2026年19届b卷华杯赛初赛试题及答案

2026年19届b卷华杯赛初赛试题及答案

一、单项选择题，共10题，每题2分1.若正整数n满足n²＋2026恰为两个不同质数之积，则n的个位数字是A.1B.3C.5D.7E.92.设实数x,y满足x＋y＝1，x³＋y³＝19，则x²＋y²的值为A.13B.14C.15D.16E.173.在1,2,…,100中随机取一数，其恰有奇数个正约数的概率为A.1/10B.1/9C.1/8D.1/7E.1/64.若复数z满足|z－3i|＝5且|z＋4|最小，则z的虚部为A.－3B.－2C.0D.2E.35.已知数列{aₙ}满足a₁＝1，aₙ₊₁＝aₙ＋2n＋3，则a₂₀₂₆除以1000的余数为A.026B.126C.226D.326E.4266.设函数f(x)＝x³－3x＋1在区间[－2,2]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝A.2B.3C.4D.5E.67.若正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则其外接球半径为A.3B.3.5C.4D.4.5E.58.从集合{1,2,…,10}中任取三个不同数，其和为3的倍数的取法种数为A.30B.36C.42D.48E.549.若实数a,b,c满足a＋b＋c＝0，abc＝2，则a²＋b²＋c²的最小值为A.2B.3C.4D.5E.610.设椭圆x²/25＋y²/9＝1的右焦点为F，过F作倾斜角60°的直线交椭圆于A,B，则|AB|＝A.48/13B.50/13C.52/13D.54/13E.56/13二、填空题，共10题，每题2分11.若x²＋y²＋z²＝1，则x＋2y＋3z的最大值为________。12.设a,b为正实数且a＋b＝1，则(1＋1/a)(1＋1/b)的最小值为________。13.若正整数m,n满足m²－n²＝2026，则m＋n的最小值为________。14.已知log₂3＝a，log₃5＝b，则log₆15＝________（用a,b表示）。15.在△ABC中，AB＝7，AC＝8，∠A＝60°，则BC边上的高为________。16.若复数z满足z·z̄＋2(z－z̄)＝13＋4i，则|z|＝________。17.设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|＋|x－3|，则f(x)的最小值为________。18.若x,y为正整数且x²＋xy＋y²＝2026，则x＋y的最大值为________。19.已知数列{aₙ}满足a₁＝2，aₙ₊₁＝2aₙ＋3，则a₂₀₂₆的个位数字为________。20.若正三棱柱的底面边长为4，高为6，则其表面最短路径从一侧底面顶点绕侧面到对侧顶点的长度为________。三、判断题，共10题，每题2分21.若p为质数，则p²＋2必为质数。22.对任意实数x，sin²x＋cos²x＝1恒成立。23.若a,b,c成等差数列，则a²,b²,c²也成等差数列。24.若函数f在闭区间[a,b]上连续，则f必在[a,b]上可导。25.任意两个复数z₁,z₂满足|z₁＋z₂|≤|z₁|＋|z₂|。26.若x>0，则eˣ>1＋x。27.若a,b为正实数，则√(ab)≤(a＋b)/2。28.若n为正整数，则n(n＋1)(n＋2)必为6的倍数。29.若向量a,b满足a·b＝0，则a与b必互相垂直。30.若椭圆离心率为1/2，则其长轴长是短轴长的√3倍。四、简答题，共4题，每题5分31.设正整数n满足n与n＋1的所有正约数个数之和为2026，求n。32.在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝100°，D为BC上一点且BD∶DC＝1∶2，求∠BAD的度数。33.设实数x,y满足x²＋y²－4x＋2y＋1＝0，求x＋y的最大值与最小值之差。34.已知数列{aₙ}满足a₁＝1，aₙ₊₁＝aₙ＋1/aₙ，求证：a₂₀₂₆>63。五、讨论题，共4题，每题5分35.讨论函数f(x)＝x⁴－4x³＋6x²－4x＋1在实数范围内的零点个数，并说明理由。36.设正整数k满足存在n使n²＋k与n²－k均为完全平方数，讨论k的最小值并给出构造。37.讨论是否存在正整数m使得1²＋2²＋…＋m²为完全立方数，给出结论并证明。38.讨论椭圆x²/a²＋y²/b²＝1（a>b>0）上任意一点P到两焦点距离之积的最大值，并指出取到条件。答案与解析一、单项选择题1.B2.B3.C4.D5.A6.C7.C8.C9.C10.B二、填空题11.√1412.913.101414.(a＋ab)/(1＋a)15.4√316.√1317.218.8819.720.2√52三、判断题21.×22.√23.×24.×25.√26.√27.√28.√29.√30.√四、简答题31.设d(n)表示n的正约数个数，则d(n)＋d(n＋1)＝2026。由于d(n)≤2√n，估算得n≈1000附近，经检验n＝1023满足d(1023)＝8，d(1024)＝11，和为19不符；继续检验n＝2024时d(2024)＝12，d(2025)＝15，和仍小；最终发现n＝1800时d(1800)＝36，d(1801)＝4，和为40仍不足；转用奇偶分析：2026为偶，故d(n)与d(n＋1)同奇偶，又n与n＋1互质，故必有一平方数。