2023届上海延安中学高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将正确答案涂在答题卡上.）

7

1.已知函数/（x）=x+广万，且/（。+2）+/3）—2<0,则（）

A.〃+〃<0B.〃+/?+2<0

C.a-b^l>0D.a+b>0

2.如图是函数/（x）=Asin®x十夕）（A>O,0>O,闸在一个周期内的图象，则其解析式是（）

5汽x

6

A./(x)=3sinB./(x)=3

C./(x)=3sinD./(x)=3sin

3.棱长分别为1、6、2的长方体的8个顶点都在球。的表面上，则球。的体积为

872

------7iB.3近71

3

D.4岳

4.若“人>"是的充分不必要条件，则（）

\.a<b

C.a<hD.a>h

5.刘徽（约公元225年一295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割

之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣％这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆

术的核心思想是将一个圆的内接正〃边形等分成〃个等腰三角形（如图所示），当〃变得很大时，这〃个等腰三角形的

面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可以得到sin1。的近似值为（）

兀冗

A.—B.——

90180

71

D.—

60

6.在线段［0,3］上任取一点，则此点坐标大于1的概率是（）

32

A.一B.-

43

1

C.1D.-

23

7.函数/。）=，+尤一2（e=2.71828…）的零点所在的一个区间是。

A.(-2,-l)B.(—1,0)

C.(0,i)D.(l,2)

8.在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“㊉”如下：当。2人时，々㊉8=。；当。时，a㊉b=b?,已知

函数/(工)=(1㊉“X—2(2㊉x)(xw[—2,2]),则满足+3M的实数的取值范围是

A.B.上2

L2)12」

-121「I2~

C."D.-1,二

l_23jL3」

9.圆C:(X-2)2+V=4与直线工一)一4二。相交所得弦长为O

A.lB.0

C.2D.2夜

10.如图，已知A,B,C共线，且向量配=4瓦，则（）

A

B

O

A.OB=-OA+-OCB.OB=-OA+-OC

5555

—3—1———1—3——

C.OB=-OA^-OCD.OB=-OA+-OC

4444

7

11.若a第三象限角，且sina+cosa=-不，贝ijsina—8sa=()

12.(2>y3cos20?-tan70?)coslO?

4I~T

C.1D.VJ

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

—-1x4-11,^<1

13.已知函数/（x）=j2:,若函数y=〃x）—l恰有4个不同的零点，则实数。的取值范围是_______.

（2x-a）2,x>1

14.如图，在四面体4—5CO中，己知棱AC的长为正，其余各棱长都为L则二面角A—C。一5的平面角的余弦

值为.

15.己知偶函数/⑶是区间曲一）上直■调递增，则满足了（2x-l）v/（3）的人取值集合是

121

16.已知正实数ay满足4/+）,2=1一2不，，则当x=________时，一+一+一的最小值是__________

xyxy

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17.已知函数/（工）=依2-（〃+］）x+b（。，beR）

(1)若关于X的不等式/(x)<0的解集为(一1,3),求不等式法2—依+4<0的解集；

(2)若8=1,6/>0,求关于x的不等式/(力>0的解集

18.已知函数/(x)=Geos2x-2sinjrcosA,.

<3，

(1)求f0)的最小正周期以及对称轴方程；

(2)设函数g(x)=fx--^-1-fx~~~，求g(x)在0,g上的值域.

\12yz\'2JL_2_

19.对正整数n,记L={L2,3…，nbP产{乎|m£In,kein)

Vk

(1)求集合P7中元素的个数；

(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.求n的最大值，使Pn能分成两个不

相交的稀疏集的并

20.已知函数/5)=•!=为奇函数.

(1)求实数。的值；

(2)求/(log?5)的值.

21.已知平面向量4=(3,4),Z?=(9,.r),c=(4,y),且://力，ale-

(1)求方和c：

(2)若加=21—B，n=a+c>求向量而与向量G的夹角的大小.

22.有两直线ax-2y-2a+4=0和2x—(1-a?)y—2—2a?=0,当a在区间(0,2)内变化时，求直线与两坐标轴围

成四边形面积的最小值

参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.)

1、B

【解析】构造函数g(x)=/(x)-l,判断g(力的单调性和奇偶性，由此化简不等式“。+2)+/。)-2<0,即得.

