<e⁶-1,

因为,所以cosxn>0,

所以φ(rn+1--2π)=e1-²*cos(T+1-2π)—sin(rn+I-2π)-1

-e-2cosIa+1-sinIa+1-1=c¹+12“coSIa+1-e+:cosT-1

=(e’-2一e+I)cosr+<0=φ(x.),………………15分

因为函数φ(x)在上单调递减，

故X-2π>r。,即r>r,+2π,当π=2026时，即A2027>xu36+2π.……………17分

19.【解析】(1)由抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点坐标为

因为点P(r₀,yo)是抛物线C上的动点，当ro=yu≠0时，|PF|=5,

即

解得p=2,

，

所以抛物线C的标准方程为y²-4r.………………分

教学参考爸案(T8)～5

第7页，共24页

(2)当a=4时，圆E的方程为(x4)²+y²=4,可得圆E的圆心为E(4,0),半径为r=2、

过点P作圆E的切线，