设n＝k²，则d(n)为奇，d(n＋1)亦奇，和为偶，满足。试k＝32得n＝1024，d(n)＝11，d(1025)＝6，和17；k＝45得n＝2025，d(n)＝15，d(2026)＝8，和23；k＝44得n＝1936，d(n)＝15，d(1937)＝4，和19；k＝43得n＝1849，d(n)＝3，d(1850)＝12，和15；k＝42得n＝1764，d(n)＝21，d(1765)＝4，和25；k＝41得n＝1681，d(n)＝3，d(1682)＝6，和9；k＝40得n＝1600，d(n)＝21，d(1601)＝2，和23；k＝39得n＝1521，d(n)＝9，d(1522)＝4，和13；k＝38得n＝1444，d(n)＝9，d(1445)＝4，和13；k＝37得n＝1369，d(n)＝3，d(1370)＝8，和11；k＝36得n＝1296，d(n)＝25，d(1297)＝2，和27；k＝35得n＝1225，d(n)＝9，d(1226)＝4，和13；k＝34得n＝1156，d(n)＝9，d(1157)＝4，和13；k＝33得n＝1089，d(n)＝9，d(1090)＝8，和17；k＝31得n＝961，d(n)＝3，d(962)＝8，和11；k＝30得n＝900，d(n)＝27，d(901)＝4，和31；k＝29得n＝841，d(n)＝3，d(842)＝4，和7；k＝28得n＝784，d(n)＝15，d(785)＝4，和19；k＝27得n＝729，d(n)＝7，d(730)＝8，和15；k＝26得n＝676，d(n)＝9，d(677)＝2，和11；k＝25得n＝625，d(n)＝5，d(626)＝4，和9；k＝24得n＝576，d(n)＝21，d(577)＝2，和23；k＝23得n＝529，d(n)＝3，d(530)＝8，和11；k＝22得n＝484，d(n)＝9，d(485)＝4，和13；k＝21得n＝441，d(n)＝9，d(442)＝8，和17；k＝20得n＝400，d(n)＝15，d(401)＝2，和17；k＝19得n＝361，d(n)＝3，d(362)＝4，和7；k＝18得n＝324，d(n)＝15，d(325)＝6，和21；k＝17得n＝289，d(n)＝3，d(290)＝8，和11；k＝16得n＝256，d(n)＝9，d(257)＝2，和11；k＝15得n＝225，d(n)＝9，d(226)＝4，和13；k＝14得n＝196，d(n)＝9，d(197)＝2，和11；k＝13得n＝169，d(n)＝3，d(170)＝8，和11；k＝12得n＝144，d(n)＝15，d(145)＝4，和19；k＝11得n＝121，d(n)＝3，d(122)＝4，和7；k＝10得n＝100，d(n)＝9，d(101)＝2，和11；k＝9得n＝81，d(n)＝5，d(82)＝4，和9；k＝8得n＝64，d(n)＝7，d(65)＝4，和11；k＝7得n＝49，d(n)＝3，d(50)＝6，和9；k＝6得n＝36，d(n)＝9，d(37)＝2，和11；k＝5得n＝25，d(n)＝3，d(26)＝4，和7；k＝4得n＝16，d(n)＝5，d(17)＝2，和7；k＝3得n＝9，d(n)＝3，d(10)＝4，和7；k＝2得n＝4，d(n)＝3，d(5)＝2，和5；k＝1得n＝1，d(n)＝1，d(2)＝2，和3。以上皆不和2026，故n非平方数，转令n＋1＝k²，同法试k＝45得n＋1＝2025，n＝2024，d(n)＝12，d(n＋1)＝15，和27；继续增大k，发现k＝677得n＋1＝458329，d(n＋1)＝3，d(n)需2023，远超；反向思考：2026为偶，且两数互质，故必有一数约数个数为奇，即该数为平方数。设n＝s²，则d(n)为奇，d(n＋1)需2026－奇＝奇，故n＋1亦为平方数，于是n与n＋1为相邻平方数，差为1，仅0与1满足，但n为正整数，无解；故必有一数为平方数，另一数非平方但约数个数奇，不可能；因此唯一可能是n与n＋1中恰有一平方数，另一数约数个数为偶，且和为2026。设n＝s²，则d(n)为奇，d(n＋1)＝2026－奇＝奇，矛盾；同理n＋1＝s²亦矛盾。故无正整数n满足，题目无解。32.由AB＝AC，∠A＝100°，得底角∠B＝∠C＝40°。设∠BAD＝θ，则∠CAD＝100°－θ。由角平分线定理推广，BD∶DC＝ABsinθ∶ACsin(100°－θ)＝sinθ∶sin(100°－θ)＝1∶2，故2sinθ＝sin(100°－θ)。展开得2sinθ＝sin100°cosθ－cos100°sinθ，移项得sinθ(2＋cos100°)＝sin100°cosθ，故tanθ＝sin100°/(2＋cos100°)。计算数值得θ≈20°，故∠BAD＝20°。33.方程化为(x－2)²＋(y＋1)²＝4，圆心(2,－1)，半径2。令x＋y＝t，直线与圆相切时t取极值。圆心到直线距离|2－1－t|/√2＝2，得|1－t|＝2√2，故t＝1±2√2，最大值与最小值之差为4√2。34.由递推得