福州市、南平市2026届高三下学期4月适应性练习（二模）数学试题（学生版+解析版）

福建省福州市、漳州市、南平市2026届高三下学期4月适应性练习(二模)数学试题(完卷时间：120分钟；满分：150分)友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位、越界答题!一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，A.{4,5}B.{4,5,6}C.{1,2,3}D.{x|³<x<6}2.已知复数(1+i)(a+bi)(a,b∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是()A.a>0B.a<03.某次测试中，某10人的成绩(单位：分)分别为：48、75、58、66、78、82、84、78、86、91,则这组数据的第80百分位数是()A.78B.82C.844.设α,β是两个不重合的平面，则α//β的充要条件是()5.已知函为增函数，则a的最小值是()A.24πB.48πC.96π7.已知数列{a}的前n项和为S,若a₋+(-1)"S₄=2n+1,则a₆=()A.16B.18C.208.已知函数f(x)=(x-a)"(x-b)"(m,neN°,m<n,a≠b)有且仅有3个极值点x₁、x₂、x₃,且二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线C:y²=2px的焦点为F(1,0)准线为1,圆M过点F,下列说法正确的是()A.p=1B.I的方程为x=-1C.若圆心M在C上，则圆M与I相切10.已知函的部分图象如图所示，点A(0,-√3)、在f(x)的图象上，下列说法正确的是()11.已知公差为d的等差数列{a}的前n项和为S。,公比为9的等比数列{b}的前n项和为T,且a=b>0,a16=h₁.下列命题正确的是()三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(2)若f(x)>0,求a的取值范围.(1)求C的方程；X0123Pk(2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为,每个盲盒是否为封面款相互独立，若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客(i)求该顾客为幸运客户的概率f(a);(ii)若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过,求α的取值范围，19.已知PA⊥平面?,垂足为A,直线ACcy,B,D是7内的动点，且B,D始终在AC的两侧.(i)证明：二面角B-AP-D为锐角：(ii)直线PB,PD与Y所成的角分别为α,β,记θ=max{a,β},若平面QBD⊥γ,且△PBD不是任何一个长方体的截面，求tan²θ的最小值.2026届高三下学期4月适应性练习(二模)数学试题(完卷时间：120分钟；满分：150分)友情提示：请将所有答案填写到答题卡上!请不要错位、越界答题!一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，A.{4,5}B.{4,5,6}C.{1,2,3}【答案】A【解析】【详解】因为全集U={x|0<x<6,x∈Z}={1,2,3,4,5),A={1,2,2.已知复数(1+i)(a+bi)(a,b∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，则下列结论一定成立的是()【解析】【详解】(1+i)(a+bi)=a+(a+b)i+bi²=a-b+(a+b)i,所以a+b+b-a>0,即2b>0,所以b>0.3.某次测试中，某10人的成绩(单位：分)分别为：48、75、58、66、78、82、84、78、86、91,则这组数据的第80百分位数是()A.78B.82C.84【解析】【详解】将这10个数据由小到大进行排序为：48、58、66、75、78、78、82、84、86、91,因为10×0.8=8,故这组数据的第80百分位数是【解析】【详解】对于A,因αnβ=DC,且AB₁对于D,由上图，显然α⊥β,且aoβ=DC,在平面β内作一条与DC垂直则mLα,从而对平面α内的任意直线I,都有1⊥m,则αoβ=DC,对于任意的直线lca,(不妨设1与DC相交)都存在直线mcβ,使得1//m,使y∩β=m,则必有I//m,故必要性成立，故C正确.5.已知函数为增函数，则a的最小值是()【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数a的不等式组，解之即可.【详解】由对勾函数的单调性可知，函数在区间(0,2)上单调递减，在(2,+oo)上单调递增，因为函数f(x)在R上为增函数，所以函数在[a,+∞]上为增函数，又因为函数在(-∞,a)上为增函数，且函数f(x)在R上为增函数，则有,因a≥2,则可得(3a-4)(a-4)≥0,解得a≥4,故实数a的取值范围是(4,+oo),即a的最小值为4.6.已知三棱锥P-ABC的体积为9√3,∠BAC=90°,AB=AC=3√2,PB=PC=6.若该三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A.24πB.48π【解析】【分析】首先找到△ABC的外接圆圆心位置D,结合三棱锥的体积确定外接球半径R及外接球球心O的位置，并利用勾股定理建立关于R的方程求解，最后用球的表面积公式S=4πR²计算求解.