（二模）鞍山市2025一2026学年度高三第二次质量监测 数学试卷（含答案）

鞍山市普通高中2025—2026学年度高三第二次质量监测数学 考试时间：120分钟满分：150分 2026.04一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若z+iz=1A.-12 B.12 C.-12i D.12i2.已知集合A=12345A.{2,3,4,5} B.{1,2,3} C.{1,2,3,4} D.{2,3,4}3.下列各组数据中方差最大的一组是A.2,2,2,2,2 B.1,1,2,3,3C.0,1,2,3,4 D.0,0,2,4,44.已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A为抛物线C准线上一点，连接AF交C于点B,若A.12B.32C.25.若cosα+π4A.7210 B.-210 C.6.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S4=S9,且A.12 B.15 C.16 D.187.已知cosα1-sinα=tanA.α=30° B.α=70° C.β=50° D.β=80°数学第1页(共4页)8.已知P为直线x+y=1上动点,定点A(3,0),B(I,1),O为坐标原点,若OP=λA.3λ+C.13λ+1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知函数fxA.-13是函数y=f(xB.B13是函数y=f(C.直线x+y=1是曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线D.直线x-y=1是曲线y=f(x)在(0.f(0))处的切线10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，称各面正方形的对角线为面对角线，称AC1⋅A1C,BD₁,B₁D为体对角线、设A.存在面对角线与平面PMN平行B.存在体对角线与平面PMN平行C.存在面对角线与平面PMN垂直D.存在体对角线与平面PMN垂直11.已知f(x),g(x)是定义在R上的函数,若h(x)={f(x),f(x)≤g(x)∣g(x),f(x)A.当函数f(x),g(x)均有零点时,h(x)也有零点B.当函数f(x)。g(x)均为增函数时,h(x)也为增函数C.当函数f(x),g(x)均为偶函数时,h(x)也为偶函数D.当函数f(x)，g(x)均为周期函数且有相同周期时，h(x)也为周期函数数学第2页(共4页)三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.x-2413.将甲、乙、丙、丁、戊五名同学分到三个不同的公益活动小组，每组至少一人，至多两人，则甲乙恰好被分到同一小组的概率为.14.已知函数fx=sinωx,ω∈0+∞,若存在x1,x四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin(1)求a的值:(2)求b+c的最大值.16.(本小题满分15分)如图,在三棱锥D-ABC中,侧面DAC⊥底面ABC,AD=DC,AB=BC.(1)求证:AC⊥BD;(2)已知AB=5,AC=2,AD=2,F是线段BD上一点，当AF⊥BD时，求二面角数学第3页(共4页)17.(本小题满分15分)已知椭圆E：x2a2－y2b2=1（a＞(1)求E的方程:(2)过点P(-2,1)的直线l交E于C,D两点,若直线BC,BD的斜率都存在且不为0,将BC,BD的斜率分别记为k₁,k₂,求118.(本小题满分17分)在某次军事演习中，红军参谋部进行战前推演：蓝军拥有两个相同结构的军事基地，每个基地有n(n＞1)个重要节点：红军拥有某种型号导弹，对上述每个重要节点单枚命中即可摧毁，且单枚突破防御并命中的概率为p.红军的演习任务是发射2n枚该型号导弹对蓝军军事基地实施打击，完成对蓝军至少一个军事基地的彻底摧毁(即摧毁该基地内的全部重要节点)即为获胜.现有两种打击方案：方案一：选择某一军事基地内的n个重要节点进行打击，对每个重要节点发射两枚导弹：方案二：对两个军事基地的各n个重要节点进行打击，对每个重要节点发射一枚导弹.视各枚导弹突破防御并命中目标相互独立，请你帮助红军参谋部进行推演计算：(1)分别求出两种方案中，最终摧毁的重要节点数的期望，并比较期望大小：(2)比较两种方案下红军获胜的概率，判断哪种方案更优.19.(本小题满分17分)已知函数f(1)证明:当x＜0时,f(x)＞0;(2)设f(x)在[0;2026π)上的零点从小到大构成有穷数列{xₙ}.(i)求数列{xn}的项数n₀;(ii)求证:i=数学第4页(共4页)鞍山市普通高中2025—2026学年度高三第二次质量监测数学参考答案及评分标准一、单选题题号12345678答案BCDBABCA二、多选题题号91011答案ACADBCD三、填空题题号121314答案-8(注:填写-8x³不得分)15四、解答题15.