高三二轮高效复习讲义数学专题突破函数与导数拓展培优2极值点偏移

拓展培优2极值点偏移▶对应学生用书P21【考情分析】极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题的方法有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋.【知识拓展】已知f(x)图象顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足x1+x22＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示；若x1+x22≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，(2021·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x(1－lnx). (1)讨论f(x)的单调性；(2)设a，b为两个不相等的正数，且blna－alnb＝a－b，证明：2＜1a＋1b＜解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)，又f'(x)＝1－lnx－1＝－lnx，当x∈(0，1)时，f'(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，f'(x)＜0，故f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).(2)证明：因为blna－alnb＝a－b，故b(lna＋1)＝a(lnb＋1)，即lna+1a故f1a＝f1设1a＝x1，1b＝x2，由(1)可知不妨设0＜x1＜1，x2＞因为x∈(0，e)时，f(x)＝x(1－lnx)＞0，x∈(e，＋∞)时，f(x)＝x(1－lnx)＜0，故1＜x2＜e.先证x1＋x2＞2，若x2≥2，x1＋x2＞2必成立.若x2＜2，要证x1＋x2＞2，即证x1＞2－x2，而0＜2－x2＜1，故即证f(x1)＞f(2－x2)，即证f(x2)＞f(2－x2)，其中1＜x2＜2.设g(x)＝f(x)－f(2－x)，1＜x＜2，则g'(x)＝[f(x)－f(2－x)]'＝－lnx－ln(2－x)＝－ln[x·(2－x)]，因为1＜x＜2，故0＜x(2－x)＜1，故－ln[x(2－x)]＞0，所以g'(x)＞0，故g(x)在(1，2)为增函数，所以g(x)＞g(1)＝0，故f(x)＞f(2－x)，即f(x2)＞f(2－x2)成立，所以x1＋x2＞2成立，综上，x1＋x2＞2成立.设x2＝tx1，则t＞1，结合lna+1a＝lnb+1b，1a＝x1，1b＝x2，可得x1(1－lnx1)＝x2(即1－lnx1＝t(1－lnt－lnx1)，故lnx1＝t-要证x1＋x2＜e，即证(t＋1)x1＜e，即证ln(t＋1)＋lnx1＜1，即证ln(t＋1)＋t-1-tlntt-1＜1，即证(t－1)ln(t＋1令S(t)＝(t－1)ln(t＋1)－tlnt，t＞1，则S'(t)＝ln(t＋1)＋t+1t+1－1－lnt＝ln(1＋1先证明一个不等式ln(x＋1)≤x.设u(x)＝ln(x＋1)－x，则u'(x)＝1x+1－1＝当－1＜x＜0时，u'(x)＞0；当x＞0时，u'(x)＜0，故u(x)在(－1，0)上为增函数，在(0，＋∞)上为减函数，故u(x)max＝u(0)＝0，故ln(x＋1)≤x成立.由上述不等式可得当t＞1时，ln1+1t≤1t故S'(t)＜0恒成立，故S(t)在(1，＋∞)上为减函数，故S(t)＜S(1)＝0，故(t－1)ln(t＋1)－tlnt＜0成立，即x1＋x2＜e成立.综上所述，2＜1a＋1b＜拓展1对称化构造已知函数f(x)＝x－lnx－a.(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1.解：(1)由题意知函数f(x)的定义域为0，解f'(x)＝x-1x＞0得x＞1，解f'(x)＝x-1x＜0得所以函数f(x)在0，1上单调递减，在1所以f(x)min＝f1＝1－a，又f(x)≥0，所以1－a≥0，解得a≤1，所以a的取值范围为－∞(2)不妨设x1＜x2，则由(1)知0＜x1＜1＜x2，0＜1x2＜构造函数g(x)＝f(x)－f1x＝x－1x－2lnx，则g'x＝1＋1x2－2x所以函数g(x)在0，＋所以当x＞1时，g(x)＞g1＝0，即当x＞1时，f(x)＞f1x所以fx1＝fx2＞f又f(x)在0，1所以0＜x1＜1x2＜1，即x1x2＜[规律方法]对称化构造主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；若证x1x2＞x02，则令F(x)＝f(x)－f(x(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性.(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系.(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求.对点练1.已知函数f(x)＝lnx＋2ax，a∈R.若函数f(x)有两个不相等的零点x1，x(1)求a的取值范围；(2)证明：x1＋x2＞4a.