2026年黑龙江单招数学数列通项与求和经典题型

2026年黑龙江单招数学数列通项与求和经典题型一、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式应用（共3题，每题10分）1.题目：已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃＝5，a₅＝11。（1）求该数列的通项公式；（2）求该数列的前10项和S₁₀。2.题目：一个等比数列{b_n}的首项为2，公比为q，且b₄＋b₅＝54。（1）求公比q；（2）求该数列的前8项和b₁＋b₂＋…＋b₈。3.题目：设等差数列{c_n}的首项为1，公差为d，且满足c₂c₄＝9。（1）求公差d；（2）若该数列的前n项和为S_n，求S₁₀的值。二、数列递推关系的应用（共3题，每题12分）1.题目：已知数列{a_n}满足a₁＝1，且a_n＋1＝3a_n＋2（n≥1）。（1）求该数列的通项公式；（2）求该数列的前5项和S₅。2.题目：设数列{b_n}满足b₁＝2，且b_n＋1＝b_n＋n（n≥1）。（1）求该数列的通项公式；（2）求该数列的前6项和b₁＋b₂＋…＋b₆。3.题目：已知数列{c_n}满足c₁＝3，且c_n＋1＝c_n－2n（n≥1）。（1）求该数列的通项公式；（2）求该数列的前4项和S₄。三、数列综合应用（共3题，每题15分）1.题目：某工厂计划每年投资增加10万元，已知该工厂第一年的投资为50万元，且每年的投资额构成等比数列{a_n}。（1）求该数列的通项公式；（2）若该工厂计划5年内累计投资总额为400万元，求该工厂的年投资增长率（结果保留两位小数）。2.题目：某城市人口增长率为每年5%，已知该城市2020年的人口为100万，且每年的人口数构成等比数列{b_n}（n表示年份，b₁＝100）。（1）求该城市2025年的人口数；（2）若该城市人口不超过200万，求最多能持续多少年。3.题目：某企业生产一种产品，成本分摊方式为：第1件成本为10元，第2件成本为9元，第3件成本为8元，以此类推，每增加一件成本减少1元。（1）求生产第n件产品的成本；（2）若该企业计划每天生产10件产品，求每天的总成本。答案与解析一、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式应用1.答案与解析：（1）设等差数列的首项为a，公差为d，则a₃＝a＋2d＝5，a₅＝a＋4d＝11，解得a＝1，d＝2，所以通项公式为a_n＝1＋2(n－1)＝2n－1。（2）前10项和S₁₀＝10[2×1－(10－1)×2]＝10，所以S₁₀＝100。2.答案与解析：（1）由b₄＋b₅＝2q³＋2q⁴＝54，解得q＝2。（2）前8项和b₁＋b₂＋…＋b₈＝2(2⁸－1)＝510。3.答案与解析：（1）由c₂c₄＝(1＋d)(1＋3d)＝9，解得d＝2或d＝－2.5（舍去负值），所以公差d＝2。（2）前10项和S₁₀＝10[1＋(1＋9×2)]＝100。二、数列递推关系的应用1.答案与解析：（1）由a_n＋1－3a_n＝2，解得a_n＝3ⁿ－1。（2）前5项和S₅＝(3＋9＋27＋81＋243)－5＝341。2.答案与解析：（1）由b_n＋1－b_n＝n，累加得b_n＝2＋(n－1)n/2＝n²－n＋2。（2）前6项和b₁＋b₂＋…＋b₆＝(1²－1＋2)＋(2²－2＋2)＋…＋(6²－6＋2)＝84。3.答案与解析：（1）由c_n＋1－c_n＝－2n，累加得c_n＝3－n²。（2）前4项和S₄＝(3－1)＋(3－4)＋(3－9)＋(3－16)＝－24。三、数列综合应用1.答案与解析：（1）设年投资额为等比数列{a_n}，首项a₁＝50，公比q＝1.1，第5年投资额a₅＝50×1.1⁴＝84.85（万元）。（2）5年累计投资总额S＝50[1.1⁵－1]/(1.1－1)＝277.85（万元），年投资增长率＝(84.85－50)/50×100%＝70.7%。2.答案与解析：（1）2025年人口b₅＝100×1.05⁴＝121.55（万）。（2）设n年后人口不超过200万，即100×1.05ⁿ≤