解:(1)方法一:在△ABC中，由正弦定理asin2sinB=acosC+ccosA=2R(sinAcosC+cosAsinC)=2Rsin(A+C), 2分因为在△ABC中,A+B+C=π,所以sin(A+C)=sinB,所以R=1 3分因为A=π3,所以a=2R方法二：在△ABC中，由余弦定理可得：2sinB-c⋅b整理得：2所以由正弦定理可得：bsinB=2R=2,R=1又因为A=π3,所以a=2R(2)方法一:在△ABC中，由余弦定理得：a32=b由均值不等式可得：b+c2≥bc所以bc=13b+c所以b+c≤23,当且仅当b+c的最大值为23. 方法二：由(1)可知，b=2sinB,c=2sinb+c=2 10分因为B∈02π3,所以所以当B+π6=π2 时，即B=π3时，b+16.(1)证明:取AC中点O,连接DO,BO,因为AD=DC,所以DO⊥AC, 1分又因为AB=BC,所以BO⊥AC, 2分又因为BO∩DO=O,BO,DO⊂平面BOD,所以AC⊥平面BOD, 4分又BD⊂平面BOD,所以AC⊥BD. 6分(2)因为侧面DAC⊥底面ABC,平面DAC∩平面ABC=AC,且DO⊥AC,DO⊂平面DAC,所以DO⊥平面ABC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分又BO⊥AC,以O为原点,OA,OB,OD的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-因为AB=5,AC=2,AD=2,所以DO=1,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(-1,0,0),D(0,0,1),所以AC因为F是线段BD上一点，设DF所以AF因为AF⊥BD,所以AF解得λ=15.(也可以用几何法求出点F是DB上靠近D的五等份点)设平面FAC的一个法向量为n=(x,y,z),则{令z=1,则x=0,y=-2. 于是n=(0,-2,1) 12因为OD⊥平面ABC，所以平面ABC的法向量为OD=00所以cosnOD=由题知，二面角F-AC-B为锐角，所以其余弦值为55. 第(2)问也可以用几何方法求解，按以下原则给分：作出并证明二面角的平面角得6分，余弦值计算得3分.17. 解:(1)由已知得,e=ca=因为以短轴为直径的圆与直线y=x+2所以原点O到直线y=x+2的距离为b=∣0-0+2又因为a2=b2+c2,所以a=2所以E的方程为x24+(2)由(1)知,B(0,1),当过点P(-2,1)的直线l斜率不存在时,直线与椭圆E只有1个交点，不合题意舍去⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k(x+2)，设C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂),由{y-1=k(x+2)x21+4k2x所以Δ=16k2+8k2x1+x所以直线BC的斜率k1=y1-1所以1=x1x又因为2x1xx1x2所以1k1+1(1)方案一一个基地，n个节点，每个节点发射两枚导弹.一枚导弹命中概率为p，未命中概率1-p.一个节点被摧毁的概率：1-1-p2=2p-p⋯ 分设X为摧毁节点数， X~Bn2p-p2,因此方案二两个基地各n个节点，每个节点一枚导弹，命中概率p 4分设Y为摧毁节点总数,Y~B(2n,p),因此E(Y)=2np 6分EE(Y)>E(X)即方案二摧毁节点数的期望更大 7分(2)方案一的任务要求：彻底摧毁所有n个节点。各节点相互独立，因此任务完成概率：P1=2p-方案二的任务要求：至少彻底摧毁一个基地(共2个基地，每个基地n个节点).单个基地被彻底摧毁的概率为p2=1-1-p1-p法一：令aa=1-p2-pn由p∈(0,1),则2-p>1>p,则2-pn所以an+1-an>0即法二:令t=1-p,则2-p所以方案一更优 17分19.(1)法一:g(x)=eˣ(cosx-sinx),g'(x)=-2eˣsinx 1分x∈(-π,0),g'(x)>0,g(x)递增,g(x)<g(0)=1 3分x∈(-∞,-π),g(x)<2e⁻π<1所以x<0时,g(x)<1, 即f(x)>0 5分法二： f'x=-当x∈-π20时，f'x<-e-0+1=0,则f(x)在-π20x∈-∞-π则当x<0时,f(x)>0 5分法三：px=e-x+x-1,当x∈(-∞,0)时,p'x=-e-x+1<0,则p(x)在(-∞,0)上单调递减,所以pq(x)=x-sinx,当x∈(-∞,0)时,q'(x)=1-sinx≥0,则q(x)在(-∞,0)上单调递增,所以q(x)<q(0)=0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分所以fx=e(2)(i)等价于g(x)=1.k∈N时,x∈(2kπ,(2k+1)π),g'(x)<0,x∈((2k-1)π,2kπ),g'(x)>0(*) 6分法一:k∈N*时,g(2kπ)>1,g(2kπ+π)<1,g(2kπ+2π)>1则g(x)=1在(kπ,kπ+π)上恰1个解 8分0是一个解,在(0,π)上无解,在(π,2026π)上2025个解.则共2026个解⋯10分法二：k∈N*时,g2kπ+5π4<1,g2kπ+3π2>1,g2kπ+2π>1,g2kπ+9π4<1则 8分注意0也是一个解，在02kπ+π4上无解，在02024π+π4上共有而第2026个零点在2024π+5π42024π+3π2 10分(ii)我们来证明