解：(1)由题意可知：f(x)＝lnx＋2axx>0⇒f'(x若a≤0，则f'(x)＞0恒成立，即f(x)单调递增，不存在两个不等零点，故a＞0，显然当x＞2a时，f'(x)＞0，当0＜x＜2a时，f'(x)＜0，则f(x)在0，2a上单调递减，在(2a，＋∞所以若要符合题意，需f2a＜0⇒ln2a＋1＜0⇒a∈0此时有4a2＜2a，且f4a2＝2ln2a＋令gt＝2lnt＋1tt∈0，1而1e＜12⇒t＜12⇒g't＜0，即gt在0，1e上单调递减，故gt＞g1e所以f4a2＞0，又f1＝2a＞故在区间4a2，2a和2a，1上函数综上，a∈0，(2)结合(1)，不妨令0＜x1＜2a＜x2，构造函数g(x)＝f(x)－f4a则g'x＝x-2ax2＋2a-x4a-x2＝－8ax-2a2x2即gx1＝fx1－f4a－x1＞0⇒fx1因为0＜x1＜2a＜x2，所以4a－x1＞2a，由(1)知f(x)在2a，所以由fx2＞f4a－x1⇒x2＞4故x1＋x2＞4a.拓展2比(差)值换元已知函数f(x)＝2x＋ax2＋xlnx，a∈R，若f(x)有两个零点x1，x2，且x2＞3x1，证明：x1x2＞9e4证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则2x1＋ax12＋x1lnx1＝0，2x2＋ax22＋x2lnx得－a＝2+lnx1∵x2＞3x1，令x2＝tx1t＞3，则2+lnx1故lnx1＝2+lnt-2tt则lnx2＝lntx1＝lnt＋lnx1＝lnt＋lntt-1－∴lnx1x2＝lnx1＋lnx2＝lntt-1－2＋t令ht＝t+1lntt则h't＝-2ln令gt＝－2lnt＋t－1t则g't＝－2t＋1＋1t2＝t2-∴gt在3，＋∞上单调递增，∴gt＞g3＝－2ln3＋3－13＝23∴h't＝gt(t-1)2＞0，∴ht＞h3＝4ln32－4＝ln9∴lnx1x2＞ln9e4，故x1[规律方法]比(差)值换元就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的.一般用t表示两个极值点之比(差)，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题.对点练2.若x1，x2是函数f(x)＝ex－axx>0的两个零点，且x1＜x2，求证：x1＋x2＞2且x1x2＜1证明：方法一(比值代换)：因为x＞0，由题意结合ex＝axx＞0可知，a＞0，x＝lna＋ln所以x1－lnx1＝x2－lnx2＝lna.令t＝x2x1，则t＞1，x2＝tx1，代入上式得x1＝lntt-对于x1＋x2＞2，其等价于lntt-1＋tlntt-1＞2，构造函数gt＝lnt－2t则g't＝1t－2t+1-2所以函数gt在1，＋∞上单调递增，所以gt＞ln1－2×1-11+1＝0，即x对于x1x2＜1，其等价于tlnt2t-12＜1，即tlntt-1＜1令t＝b，则b＞1，构造函数hb＝lnb2－b＋1b则h'b＝2b－1－1b2＝－bhb在1，＋所以hb＜ln12－1＋11＝0，即x1x2＜1得证方法二(差值代换)：由ex＝axx＞0可得a＝ex设函数y＝exx，则y'＝当x∈0，1，y'＜0，则函数在0当x∈1，＋∞，y'＞0，则函数在所以0＜x1＜1＜x2，则有ex1＝ax1，ex2＝ax2，则a＝ex2-ex1x2对于x1＋x2＞2，即ex1+ex2a＞2，即ex令x2－x1＝t，则t＞0，则只需证tet+1－2et令gt＝tet+1－2et－1t>0，则g't＝t－1et＋1，g则g't在0，＋∞上单调递增，则g't＞0－1e0则gt在0，＋∞上单调递增，则gt＞0×e0+1－2×e0－1＝0，即x对于x1x2＜1，其等价于ex1ex2a2＜1，即ex左边分子、分母同时除以e2x1，得ex2-x1ex2-x1-12则只需证etet-12＜1t2，即te令ht＝tet2－et＋1t>0，则h't＝et2(－et令mt＝－et2＋t2＋1，则m't＝1所以mt在0，＋∞上单调递减，故mt＝－et2＋t2＋1＜－e02＋02＋1所以ht在0，＋∞上单调递减，所以ht＜0×e02－e0＋1＝0，即x1x[课下巩固检测练(十一)]极值点偏移(每题10分)1.已知函数f(x)＝lnx－ax有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：ax1＋x解：(1)f(x)的定义域为0，＋∞，f'(x)＝1当a≤0时，f'(x)＞0，f(x)在0，＋∞上单调递增，f(x)至多一个零点，不符合题意当a＞0时，令f'(x)＞0得0＜x＜1a，所以f(x)在0，当x＞1a，f'(x)＜0，此时f(x)在1a所以f(x)的极大值也是最大值f1a＝ln1a－1＞0，∴0＜a＜又x＜1时，f(x)＜0；x趋向于＋∞时，f(x)趋向于－∞.所以f(x)有两个零点，a的取值范围为0，(2)不妨设x1＜x2，由fx1＝fx2，则0＜x1＜1a＜构造函数F(x)＝f(x)－f2a－x(0＜x＜F'x＝f'(x)＋f'2a－x＝1x－a＋12a-x因为0＜x＜1a，所以2－ax＞0，即F'x＞0，所以F(x)在0，又F1a＝0，所以F(x)＝f(x)－f2a－x＜F则f(x)＜f2a－x，故fx1又fx1＝fx2，所以fx2＜而x2，2a－x1∈1a，＋∞，f(x所以x2＞2a－x1，即x1＋x2＞2a，所以ax12.已知函数hx＝lnx和g(x)＝ax，若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，使得hx1＝gx1，hx2＝gx2，证明：x1x2证明：方法一(利用参数a作为媒介，换元后构造新函数)：因为x1≠x2，不妨设x1＞x2，因为lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，所以lnx1＋lnx2＝ax1＋x2，lnx1－lnx2＝ax1－欲证x1x2＞e2，即证lnx1＋lnx2＞2.因为lnx1＋lnx2＝ax1＋x2，所以即证所以即证lnx1-lnx2x令t＝x1x2，则t＞1，x1x2＞e2等价于lnt－2构造函数gt＝lnt－2t-1t+1因为g't＝t-12tt+12＞0，故gt＞ln