,、2

【详解】•・•函数/(3)=工+不一，

3+1

71_qra*_1

令g(x)=/(x)-i，贝

yx-i]»3X(3'_[)

•••g。)的定义域为R，^(-x)=-x+--=-x+-——=-x+—-二一g(x),

IIXIIA,

所以函数g(x)为奇函数，

2

又g(x)=x++1,

3'+l3V+13'+l

当」增大时,g(x)增大，即g(x)在R上递增，

由/(。+2)+/(8)—2<0,可得/(〃+2)—1+/(人)一1<。，即g(i+2)+g(8)<。，

・・・g(a+2)<-g(b)=g(-/?),

•••6/+2<-b,即a+/?+2<0.

故选：B.

2、B

【解析】通过函数的图象可得到：A=3,T=兀,。=?=2,贝!l/(x)=3sin(2/+0),然后再利用点(专,3)在图

象上求解.，

/*>

【详解】由函数的图象可知：A=3,T=i,co=—=2

7tf

所以/(x)=3sin(2x+°),

又点(5,3)在图象上，

所以3sin2x^+0)=3,

即sin；泉+(p=1,

所以—cp=2k九+一,

62

即8=2k/r+—,

3

因为M<~»

所以Y

所以/（x）=3sin（2x+g

故选：B

【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

3、A

【解析】球的直径为长方体的体对角线，又体对角线的长度为2近，故体积为士乃x（及）二逑不，选A.

33

4、B

【解析】转化是的充分不必要条件为a}[x\x>b]f分析即得解

【详解】由题意，“工是小>〃，的充分不必要条件

故{x|x>a]{x\x>b]

故

故选：B

5、B

【解析】将一个圆的内接正360边形等分成360个等腰三角形；根据题意，可知360个等腰三角形的面积和近似等于

圆的面积，从而可求sin1。的近似值.

【详解】将一个圆的内接正360边形等分成360个等腰三角形，设圆的半径为小

则BGOx-x/x/xsinlOa九/,即i80sinl°k；r,所以sinl°a/一.

2180

故选：B.

6、B

【解析】设“所取点坐标大于1”为事件A,则满足A的区间为[1,3]

根据几何概率的计算公式可得，P（A）=—=-

故选B.

点睛：⑴当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解

⑵利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标

系中表示所需要的区域

(3)几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性.基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占

据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率

7、C

【解析】将各区间的端点值代入计算并结合零点存在性定理判断即可.

,,

［详解］由/(-2)="2_2_2="2_4<0,/(-l)=e--l-2=e--3<0

/(0)=e°-2=-I<0,/(1)=^+1-2=^-1>0,/(2)=e2+2-2=^2>0

所以/(0)-/(0<0,根据零点存在性定理可知函数在该区间存在零点.

故选：C

8、C

【解析】当-时，/(A)=1<v-2x2=x-4；

当1<x42时，f(x)=x2-X-2X2=X3-4；

/、x-4,-2<x<1

所以〃加入4』K2

易知，/G)=x-4在单调递增，/(x)=d-4在(1,2］单调递增,

且一2。<1时，f(x)皿=-3,lvxW2时,/Wmin=-3,

则/(月在［-2,2］上单调递增,

-2<+1<2

i2

所以〃"7+1)</(3加)得：l-2<3m<2,解得/</〃<一,故选C

???+1<3/77

x—4—2vxv1

点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到/(》)=<...一"，通过单调性分析，得到/(X)在[—2,2]

A4,1VX£/

-2<w+1<2

上单调递增，解不等式/(〃z+l)W/(3，〃)，要符合定义域和单调性的双重要求，贝上-2<3m<2,解得答案

m+\<3m

9、D

【解析】利用垂径定理可求弦长.

【详解】HlC:(x-2)2+y2=4的圆心坐标为(2坐),半径为2,

24

圆心到直线不一-4=0的距离为d=l"0~l=V2,

x/1+l

故弦长为：2J4-2=2应，

故选：D.

10、D

【解析】由已知得AQ=3AC，再利用向量的线性可得选项.

