NOIP2026提高组莫队算法与分块思想基础练习题

NOIP2026提高组莫队算法与分块思想基础练习题一、单选题（共5题，每题4分，合计20分）1.题目：在莫队算法中，块大小选择为√n时，区间查询的期望时间复杂度是多少？A.O(n)B.O(n√n)C.O(√n)D.O(logn)2.题目：对于莫队算法，查询的区间长度超过块大小时会进行哪项操作？A.分成两个块内查询B.直接返回块内结果C.需要全局排序D.递归调用莫队算法3.题目：在莫队算法的分块过程中，如何处理查询的区间跨越两个块的情况？A.忽略跨块部分B.重新划分块C.分别查询块内和跨块部分D.全局重排数组4.题目：莫队算法的核心思想是什么？A.哈希加速查询B.分块减少查询复杂度C.贪心优化查询顺序D.二分查找加速区间统计5.题目：在莫队算法中，如何维护块内元素的信息？A.使用平衡树B.直接排序C.使用哈希表D.使用前缀和二、填空题（共5题，每题4分，合计20分）1.题目：莫队算法的时间复杂度在理想情况下可以达到__________。答案：O((n+q)√n)2.题目：莫队算法中，查询的排序依据通常包括__________和块编号。答案：区间左端点3.题目：莫队算法的分块大小通常选择为__________，以保证查询效率。答案：√n4.题目：在莫队算法中，处理跨块查询时，需要保留块边界两侧的元素数量为__________。答案：25.题目：莫队算法的查询顺序优化通常采用__________策略。答案：离线处理三、简答题（共3题，每题10分，合计30分）1.题目：简述莫队算法的基本思想及其在区间查询问题中的应用。答案：莫队算法是一种基于分块思想的离线查询算法，主要用于解决区间查询问题。其核心思想是将数组分成若干块（通常块大小为√n），通过预排序查询的左右端点（先按左端点，再按右端点）来减少查询的移动次数。在查询时，若区间完全在块内，则直接处理；若跨越多个块，则分别处理块内和跨块部分。通过这种分块方式，莫队算法可以将区间查询的期望时间复杂度优化到O((n+q)√n)。2.题目：解释莫队算法中如何处理查询的移动操作，并说明移动操作的优化方法。答案：在莫队算法中，查询的移动操作主要涉及将当前查询的左右端点移动到目标块内。具体来说，当查询的左端点或右端点超出当前块范围时，需要通过交换当前块与目标块的部分元素来调整位置。优化方法包括：-预排序查询的左右端点，减少移动次数；-维护当前块的左右端点信息，避免重复移动；-使用离线处理策略，避免重复查询。3.题目：举例说明莫队算法在区间频率统计问题中的应用，并给出关键步骤。答案：区间频率统计问题是指统计某个区间内某个元素出现的次数。莫队算法的步骤如下：1.将数组分成块（块大小为√n）；2.预排序查询的左右端点；3.维护当前块内元素的出现次数（可通过树状数组或哈希表实现）；4.对于每个查询，分别处理块内和跨块部分，累加结果。例如，对于数组`[1,2,3,1,2,3]`，查询区间`[2,5]`的频率统计：-分块后为`[[1,2,3],[1,2,3]]`；-查询跨块部分，块内统计为`[1:1次,2:1次,3:1次]`；-最终结果为`1+1+1=3`。四、编程题（共2题，每题25分，合计50分）1.题目：给定一个长度为n的数组，支持区间查询`[l,r]`中元素的最大值。请使用莫队算法实现该功能，并要求查询的期望时间复杂度为O((n+q)√n)。参考代码（C++）：cppinclude<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintMAXN=100005;inta[MAXN],block[MAXN],pos[MAXN],ans[MAXN];intn,q;structQuery{intl,r,id;booloperator<(constQuery&other)const{if(block[l]!=block[other.l])returnblock[l]<block[other.l];if(block[l]&1)returnr<other.r;elsereturnr>other.r;}};Queryqueries[MAXN];intget_block(intidx){returnidx/sqrt(n);}voidadd(intidx){//维护当前块的最大值}voidremove(intidx){//维护当前块的最大值}intmain(){cin>>n>>q;for(inti=1;i<=n;i++)cin>>a[i];for(inti=1;i<=q;i++){cin>>queries[i].l>>queries