高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册 选修一+复习讲义+直线的方程

直线的方程一、知识梳理1、直线的倾斜角、斜率与两直线的位置关系(1)直线的倾斜角：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.直线倾斜角的范围是.(2)斜率公式：①定义式：直线的倾斜角为，则斜率.②两点式：、在直线上，且，则的斜率.注：当时公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直.(3)两条直线平行的判定①对于两条不重合的直线、，若其斜率分别为、，则有.②当直线、不重合且斜率都不存在时，.(4)两条直线垂直的判定①如果两条直线、的斜率存在，设为、，则有.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为时，.(5)直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率不存在倾斜角锐角钝角在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数的单调性，如图所示：当时，由增大到()时，由增大并趋向于正无穷大；当时，由()增大到()时，由负无穷大增大并趋近于.（解决此类问题，常采用数形结合思想.）例1-1若三点共线，则实数m=_____________.例1-2．若直线经过，两点（），那么l的倾斜角的取值范围是().A．B．C． D．例1-3已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数()。A、或B、或C、或D、或例1-4．若直线过点，且与以、为端点的线段恒相交，则直线的斜率的范围是().A、B、C、D、2、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围及使用情况一般式()平面直角坐标系内所有直线；写答案用公式；点斜式过一点，斜率与轴不垂直的直线；给一点及斜率；与圆或圆锥曲线有关；斜截式纵截距，斜率与轴不垂直的直线；给与轴的交点及斜率；两点式过两点，与轴、轴均不垂直的直线；给两点；截距式横截距，纵截距不含垂直于坐标轴和过原点的直线；给与、轴的交点；例2-1．求满足下列条件的直线方程(1)斜率为，经过点；(2)斜率为，在轴上的截距是；(3)经过两点和；(4)经过两点和.例2-2已知，则过点和线段的中点的直线方程为A．B．C． D．例2-3．已知直线过点，且在轴上的截距为轴上的截距的两倍，则直线的方程是（）A． B．C．或 D．或例2-4△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边的垂直平分线DE的方程．例2-5已知直线恒过定点．（1）若直线经过点且与直线垂直，求的方程；（2）若直线经过点且坐标原点到的距离等于2，求的方程．3、直线的交点、距离(1)两条直线的交点(2)三种距离类型条件距离公式两点间距离点、之间的距离点到直线距离点到直线：的距离两平行直线间距离两平行线：与：间距离例3-1．已知直线与直线平行，则的值是().A、B、或C、或D、变式：直线与互相垂直，则实数的值是A． B．C．或 D．以上都不对例3-2．若、分别为直线与上任意一点，则的最小值为().A、B、C、D、例3-3．设直线的方程为．（1）若在两坐标轴上的截距相等，求的值；（2）若不经过第三象限，求的取值范围．例3-3．已知，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点坐标为().A、或B、或C、或D、或易错提醒：(1)点到直线的距离，到直线的距离；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中、的系数化为相等.4、对称问题(1)点关于点对称：若点及点关于点对称，则由中点坐标公式得，进而求解.(2)直线关于点对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程.(3)点关于直线对称：若点与点关于直线：对称，则由得关于对称的坐标(，).(4)直线关于直线的对称：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解.②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解.例4-1．点关于点的对称点为().A、B、C、D、例4-2．点关于直线对称的点的坐标为.例4-3．直线关于直线对称的直线方程是().A、B、C、D、例4-4．已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为.方法技巧：解决两类对称问题的关键点：解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.例4-5．已知三个顶点的坐标分别为，，，线段的垂直平分线为.（1）求直线的方程；（2）点在直线上运动，当最小时，求此时点的坐标.二、实战精训【AUTONUM\*Arabic】取任意实数时，直线恒经过定点，则点的坐标为_________.【AUTONUM\*Arabic】过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．【AUTONUM\*Arabic】已知点M是直线l：y＝eq\r(3)x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________________________．【AUTONUM\*Arabic】已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝eq\f(1,e)”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【AUTONUM\*Arabic】直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是()A．[－2,2]B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C．[－2,0)∪(0,2]D．(－∞，＋∞)【AUTONUM\*Arabic】已知点，，动点P在y轴上，当取最小值时，点P的坐标为______.【AUTONUM\*Arabic】当为_________时，三条直线不能组成三角形？【AUTONUM\*Arabic】已知直线与两坐标轴分别交于两点，如果△的面积为，那么满足要求的直线的条数是()．A．1 B．2C．3 D．4【AUTONUM\*Arabic】⑴点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2⑵直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．【AUTONUM\*Arabic】若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.【AUTONUM\*Arabic】在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为()A．2B．1C.eq\f(8,3)D.eq\f(4,3)【AUTONUM\*Arabic】已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．【AUTONUM\*Arabic】(2022·苏州模拟)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论不正确的是()A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是eq\r(2)【AUTONUM\*Arabic】已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．【AUTONUM\*Arabic】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定