【详解】已知∠BAC=90°,AB=AC=3√2,所以△ABC的面积设BC中点为D,则AD=BD=CD=3.且PD=√PB²-BD²=√36-9=3√3=h,设OD=x,球半径为R,则OA=OP=R.A.16B.18C.20【解析】即a₂-a₁=3.即a₄-5=7,所以a即a₅+17=9,所以a₅=-8,S₅=S₄+a₅=9.8.已知函数f(x)=(x-a)"(x-b)"(m,neN°,m<n,a≠b)有且仅有3个极值点x₁、x₂、x₃,且【解析】【分析】求导得出f'(x)=(x-a)"'(x-b)°⁻¹[(m+n)x-(mb+na)],xab一0一0十0+减减增增xab+0+0-0+增增减极小值增xab一0+0一0+减极小值增减极小值增则x+x₃>2x₂;则x+x₃<2x₂,二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知抛物线C:y²=2px的焦点为F(1,0)准线为1,圆M过点F,下列说法正确的是()A.p=1C.若圆心M在C上，则圆M与I相切【解析】即MF|=d,故点M在C上，即D正确.10.已知函数的部分图象如图所示，点A(0,-√3)、在f(x)的图象上.下列说法正确的是()【解析】对于D选项，因11.已知公差为d的等差数列{a}的前n项和为S。,公比为9的等比数列{b}的前n项和为T。,且a=b>0,a₀=h.下列命题正确的是()【解析】由a=b>0,a₀=b₁₀从而b=b₁q⁶>b,得q>1,T₀=b₁+b₂+b₃+…+b₁₀=(b+b₀)+(而(b+b₀)-(b₂+b)=(b-b₂)-(b-b₁₀)=b(1-q)-b(1-4)=(b-b)(1-q)由q>1得1-q<0,1-q⁸<0,从而(b+b₁₀)-(b₂+b,)=b,(1-q⁸)(1-q)>0,即得b₁+b₀>b₂+b,同理b+b₀>b+b,b₁+b₀>b₂+b,b₁+b₁₀>b₅+b₆,T₁₀=b+b₂+b₃+…+b₀=(b+b₀)+(而(b₁+b₀)-(b₂+b)=(b-b₂)-(b-bh₁₀)=b(1-q-b(1-q)图中两个交点分别代表a=b₁>0,a0=b₀<0,由指数函数的增长性知y=g(x)与y=f(x)在后面还可能有符合条件的交点，即集合{n|a=b.}可能有三个元素，选项D正确，44三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知单位向量a,b满足a⊥(a-2b),则(a,b>=.【答案】【解析】【详解】因为a,b为单位向量，所以a|=b=1,,又因为a⊥(a-2b)=0(a-b)=,展开得a-a-Qab=,所以13.为了应对新能源产业爆发式增长带来的挑战，某研究所设立了资源组、电芯组、基建组三个攻关小组，现安排甲、乙等5名工作人员到这三个小组协助工作，且每个小组至少安排一人，每人只能去一个小组，同时，要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，甲、乙两人不能被安排到资源组，则不同的安排方案种数是,(用数字作答)【答案】30【解析】【分析】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，由于甲、乙两人不能被安排到资源组，针对甲、乙两人在同一组与不同组进行分类计算，结合要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多排除一些情况，再使用排列组合公式进行计算.【详解】要求安排到电芯组的人数比资源组的人数多，那么资源组、电芯组、基建组人数分配情况有1:3:1与1:2:2,当甲、乙两人在同一组时，那么甲乙只能同在电芯组或基建组，存在1:3:1与1:2:2两种分配情况，当甲、乙两人在不同组时，那么甲乙只能一个在电芯组另一个在基建组，存在1:3:1与1:2:2两种分配情N=N₁+N₂=30.14.在平面凸四边形ABCD中，∠BAC=60,AB=2,BC=2√3,△BCD的面积为3√3.当∠ADB最大时，四边形ABCD的面积为.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理结合勾股定理可得出∠ABC=90°,以点B为坐标原点，BC、x、y轴建立平面直角坐标系，设点D(x,y),根据SBC=3√3以及图形求得y=3,且有x>0,分析可得∠ADB=∠yAD-∠ABD,利用基本不等式结合两角差的正切公式可求出ta号成立的条件可求出点D的坐标，进而可求得四边形ABCD的面积.【详解】在VABC中，∠BAC=60,AB=2,BC=2√3,,整理可得AC²-2AC-8=0,解得AC=4或AC=-2(舍去),以点B为坐标原点，BC、BA所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则A(0,2)、B(0,0)、C(2√3,0),,则点D在第一象限，设点D(x,y),则,解得y=3,则D(x,3),XX四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)若f(x)是奇函数，求φ;【答案】(1)φ=kπ(k∈Z)【解析】π(k₂∈Z),解出x的表达式，令,可得出解法二；由f(x)=0,可得cos,可得出S₂=(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅)+(b+b₂+…+b₅),【小问1详解】即sin(-2x)-sin(-x+φ)=-[sin2x-sin(x+φ)]恒成立.