[i].r;queries[i].id=i;block[i]=get_block(queries[i].l);}sort(queries+1,queries+q+1);intl=1,r=1;for(inti=1;i<=q;i++){while(l<queries[i].l)remove(--l);while(l>queries[i].l)add(l++);while(r<queries[i].r)add(++r);while(r>queries[i].r)remove(r--);ans[queries[i].id]=//记录最大值}for(inti=1;i<=q;i++)cout<<ans[i]<<'\n';return0;}2.题目：给定一个长度为n的数组，支持区间查询`[l,r]`中元素的最小值。请使用莫队算法实现该功能，并要求查询的期望时间复杂度为O((n+q)√n)。参考代码（C++）：cppinclude<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;constintMAXN=100005;inta[MAXN],block[MAXN],pos[MAXN],ans[MAXN];intn,q;structQuery{intl,r,id;booloperator<(constQuery&other)const{if(block[l]!=block[other.l])returnblock[l]<block[other.l];if(block[l]&1)returnr<other.r;elsereturnr>other.r;}};Queryqueries[MAXN];intget_block(intidx){returnidx/sqrt(n);}voidadd(intidx){//维护当前块的最小值}voidremove(intidx){//维护当前块的最小值}intmain(){cin>>n>>q;for(inti=1;i<=n;i++)cin>>a[i];for(inti=1;i<=q;i++){cin>>queries[i].l>>queries[i].r;queries[i].id=i;block[i]=get_block(queries[i].l);}sort(queries+1,queries+q+1);intl=1,r=1;for(inti=1;i<=q;i++){while(l<queries[i].l)remove(--l);while(l>queries[i].l)add(l++);while(r<queries[i].r)add(++r);while(r>queries[i].r)remove(r--);ans[queries[i].id]=//记录最小值}for(inti=1;i<=q;i++)cout<<ans[i]<<'\n';return0;}答案与解析一、单选题答案与解析1.答案：C解析：莫队算法的块大小为√n时，区间查询的期望时间复杂度为O(√n)，因为每个查询最多移动O(√n)次。2.答案：A解析：当查询区间跨越两个块时，需要分成块内和跨块部分分别查询，即分成两个块内查询。3.答案：C解析：跨块查询需要分别处理块内和跨块部分，通过移动端点实现。4.答案：B解析：莫队算法的核心思想是分块，通过减少查询的移动次数来优化时间复杂度。5.答案：B解析：莫队算法通常直接排序块内元素，通过前缀和或树状数组维护信息。二、填空题答案与解析1.答案：O((n+q)√n)解析：莫队算法的期望时间复杂度为O((n+q)√n)，其中n为数组长度，q为查询次数。2.答案：区间左端点解析：查询排序通常先按左端点，再按右端点，以减少移动次数。3.答案：√n解析：块大小选择为√n时，查询的期望时间复杂度最优。4.答案：2解析：跨块查询时，需要保留块边界两侧各2个元素，以处理跨块部分。5.答案：离线处理解析：莫队算法通过离线处理查询顺序，避免重复移动。三、简答题答案与解析1.答案：莫队算法的核心思想是将数组分成块（块大小为√n），通过预排序查询的左右端点来减少查询的移动次数。在查询时，若区间完全在块内，则直接处理；若跨越多个块，则分别处理块内和跨块部分。通过分块方式，将区间查询的期望时间复杂度优化到O((n+q)√n)。2.答案：莫队算法的移动操作主要涉及调整查询的左右端点到目标块内。通过预排序查询的左右端点，减少移动次数；维护当前块的左右端点信息，避免重复移动；使用离线处理策略，避免重复查询。3.答案：区间频率统计问题中，莫队算法的步骤如下：-分块（块大小为√n）；-预排序查