五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编 专题10 解三角形（解析版）

五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编专题10解三角形（解析版）说明：本汇编精选2020-2024年全国卷及各省市高考数学真题，按解三角形核心考点分类，每道真题配套详细解析、考点标注，重点突出正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，兼顾基础题型与中档难题，适配高考复习节奏，助力精准突破解三角形专题。核心考点梳理：1.正弦定理（asinA=bsinB=一、2024年高考数学真题（解三角形专题）真题1（2024·新课标Ⅰ卷·解答题15）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos⁡A=13，a=4考点：余弦定理、三角形面积公式、整体代换思想解析：由余弦定理得，a2已知a=4，cos⁡A=13又因为b+c=6，两边平方得：(b+c)2=将b2+c整理得：16=36−83bc，移项化简：8因为A∈(0,π)，所以sin⁡A=由三角形面积公式S=12bc答案：5真题2（2024·上海卷·填空题）海面上有一艘货船和两座灯塔，货船位于灯塔A的北偏东45∘方向，距离灯塔A为22海里，位于灯塔B的北偏西30∘考点：解三角形的实际应用、正弦定理/余弦定理、方位角问题解析：根据题意，画出方位角示意图，设货船为点C，则△ABC中，AC=22，BC=2方法一：用余弦定理求解。由余弦定理AB先计算cos⁡代入数据：AB化简：AB重新化简：2×22×2=82故AB正确分析：货船C在A北偏东45°，在B北偏西30°，则A、B在C的南侧，∠ACB=180°-45°-30°=105°，重新计算：cos⁡AB故AB=8+43=方法二：用正弦定理求解。先求∠BAC，BCsin⁡∠BAC=答案：6二、2023年高考数学真题（解三角形专题）真题1（2023·全国甲卷·理科·填空题16）已知△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，则AD=______。考点：余弦定理、角平分线定理、三角形面积公式解析：第一步，在△ABC中，由余弦定理求AC。设AC=x，∠BAC=60°，AB=2，BC=6。由余弦定理BC(6)2整理为一元二次方程：x2−2x−2=0，解得因为边长为正，故AC=1+3（舍去负根1−第二步，由角平分线定理求BD:DC。AD平分∠BAC，根据角平分线定理，BDDC第三步，利用三角形面积法求AD。△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积。△ABC的面积S1设AD=m，∠BAD=∠CAD=30°，则△ABD面积S2△ACD面积S3由S1=S两边同乘4，化简：2(3+3)=2m+m(1+3解得m=2答案：2真题2（2023·全国乙卷·文科·解答题17）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin⁡A（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若c=3a，求cos⁡C考点：三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、等差数列的判定解析：（1）证明：由三角恒等变换公式，cos⁡2B=1−2sin⁡Asin⁡B+因为△ABC中，sin⁡B≠0（B∈(0,π)），两边同时除以sin⁡B，得：由正弦定理asinA=bsinB=代入上式：a2R+c（2）解：由（1）知a+c=2b，又已知c=3a，则b=a+c由余弦定理，cos⁡C=a2+bcos⁡C=a2+b2−c2答案：（1）证明见解析；（2）−1三、2022年高考数学真题（解三角形专题）真题1（2022·全国甲卷·理科·解答题17）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA（1）若B=π6，求A；（2）求考点：三角恒等变换、诱导公式、正弦定理、三角函数的值域解析：（1）先化简已知等式。由二倍角公式，sin⁡2B=2sin⁡BcosA1+sin交叉相乘得：cos⁡Acos⁡B=由两角和的余弦公式，cos⁡(A+B)=sin⁡B。因为△ABC中，A+B=π−C，故cos已知B=π6，则−cos因为C∈(0,π)，所以C=2π3。又A+B+C=π，故（2）由（1）知cos⁡(A+B)=sin⁡B，即−cos⁡C=sin⁡B。因为cos⁡C∈(−1,1)，所以−sin由射影定理（或余弦定理变形），acos由正弦定理，c=2Rsin⁡C，而−cos⁡C=sin⁡B，即cos⁡C=−所以c=2Rcos⁡B，又b=2Rsin⁡B，无法直接确定R，换一种思路：acos⁡B+bcos⁡A=c，而展开得sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B=cos⁡B，结合（1）中cos⁡Acos⁡B=sin因为A∈(0,π)，故cos⁡A=0，A=π2，此时B+C=则acos⁡B+bcos⁡A=acos⁡B（因为cos⁡A=0），由正弦定理a=2Rsin⁡A=2R，故acos⁡B=2Rcos⁡B答案：（1）π6；（2）真题2（2022·全国乙卷·文科·填空题15）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=4，cos⁡C=13考点：余弦定理的直接应用解析：由余弦定理c2=a2+b2c2=3答案：17四、2021年高考数学真题（解三角形专题）真题1（2021·全国甲卷·理科·解答题18）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin⁡A−bsin⁡B=4csin考点：正弦定理、余弦定理、边角互化解析：第一步，由正弦定理化角为边。已知asin⁡A−bsin⁡B=4csin⁡C，由正弦定理asin代入等式得：a×a2R−b×b2R=4c×c第二步，由余弦定理建立关系式。已知cos⁡A=−14将a2=b化简右边：b2故−14=−3c2b，交叉相乘得：−2b=−12c答案：6真题2（2021·全国乙卷·文科·解答题17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos⁡B=1517考点：同角三角函数基本关系、三角形面积公式、余弦定理解析：第一步，求sin⁡B。因为B∈(0,π)，cos⁡B=15第二步，由面积公式求ac。△ABC的面积S=12ac12ac×817=2第三步，由余弦定理求b。由余弦定理b2=a已知a+c=6，ac=172，b2故b=4答案：2五、2020年高考数学真题（解三角形专题）真题1（2020·全国Ⅰ卷·理科·解答题17）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin⁡A−sin⁡B=bsin考点：正弦定理、余弦定理、边角互化解析：第一步，由正弦定理化角为边。已知asin⁡A−sin⁡B=bsin⁡B−csin⁡C，整理得asin正确已知条件：asin⁡A−bsin⁡B=csin整理得：a2=b2+已知b=3，c=1，代入a2=3答案：7真题2（2020·全国Ⅱ卷·文科·解答题17）△ABC中，cos⁡C=23，AC=4，BC=3考点：余弦定理、同角三角函数基本关系解析：第一步，求AB的长度。设AB=c，AC=b=4，BC=a=3，由余弦定理c2代入已知条件：c2=3第二步，求cos⁡B。由余弦定理，cos代入a=3，c=3，b=4：cos⁡B=答案：1六、专题总结1.高频考点：解三角形专题核心考查正弦定理、余弦定理的应用，结合三角形面积公式、三角恒等变换、内角和定理，题型以解答题（15-17题，基础中档题）、填空题为主，偶尔结合实际应用（方位角、测量问题）考查。2.易错点提醒：①方位角的夹角判断（注意“北偏东”“北偏西”的夹角计算，避免角度混淆）；②三角恒等变换公式的准确应用（二倍角、两角和差公式，注意符号）；③边角互化的灵活应用（正弦定理化角为边、余弦定理化边为角，根据题干条件选择合适方法）；④三角形边长、角度的