广西邕衡教育名校联盟2025-2026学年高二上学期12月联合测试数学（人教版）

广西邕衡教育·名校联盟高二上学期12月联合测试数学试题（人教版）一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．已知平面内两个定点之间的距离是6，动点到这两个定点的距离之和是8，那么动点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线3．数列满足，则（

）A． B． C． D．4．如图，在正三棱锥中，侧棱边长为，则与底面所成角为（

）A． B． C． D．5．已知双曲线的左右焦点分别是是该双曲线上的一点，且，若的面积为，则双曲线的焦距等于（

）A．2 B．3 C．4 D．56．圆与圆的位置关系是（

）A．外离 B．内切 C．外切 D．相交7．已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．8．已知公比为负数的等比数列前项和为，且满足，若恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．数列与数列2026，2025，2024不是同一个数列.B．数列的通项公式为，则110是该数列的项.C．已知是2和8的等差中项，则.D．已知等比数列满足，则.10．如图所示，正方体的棱长为为棱（包括端点）上的动点，在的运动过程中，下列说法正确的是（

）A．三棱锥的体积始终为定值.B．平面截正方体的截面不可能为等腰梯形.C．恒有大于.D．的最小值为.11．抛物线的弦与该弦端点处的两条切线所围成的三角形常被称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为，线段为抛物线的弦，为抛物线的“阿基米德三角形”.设线段的中点为，下列说法正确的是（

）A．若点，则的最小值为3.B．点与点的纵坐标相等.C．若点在直线上，则直线过点.D．若直线过焦点，且其倾斜角为锐角，则的最小值为.三、填空题12．已知椭圆的长轴长为6，且离心率为，则椭圆的标准方程为.13．已知数列的通项公式为，则.14．已知A，B是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线分别交椭圆于另外的点．若直线MN过椭圆右焦点F，且，则椭圆的离心率为．四、解答题15．已知圆，点.(1)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程；(2)若经过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程.16．在中，角所对应的边分别为，且.(1)求角；(2)若为锐角三角形，求的取值范围.17．如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边的中点，与交于点与交于点.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.(1)证明：平面；(2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.18．已知正项数列的前项和为满足，数列满足且.(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和为，证明：；(3)若对任意正整数恒成立，求的取值范围.19．已知是椭圆的右焦点，椭圆的离心率，斜率不为0的直线经过点且与椭圆交于两点.当直线与轴垂直时，弦的长为.(1)求椭圆的方程；(2)设分别为椭圆的左､右顶点，设直线的斜率分别为，求；(3)轴上是否存在一个定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案1．C【详解】化直线为，所以直线的斜率，令直线的倾斜角为，则，，.故选：C.2．B【详解】因为，是两个定点，，而，所以由椭圆的定义得，动点P的轨迹是椭圆.故选：B.3．B【详解】由题意，，又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，所以，.故选：B.4．A【详解】如图，因为在正三棱锥中，所以点在平面的投影为正的重心，延长交于点，则为的中点，且，易知平面，因为平面，所以，所以直线与平面的所成角为，由勾股定理可得，，故，在中，，则，即侧棱与底面所成角为.故选：A.5．C【详解】由可得，，由余弦定理得，，即，所以，，则双曲线的焦距等于4.故选：C.6．D【详解】把圆的方程化成标准方程，得，则圆的圆心是，半径.把圆的方程化成标准方程，得，则圆的圆心是，半径.圆与圆的圆心距为.圆与圆的两半径之和，两半径之差，因为，即，所以圆与圆相交.故选：D7．B【详解】由题意知，一条渐近线方程为：，即.设为到的距离，则，，在中，在中，所以，化简得：，由于，所以，即，所以渐近线方程为.故选：B.8．A【详解】由题可设等比数列的公比为，则，因为，，所以或，因，故.所以，当为偶数时，关于单调递增，此时当为奇数时，关于单调递减，此时故最小为最大为2.设函数，因为当时，单调递增，且最小为最大为2，所以的最小值为，最大值为.故若恒成立，则的最小值为.故选：A.9．ABC【详解】由数列的定义可知A正确；B：令，解得，所以110是该数列的项，故B正确；C：由等差中项的定义可得，故C正确；D：，，故D错误.故选：ABC.10．AD【详解】

因为面面，且交线为，棱与平行，所以点M到面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，而面积也为定值，所以三棱锥的体积始终为定值，故A对；如图，当M点位于棱中点时，平面截正方体的截面为等腰梯形，故B错；当M运动到时，三角形为等边三角形，故，故C错；展开图中，由三边关系，当三点共线时等号成立，所以最小值为，故D对.故选：AD11．BCD【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线为，由抛物线定义可知，则当且仅当､､三点共线时取等号，故A错误；对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0），联立抛物线方程，化简并整理得，，又，所以方程可变形为，而，所以，所以过点的切线方程为，结合，可得过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，联立，结合，解得，而线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确；对于C，可设直线，联立，化简并整理得，显然，直线方程为过点，故C正确；对于D，依题意直线的倾斜角为锐角，设，设直线方程为，联立，易得由题意知，，，，，则所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故D正确.故选：BCD.12．【详解】长轴长为6，，，离心率为，，，，，，椭圆的方程为.故答案为：.13．【详解】因为，所以，当时，，当时，，则.故答案为：14．/0.5【详解】由题，，设.则，又点P在双曲线上，则.，又点M在椭圆上，则.注意到，则.即直线MB与直线NB关于x轴对称，又椭圆为轴对称图形，则M，N两点关于x轴对称，故.设椭圆右焦点坐标为，其中，因直线MN过椭圆右焦点F，则，将其代入椭圆方程可得.则，又，则.则.故答案为：.15．(1)(2)或【详解】（1）设点，由点是的中点，得，所以，故点，因为在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，所以，化简得，故点的轨迹方程是.（2）因为直线截圆所得弦长为，所以直线到圆心的距离为，①若直线的斜率不存在，直线的方程为，此时到的距离为，故直线符合题意；②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，则直线，即为，综上所述，直线的方程为或.16．(1)(2)【详解】（1）在中，因为，所以.因为，所以由正弦定理得.则，化简得，因为，所以，所以上式可化为，即.又因为，所以；（2）由（1）可得，即，所以，由正弦定理可得.因为为锐角三角形，所以，即，解得，所以，所以，即的取值范围为.17．(1)证明见解析(2)存在，为上靠近的三等分点【详解】（1）证明：折叠前，四边形是菱形，所以，..由于分别是边的中点，所以，故，.折叠过程中，平面.所以平面.（2）当平面平面时，由平面平面，平面，，所以平面，又平面，故，建立如下图空间直角坐标系，则.所以，设则.，，设平面的法向量为，则，取，则，而，设直线与平面的夹角为，则，解得，所以为上靠近的三等分点，满足题设要求.18．(1)证明见解析，(2)证明见解析(3).【详解】（1）由，得故是公比为2的等比数列，因，令得，又得.故，的首项为，故，所以.（2）因为故（3）因，故，作差得移项得.由于数