高等数学实变函数基本性质与应用习题试题

高等数学实变函数基本性质与应用习题试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.下列函数中，在区间[0,1]上黎曼可积的是（）A.f(x)=sin(1/x)（x≠0），f(0)=0B.f(x)={1,x为有理数；0,x为无理数}C.f(x)=xsin(1/x)（x≠0），f(0)=0D.f(x)={1/x,x≠0}2.设E为R^3中的有界闭集，则下列说法正确的是（）A.E的边界可能不是闭集B.E的内部可能为空集C.E的勒贝格测度为0D.E的任意子集都是可测集3.若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上（）A.必有界B.必有零点C.必可积D.必可导4.下列函数中，在(0,1)上勒贝格可积的是（）A.f(x)=1/xB.f(x)=sin(1/x)C.f(x)=xln(x)D.f(x)=e^(-1/x)5.设μ为勒贝格测度，则下列等式成立的是（）A.μ((0,1)∪(1,2))=μ((0,2))B.μ((0,1)∩(1,2))=μ((0,2))C.μ((0,1)\(1,2))=μ((0,2))D.μ((0,1)∪(1,2))=2μ((0,2))6.若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上（）A.必有界B.必连续C.必可导D.必单调7.设E为R中的不可数无限集，则下列说法正确的是（）A.E的勒贝格测度为0B.E的勒贝格测度为∞C.E的勒贝格测度不存在D.E的勒贝格测度必为正8.下列函数中，在R上勒贝格可积的是（）A.f(x)=|x|B.f(x)=1/xC.f(x)=sin(x)D.f(x)=e^x9.设f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分与勒贝格积分的关系是（）A.必相等B.必不相等C.可能相等，可能不相等D.黎曼积分必大于勒贝格积分10.若f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上（）A.必黎曼可积B.必勒贝格可积C.必连续D.必可导二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分定义为______的极限。2.设E为R中的可数无限集，则E的勒贝格测度为______。3.若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上______。4.设μ为勒贝格测度，则μ((0,1)∩(1,2))=______。5.若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分与分割方式______。6.设E为R中的有界闭集，则E的勒贝格测度等于E的______的测度。7.若f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分______。8.设f(x)在[a,b]上勒贝格可积，则|f(x)|在[a,b]上______。9.若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分与反常积分______。10.设E为R中的开集，则E的勒贝格测度等于E的______的测度。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上必连续。（×）2.设E为R中的有界闭集，则E的勒贝格测度必为正。（×）3.若f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上必勒贝格可积。（√）4.设E为R中的可数无限集，则E的勒贝格测度为0。（√）5.若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上必有界。（√）6.设f(x)在[a,b]上勒贝格可积，则f(x)在[a,b]上必连续。（×）7.若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上的黎曼积分与勒贝格积分必相等。（√）8.设E为R中的开集，则E的勒贝格测度必为正。（×）9.若f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上必黎曼可积。（√）10.设E为R中的有界闭集，则E的边界必为空集。（×）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.简述黎曼可积的必要条件。答：若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上必有界。2.简述勒贝格测度的基本性质。