随机模拟课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第10章概率10.3.2随机模拟1.理解随机模拟试验出现的意义.2.通过具体实例模拟随机试验，在大量重复试验中体会频率的稳定性.3.能利用随机模拟试验求概率，能用计算工具模拟随机试验.问题：用频率估计概率，需要做大量的重复试验，有些试验费时费力，具有破坏性，有些试验无法真正进行，有没有其他方法可以替代试验呢?抛硬币10000次,估计“正面朝上”的概率估计某路口一年内发生交通事故检测一批灯泡的使用寿命/合格率为了更好地保证试验的准确性，借助计算器或计算机软件可以产生随机数。也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，从而达到利用随机模拟试验求概率的目的.生成随机数的具体方法有哪些呢？例如，我们要产生0~9之间的整数随机数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码称为随机数.1.由试验产生的随机数(一)产生随机数的方法类似于学过的抽签法特点：以上方法是按照确定的算法产生的数，具有周期性，因此我们把利用计算机产生的随机数称为伪随机数（不能保证完全等可能）

例如，对于抛掷一枚质地均匀硬币的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{0，1}的随机数，用0表示反面朝上，用1表示正面朝上.这样不断产生0、1两个随机数，相当于不断地做抛掷硬币的试验.在电子表格软件中RANDBETWEEN（1，n）函数表示产生于1~n范围内的整数随机数.

2.计算机产生的随机数

又如，一个袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色不同外没有其他差别.对于从袋中摸出一个球的试验，我们可以让计算器或计算机产生取值于集合{1，2，3，4，5}的随机数，用1，2表示红球，用3，4，5表示白球.这样不断产生1～5之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.

下表是用电子表格软件模拟上述摸球试验的结果，其中n为试验次数，nA为摸到红球的频数，fn(A)为摸到红球的频率.n102050100150200250300nA6720456677104116fn(A)0.60.350.40.450.440.3850.4160.39画出频率折线图

从图中可以看出：随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4.

随机模拟方法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果。其基本思想是用产生整数随机数的频率估计事件发生的概率．利用随机模拟解决问题的方法叫做蒙特卡洛方法.在随机模拟试验时，应注意的问题:(1)要根据具体的事件设计恰当的试验，使试验能够真正的模拟随机事件.(2)注意用不同的随机数来表示不同的随机事件的发生.随机模拟试验出现的意义：解析：随机数容量越大，所估计的概率越接近实际值.故选B.1.用随机模拟方法估计概率时，其准确程度取决于（）A.产生的随机数的大小 B.产生的随机数的个数C.随机数对应的结果 D.产生随机数的方法练一练B例1

从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月，…，十二月是等可能的.设事件A=“至少有两人出生月份相同”,设计一种试验方法,模拟20次,估计事件A发生的概率.分析：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人的出生月份可以看成可重复试验.方法1可以构建如下有放回摸球试验进行模拟：1.在袋子中装入编号为1,2,…,12的12个球，这些球除编号外没有什么差别.2.有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.如果这6个数中至少有2个相同，表示事件A发生了.3.重复以上模拟试验20次，就可以统计出事件A发生的频率.方法2利用电子表格软件模拟试验.1.在A1、B1、C1、D1、E1、F1单元格分别输人“=RANDBETWEEN(1,12)”，得到6个数，代表6个人的出生月份，完成一次模拟试验.2.选中A1、B1、C1、D1、E1、F1单元格，将鼠标指向右下角的黑点，按住鼠标左键拖动到第20行，相当于做20次重复试验.3.统计其中有相同数的频率，得到事件A的概率的估计值.

下表是20次模拟试验的结果.事件A发生了15次，事件A的概率估计值为0.75，与事件A的概率(约0.78)相差不大.ABCDEFGHIJKLMNOPQRST148127127112167124281083372365122342710115964612121321882144105655771951034112469101291549338661242511963121551731248622255641231127285511321232119101.随机数产生的方法比较方法抽签法/由试验产生用计算器或计算机产生优点保证机会均等操作简单，省时省力缺点耗费大量人力、物力、时间，有时不具有实际操作性因为是伪随机数，不能保证完全等可能要点归纳2.一般适用于有以下特点的事件用随机模拟试验求概率的情况（1）对于满足“有限性”但不满足“等可能性”的概率问题，可以采用随机模拟方法来估计概率.（2）对一些基本事件的总数比较大，很难把它们列举的不重复、不遗漏的概率问题、对于基本事件的等可能性难以验证的概率问题，可用随机模拟方法来估计概率.3.用随机模拟估计概率的步骤：（1）建立概率模型，构造或描述概率过程，构造与问题相一致的随机数组进行模拟；（2）进行模拟试验，可用计算器或者计算机软件按要求产生随机变量进行模拟试验；（3）统计试验结果，建立估计量，得到问题的解.例2在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.利用计算机模拟试验，估计甲获得冠军的概率.(比赛规则是3局2胜制）

分析:奥运会羽毛球比赛规则是3局2胜制，甲获得冠军的结果可能是2:0或2:1.

显然，甲连胜2局或在前两局中输一局，并赢得第三局的概率，与打满三局，甲胜2局或3局的概率相同.每局比赛甲可能胜，也可能负，3局比赛所有可能结果有8种，但是每个结果不是等可能的，因此不是古典概率，可以用计算机模拟比赛结果.甲连胜2局(相当于连胜3局)的概率为0.6×0.6×0.6，甲胜第1局和第3局的概率为0.6×0.4×0.6.不相等解:设事件A=“甲获得冠军”，事件B=“单局比赛甲胜”，则P(B)=0.6.

用计算器或计算机产生1～5之间的随机数，当出现随机数1、2或3时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.6.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组.例如，产生20组随机数:423

123

423344114453525332

152

342534443512541125

432

334

151

314354

利用随机模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果，可从以下三个方面考虑：（1）当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；（2）研究等可能性事件的概率时，用按比例分配的方法确定每个结果的数字个数及总个数.（3）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.要点归纳2.甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率．先利用计算机生成0到9之间整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数：034743738636964736614698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707360751

据此估计乙获胜的概率约为

．0.367练一练1．随机模拟试验的步骤：(1)设计概率模型；(2)进行模拟试验；(3)统计试验结果．2．计算器和计算机产生随机数的方法：构建模拟试验产生随机数或计算机的随机函数RANDBETWEEN(a，b)，可以产生从整数a到整数b的取整数值的随机数．本节课我们学到了哪些知识与方法？1.掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组(）A.1B.2C.9D.12解析：由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组.B2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果:经随机模拟产生了如下20组随机数:966191925271932812458569683431257