所以sinxcosφ+sinφcosx+sin所以sinφcosx=0恒成立，所以sinφ=0,解得φ=kπ(keZ).所以sinφ=0,解得φ=kπ(keZ),经检验，f(x)=sin2x-sin(x+kπ)(k∈Z)是奇函数，所以φ=kπ(k∈Z).【小问2详解】令f(x)=0,令所以S₂₀=x+x₂+…+x₂₀=(a+a₂+a₃+a₄+a)+(b所以a-a=(x₄m+1-x₄-3)+(x4+2-x4n-(2)若f(x)>0,求a的取值范围.【答案】(1)2x+2y-3=0解得0<a<e.1)当0<x<1令(1)求C的方程；(2)点P,Q分别在直线4:x=-4与l₂:x=4上，且PF⊥MF,QF₂⊥MF₂.证明：P,M,Q三点共【解析】【小问1详解】解法一：(1)当MF₂⊥x轴时，从而a=2,b²=3,故C的方程,所以解法二：(1)当MF₂⊥x轴时，,所以或又a²-b²=1②,由①②,解得a²=4,b²=3,,所以【小问2详解】解法一：设M(x₀,y。)(y₀≠0),P(-4,y.),Q(4,y₀), 所以FM=(x₀+1,y。),FP=(-3,y,),F因为PF⊥MF,QF₂⊥MF₂,所以FM·FP=-3(x₀+1)+yayp=0,F₂M·F₂Q=3(x₀-1+%Yo=0, 所以PM//QM,故P,M,Q三点共线.因为此时点,Q(4,0),,故直线PF:,从而P(-4,4),则X0123Pk(2)(i),a∈(0.1);(ii)【解析】(ii)设事件C=“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”,求得,利用全概【小问1详解】【小问2详解】(i)设事件A,=“一次性购买i则P(A)=k(1-a)²,P(A)=ka,P(A₂)=k,P(A)=k(1-a).又由题意知，B=A,BJABUA₂BUA₃B,所以,α∈(0,1);(ii)设事件C=“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”,所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为由题意可得解得19.已知PA⊥平面Y,垂足为A,直线ACcγ,B,D是Y内的动点，且B,D始终在AC的两侧.(1)若AB⊥AD,证明：△PBD是锐角三角形；(2)若PA=AC=3,Q是线段CP上靠近C的三等分点，(i)证明：二面角B-AP-D为锐角；(ii)直线PB,PD与Y所成的角分别为α,β,记θ=max{a,β}.若平面QBD⊥γ,且△PBD不是任【答案】(1)证明见解析；【解析】【分析】(1)证法一：不妨设AB=a,AD=b,AP=c,且a≤b≤c,利用余弦定理证明：证法二：根据(2)(i)建系后设B(x,y,0),D(x₂,y₂,0),利用空间向量夹角公式推出x²-y²=3,,利B(x,y),D(x₂,y₂)在双曲线x²-y²=3的右支上，直线BD过点M(2,0),AB<AD,x²-2x₁+x²≤0,平面直角坐标系xAy中，B(x,y,),D(x₂,y₂)在双曲线x²-y²=3的右支上，直线BD过点M(2,0),BA·BM≤0,求的最小值。【小问1详解】不妨设AB=a,AD=b,AP=c,且a≤b≤c,又因为AB⊥AD,故可以A为原点，AB,AD,AP分别为x轴，y直角坐标系A-xyz.PB·PD=(a,0,-c)-(0,b,-c)=c²>0,所以∠BP所以△PBD是锐角三角形.证法三：因为PA⊥平面?,AB,ADcy,BP·BD=(BA+AP).·(BA+AD)DB·DP=(DA+AB)·(DA+AP)=DA²>0,所以∠PDB为锐角，PB·PD=(PA+AB).(PA+AD所以△PBD是锐角三角形，【小问2详解】由对称性知B,D在同一个轨迹上，且轨迹关于AC对称，故以A为原点，AC,AP分别为x轴和z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.故QC=(1,0,-1),QB=(x-2,y,-1),,化简得x²-y²=3,故在坐标平面xAy中，B,D是双曲线x²-y²=3右支上的动点，且B,D在x轴的两侧，如图.因为x²-y²=3的两条渐近线分别为y=x和y=-x,它们的夹角为所以所以∠BAD是二面角B-AP-D的平面角，所以二面角B-AP-D为锐角。(ii)解法一：因为△PBD不是任何一个长方体的截面，所以△PBD是直角三角形或钝角三角形，若△PBD为锐角三角形，有PB²+PD²-BD²>0,PB²+BD²-PD由(1)知，若△PBD是长方体的截面，则△PBD是锐角三角形，所以△PBD不是任何一个长方体的截面等价于△PBD是直角三角形或钝角三角形.由(i)知，,所以AB·AD>0,又因为PA⊥AB,PA⊥AD, 所以PB·PD=(PA+AB).(PA+AD)=PA²+AB·AD>0, 不妨设AB≤AD,则α≥β,且PB≤PD,所以θ=α,所以QM⊥y,又PA⊥Y,所以PA//QM.所以M(2,0,0),即直线BD过M(2,0,0),直线BD过点M(2,0),AB<AD,x²-2x₁+y²≤0,即一y>2-x>0,所以y²>(2-x)²,又x则存在以A'B=d,A'D=b,A'P=c为共点棱的长方体，△PBD为该长方体的截面.由(1)知，若△PBD是长方体的截面，则△PBD是锐角三角形，所以△PBD不是任何一个长方体的截面等价于△PBD是直角三角形或钝角三角形。作QM⊥BD于M,因为平面QBD⊥了，平面QBDny=BD,QMC平面QBD,所以QM⊥Y,又PA⊥Y,所以PA//QM,因为Q是线段CP上靠近C的三等分点，所以M是线段AC