答：（1）μ(∅)=0；（2）μ的单调性：若A⊆B，则μ(A)≤μ(B)；（3）μ的有限可加性：若A1,A2,...,An两两不交，则μ(∪Ai)=∑μ(Ai)；（4）μ的可数可加性：若A1,A2,...为两两不交的集合列，则μ(∪Ai)=∑μ(Ai)。3.简述黎曼积分与勒贝格积分的区别。答：（1）黎曼积分要求函数在区间上只有有限个间断点；（2）勒贝格积分对函数的要求更弱，允许函数有无限个间断点；（3）黎曼积分通过分割区间求和取极限；（4）勒贝格积分通过测度理论计算。4.简述单调函数的可积性。答：若f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上必黎曼可积且勒贝格可积。五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.设f(x)在[0,1]上定义如下：f(x)={1,x为有理数；0,x为无理数}。证明f(x)在[0,1]上勒贝格可积，但黎曼不可积。证明：（1）f(x)在[0,1]上勒贝格可积：因为f(x)在[0,1]上几乎处处取值为0，所以f(x)的勒贝格积分等于0，故f(x)在[0,1]上勒贝格可积。（2）f(x)在[0,1]上黎曼不可积：因为f(x)在[0,1]上处处不连续，所以f(x)在[0,1]上黎曼不可积。2.设E为R中的有界闭集，且E的勒贝格测度为5。若A⊆E，且A的勒贝格测度为3，求(A∖E)的勒贝格测度。解：因为A⊆E，所以A∖E=∅，故(A∖E)的勒贝格测度为0。3.设f(x)在[0,1]上定义如下：f(x)={x,x为有理数；2-x,x为无理数}。计算f(x)在[0,1]上的勒贝格积分。解：因为f(x)在[0,1]上几乎处处取值为x或2-x，所以f(x)的勒贝格积分为：∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]xdx+∫[0,1](2-x)dx=1/2+1/2=1。4.设E为R中的可数无限集，且E⊆[0,1]。证明E的勒贝格测度为0。证明：因为E为可数无限集，所以E可以表示为{x1,x2,x3,...}，且每个xi∈[0,1]。对每个xi，取εi=1/2^i，则εi→0（i→∞）。构造集合列Ei={xi}，则E=∪Ei。因为每个Ei的勒贝格测度为0，所以E的勒贝格测度为：μ(E)=μ(∪Ei)=∑μ(Ei)=∑0=0。【标准答案及解析】一、单选题1.C2.B3.A4.C5.A6.A7.A8.A9.A10.B解析：1.C：xsin(1/x)在[0,1]上有界且在0处连续，故黎曼可积。2.B：有界闭集的内部必非空。3.A：连续函数必有界。4.C：xln(x)在(0,1)上单调递减且绝对可积。5.A：μ((0,1)∪(1,2))=μ((0,1))+μ((1,2))=1+1=2，μ((0,2))=2。6.A：黎曼可积函数必有界。7.A：不可数无限集若为可测集，则测度为0。8.A：|x|在R上有界且绝对可积。9.A：黎曼可积函数必勒贝格可积，且积分值相等。10.B：单调函数必勒贝格可积。二、填空题1.达布和2.03.必有界4.05.无关6.关键点7.必存在8.必绝对可积9.必相等10.关键点三、判断题1.×：黎曼可积函数可以处处不连续。2.×：空集的测度为0。3.√：单调函数必勒贝格可积。4.√：可数无限集的测度为0。5.√：黎曼可积函数必有界。6.×：勒贝格可积函数可以处处不连续。7.√：黎曼可积函数必勒贝格可积。8.×：开集的测度可以为0（如(0,0)）。9.√：单调函数必黎曼可积。10.×：有界闭集的边界非空。四、简答题1.必要条件：若f(x)在[a,b]上黎曼可积，则f(x)在[a,b]上必有界。2.勒贝格测度的基本性质：（1）μ(∅)=0；（2）单调性：若A⊆B，则μ(A)≤μ(B)；（3）有限可加性：若A1,A2,...,An两两不交，则μ(∪Ai)=∑μ(Ai)；（4）可数可加性：若A1,A2,...为两两不交的集合列，则μ(∪Ai)=∑μ(Ai)。3.黎曼积分与勒贝格积分的区别：（1）黎曼积分要求函数在区间上只有有限个间断点；（2）勒贝格积分对函数的要求更弱，允许函数有无限个间断点；（3）黎曼积分通过分割区间求和取极限；（4）勒贝格积分通过测度理论计算。4.单调函数的可积性：若f(x)在[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上必黎曼可积且勒贝格可积。五、应用题1.证明f(x)在[0,1]上勒贝格可积，但黎曼不可积：（1）f(x)在[0,1]上勒贝格可积：因为f(x)在[0,1]上几乎处处取值为0，所以f(x)的勒贝格积分等于0，故f(x)在[0,1]上勒贝格可积。（2）f(x)在[0,1]上黎曼不可积：因为f(x)在[0,1]上处处不连续，所以f(x)在[0,1]上黎曼不可积。2.解：因为A⊆E，所以A∖E=∅，故(A∖E)的勒贝格测度为0。3.解：因为f(x)在[0,1]上几乎处处取值为x或2-x，所以f(x)的勒贝格积分