山东省济宁市度高三上学期1月期末质量检测数学试题

学年度第一学期高三质量检测数学试题2025.01注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解二次不等式化简集合，利用对数函数性质化简集合，从而利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为，，所以.故选：D.2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用复数除法求出即可得对应点的位置.详解】由，得，所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.3.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性分析得，当时，的值域，从而得到当时，的值域要包含，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】因为函数的值域为，而当时，易知在上单调递增，所以，即在上的值域为，所以当时，在上的值域要包含，所以的图象开口向下，又对称轴为，则，解得，所以实数的取值范围为.故选：C.4.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线交的右支于点，且，则的离心率等于（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】设，由双曲线的定义，向量垂直，斜率的意义列方程组求解即可；详解】设，因为过且斜率为的直线交的右支于点，且，所以，所以，解得，所以的离心率.故选：D.5.已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则（）A.2025 B. C.4050 D.【答案】A【解析】【分析】通过条件可得是周期为4的函数，由为奇函数得，通过给赋值可计算出，利用函数的周期性可得结果.【详解】因为fx+2+fx=0所以，所以的周期为4，因为为奇函数，所以②令，由②得，所以，①中令，得，所以，令，得，所以，综上，，，，所以，由函数的周期性得，.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题求出特殊值的函数值及周期后，关键在于发现为常数，据此4个相邻项和为一组，利用周期即可得解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.6.已知，记数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据递推式及，求得，即可判断A；分为奇数、为偶数，求出通项公式判断B，C；利用分组求和，求出，判断D．【详解】解：因为，即，所以，，解得，故A正确；由此可得，，，，……所以当为奇数时，为偶数，为奇数，所以，，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，所以，故B错误；当为偶数时，为奇数，为偶数，则，，所以，所以数列是等比数列，首项为，公比为2，所以，所以，所以，故C正确；对于D，==，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.7.已知点在抛物线：上，则点到抛物线的准线的距离是______.【答案】【解析】【分析】借助点坐标可得，即可得准线方程，即可得解.【详解】由题意可得，即，故：，则抛物线的准线方程为，故点到抛物线的准线的距离为.故答案为：.8已知，则______.【答案】0875【解析】【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可.【详解】由题意可得，所以，所以，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.9.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求证：；（2）若，，求的面积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦公式化简即得.（2）由（1）的结论，利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式计算.【小问1详解】在中，由余弦定理得，即，整理得，由正弦定理得，整理得，所以.【小问2详解】由（1）知，，由余弦定理得，即，解得，，所以的面积为.10.如图，在正三棱柱中，为棱的中点，.（1）证明：平面；（2）若直线到平面的距离等于，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，借助三角形中位线性质，利用线面平行的判定推理即得.（2）方法一:设，利用等体积计算求得,过点作，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式计算可得的余弦值.方法二:过点作，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，求得平面的法向量为，利用点到平面的距离，计算求得,求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式计算可得的余弦值.【小问1详解】证明：连接交于点，则为的中点，连接∵为棱的中点∴又平面，平面，所以平面【小问2详解】（方法一）∵为棱的中点，∴直线到平面的距离即为点到平面的距离，∴点到平面的距离等于∴设，则，，，∴，∴∴过点作，则平面，如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，所以，，，设平面的法向量为则，即令，则，，所以平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即令，则，，所以平面的一个法向量，所以所以平面与平面夹角的余弦值为（2）（方法二）过点作，则平面，如图所示，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，所以，，，，所以，，，，，设平面的法向量为，则，即令，则，，所以平面的一个法向量，所以点到平面的距离，∴∴平面的一个法向量设平面法向量为，则，即令，则，，所以平面的一个法向量，所以，所以，平面与平面夹角的余弦值为11.在平面直角坐标系中，对于给定的点集，，若中的每个点在中都存在点使得两点间的距离最小，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.已知椭圆：的离心率为，其短轴上的点的集合记为，椭圆上的点的集合记为，且.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相切，且与圆：交于，两点，线段上的点的集合记为，圆上的点的集合记为.①若点为圆上的一个动点，当的面积最大时，求；②求的值.【答案】（1）（2）①；②8【解析】【分析】(1)根据条件，可得，再利用离心率即可求出，，进而求得椭圆的方程；(2)①对于直线的斜率存在与不存在进行分情况讨论，分别求出两种情况下的面积的最大值，从而求得；②在①的基础上数形结合得出和，从而求和.【小问1详解】由题目条件，可得，又因为离心率为，所以，所以，，所以椭圆的方程为.【小问2详解】设圆心到直线的距离为.①当直线的斜率存在时，设的方程为，联立消去得，由直线与椭圆相切，得，整理得，则，，，，即，则的面积为，设，，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；因此当时，取得最大值432，此时的最大值为，当直线的斜率不存在时，由(1)可知，直线的方程为，联立，可求得，，由于，所以的面积最大时，.对于线段上任意点，连接并延长与圆交于点，则是圆上与最近的点，当为线段的中点时，取得最大值2，所以.②对于线段上任意点，连接并延长