一次函数与三角形面积问题-初中-历史-教学设计

一次函数与三角形面积问题殷昊晴西安国际港务区铁一中陆港初级中学（一）教学内容分析本节课为北师大版八年级数学上册第四章一次函数的内容，在学习完一次函数的内容，调动一次函数的有关知识解决求三角形面积的问题。学生在之前的探究课上已经学习过割补法求面积，铅垂法求面积，对双轨平行线法求面积也有一定的了解，因此本节课主要是带领学生运用所学，巩固练习。（二）学情分析通过之前课程的学习，学生已经掌握了一次函数的有关内容，并且在探究课的学习中已经初步学习过求三角形面积的相关方法，但是这一部分难度稍大，学生理解有一定的困难，在探究后仍需进行练习加强巩固。对于本班学生来说，大部分学生已经能够掌握求面积的方法，但是对于不同的问题不能灵活使用。（三）教学目标1、进一步复习巩固一次函数的图象与性质相关核心知识，熟练表示平行于坐标轴的线段长度，掌握在直角坐标系中利用一次函数的解析式解决与一次函数相关的面积问题，会利用面积求点的坐标或直线的解析式。2、复习一次函数相关的面积问题的解法，并通过习题练习，进一步提升一次函数的应用的能力，体会“数形结合”，“转化”的思想，体会一次函数的应用价值。3、通过自主完成、组内互讲、方法总结的过程，提升问题研究能力、合作学习能力、反思总结能力。（四）重难点重点：掌握并灵活应用求三角形面积的方法难点：对于不同题目选取合适的求面积方法（五）教学流程一、方法回顾1、直接用三角形面积公式求解2、割补法求解3、利用铅垂法求解4、等底转化法求解引例：如图已知△ABC，请在下图中画出与△ABC面积相等的△ABD，这样的三角形有多少个？它们有什么共同特点？△ABD有无数个，它们都在过点C以及点C关于AB的对称点C’且平行于AB的直线上二、小组互讲※以小组为单位，对讲组内错题※按照思维方向、相关知识、相关方法三个方面讲解※时间：5分钟三、必修题目：1、在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点．直线与交于点．若点坐标为．（1）求的坐标和的值；（2）连接AD，求△ACD的面积；（3）求四边形AEDO的面积；【思维方向】：一次函数求三角形面积问题（利用三角形面积公式法和割补法）【相关知识】：待定系数法求一次函数解析式，三角形面积公式，平面直角坐标系中两点之间距离公式，平面直角坐标系中特殊位置点的坐标，一次函数上点的坐标【相关方法】：（1）将坐标代入一次函数解析式即可求解；（2）直接用三角形面积公式求解；（3）割补法求解，方法一（补）：用△AEC的面积减去△CDO的面积，或用△ABO的面积减去△BDE的面积。方法二（割）：连接OE，四边形AEDO的面积即为△AEO的面积与△EDO的面积之和，两个三角形面积可由三角形面积公式直接求得。采用割补法时要尽可能使割或补后的三角形中有一条边在坐标轴上或与坐标轴平行。【规范呈现】：解：（1）当时，，即点，将点的坐标代入得：，解得：；（2）∵点是与轴交点，所以点，由（1）知，直线，点C是与轴交点，所以点，点D是与y轴交点，所以点，.（3）如图，过E作x轴的垂线，交x轴于点F，2、如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接PA、PB．（1）求直线l1的解析式以及点A的坐标；（2）设P(2,m)，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当点P的纵坐标为2时，在直线l1上是否存在一点使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【思维方向】：一次函数求三角形面积问题（利用铅垂法）【相关方法】：利用铅垂法求解。三角形ABP的铅垂高为P、D两点的纵坐标之差，水平宽为A、B两点的横坐标之差，故。三角形AEQ的铅垂高为E、D两点的纵坐标之差，水平宽为A、Q两点的横坐标之差，故。利用铅垂法时要让所做铅垂线与定直线产生交点，从而交点坐标较易表示出来。【规范呈现】：解：（1）∵直线l1：y＝kx+1交x轴于点B（4，0），∴0＝4k+1．∴k＝．∴直线l1：y＝x+1；（2）由得：．∴D（2，）．∵P（2，m），∴PD＝|m﹣|．∴S＝×|4﹣0|•PD＝×|m﹣|×4＝|2m﹣1|．当m>时，S＝2m-1；当m<时，S＝1-2m；（3）存在。当点P的纵坐标为2时，m=2，由（2）知，S△ABP=3；∵，∴S△AEQ=6.点在直线l1上，可设Q（a,a+1）；；∴，∴，∴或；∴Q（24,-5）或Q（-24,7）3、如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于点A（a，﹣a），与y轴交于点B（0，b），其中a，b满足．（1）求直线l2的解析式．（2）在平面直角坐标系中第二象限有一点P（m，5），使得S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．【思维方向】：一次函数求三角形面积问题（利用等底转化法）【相关方法】：利用平行线间距离处处相等的原理进行等底转化，将一般三角形转化为一边平行于坐标轴的三角形，再用公式法求解。分别过点B以及B关于x轴的对称点B’做AO所在直线的平行线，则P在两条平行线与y=5直线的交点处。【规范呈现】：解：（1）由得：a＝﹣3，b＝4，即A（﹣3，3），B（0，4），设l2的解析式为y＝kx+b，将A，B点坐标代入函数解析式，得，解得，∴l2的解析式为y＝x+4；（2）如图1，作PB∥AO，P到AO的距离等于B到AO的距离，S△AOP＝S△AOB．∵PB∥AO，PB过B点（0，4），∴PB的解析式为y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4①，又P在直线y＝5②上，联立①②得：﹣x+4＝5或﹣x﹣4＝5，解得x＝﹣1或﹣9，∴P点坐标为（﹣1，5）或（﹣9，5）；四、选修题目：1、已知直线y=−x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另已知直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,0)，且把△AOB分成两部分。（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1:5，求k和b的值。【相关方法】：①求出△AOB的面积，依据比例关系求出分成两部分中三角形部分的面积；②根据面积求出对应交点坐标；③待定系数法求解一次函数解析式。【规范呈现】：解：（1）由题意知：直线必过点，是的中点，直线一定经过点，，如图（1）所示，把，的坐标代入可得：，解得，；（2），被分成的两部分面积比为，那么直线与轴或交点的纵坐标就应该是：，①当与直线相交时，交点为，如图（2）所示，当时，直线与的交点的横坐标就应该是，，即交点的坐标为，，又根据点的坐标为，可得：，②当与轴相交时，交点为，如图（3）所示，交点的坐标就应该是，又有点的坐标，可得：，，因此：，或，．五、课堂总结：与一次函数有关问题解题技巧：①将题中所给的一次函数解析式求出；②尽可能求出图中所给点的坐标，未知坐标的点由一次函数解析式设出；③结合图象，数形结合完成问题。六、课后作业：1、如图，直线PA：与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线CD：与x轴、y轴分别交于C、D两点，与直线AB交于点P．（1）求四