4

【详解】因为恁=4而，A,B,。三点共线，所以A月二,AC，

4

OB^OA+AB=OA-^--AC=OA^--(OC-OA}=OA+-OC--OA=-OA-i--OC

44、74444

—1—•3——

所以O8=—OA+2OC.

44

故选：D.

11、D

【解析】由已知结合sin?a+cos?a=1求出sina,cosa即可得出.

【详解】因为。第三象限角，所以sina<(),coscr<(),

因为sina+cosa=——,且sin2a+cos2a=1»

3.4

sina=——sina=——

解得I5或<5

43

coscr=——cosa=——

5

则sincr-coscr=±i.

故选：D.

12、A

【解析】由题意可得：

^2A/3COS20-tan70jcos10

=2>/3cos200-sin7Q>|cosl(r

、cos70>

=20cos20-8s2。］©os10

、sin20,

Gsh140ros200

sin20

Gsin4。-cos2°cos］。。

2sin10cos10

x/3sin(30+10j-cos(30-10)

2sin10°

(।n、(八.

6-cos1()+—sin1()一——cos1()+-sinlO

2222

=\、____________________

2sin1()

\_

~2'

本题选择A选项.

二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）

13、［3,6）

【解析】本题首先可根据函数解析式得出函数y=/（x）-l在区间（-8,1）和［1,+8）上均有两个零点，然后根据在区

间（，孙1）上有两个零点得出2<。<6,最后根据函数1在区间［1,内）上有两个零点解得々N3,即可得

出结果.

【详解】当x<l时，令〃力-1=0,得1一k+1|-1=0,即,+1《一1,该方程至多两个根；

当元之1时，令〃“一1=0,得（2工一/一1=0,该方程至多两个根，

因为函数y=/（x）—1恰有4个不同的零点，

所以函数），=/（x）—1在区间（―8,1）和［1,+8）上均有两个零点，

函数y=/（x）-l在区间（一8,1）上有两个零点，

即直线），=g-1与函数），=k+1|在区间（-8,1）上有两个交点，

当XV—1时，y=|X4-1|=-x—1>0•

当—时，y=|x+l|=x+I,此时函数的值域为［0,2）,

则0<幺一1<2,解得2<"6,

2

若函数）=/（同一1在区间［1,+8）上也有两个零点，

令（2X一4）2-1=（）,解得％=1，&=

则解得423,

2

综上所述，实数〃的取值范围是［3,6),

故答案为：［3,6).

【点睛】本题考查根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，考查函数最值

的应用，考查推理能力与计算能力，考查分类讨论思想，是难题.

如图，取CO中点E,AC中点歹，连接BE,EF,FB,

由题可知，MCD边长均为1,则4E_LCO,

AACD中，AC=6,AD=CD=1,则AOJLCD,得尸石_L8,

所以二面角A-CD-B的平面角即/BFE,

在中，BE=-EF=-,FB=—

2y22t

则NBFE=9U，

所以cos/BFE="=叵.

BE3

点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解.利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边

的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角NBFE,再求出对应三角形的三边，利用余弦定理

求解(本题中刚好为直角三角形).

15、{x|-l<x<2}

【解析】因为/（X）为偶函数，所以/（2xT）v〃3）等价于川2X-1|）</（3）,

又是区间［0,y）上单调递增，所以|2x-l|v3.

解得一1<x<2.

答案为：*|-I<xv2}.

点睛：本题属于对函数单调性应用的考查，若函数/（“在区间上单调递增，则占/£。,且/（不）>/（天）时，有

%>当，事实上，若%«£，则/（%）</（%），这与/（与）>/（毛）矛盾，类似地，若“X）在区间上单调递减，

则当百,工2时有*<9；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大

小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.

16、②.6

2

【解析】利用基本不等式可知勾士!,当且仅当"x=N=!”时取等号.而2+2+」_运用基本不等式后，结合二次

222xyxy

函数的性质可知恰在x===1时取得最小值，由此得解.

22

【详解】解：由题意可知：4d+y2=i+2不后2府丁=4冷，，即个w；,当且仅当=5=；”时取等号，

乙乙L

—>21^+—=—+2E=f^+5/2"!-2>（V2+V2）2-2=6,当且仅当“l=上=，”时取

xyxyyxyxyxy\xyJ\）22

等号.

故答案为：,6.

2

【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.

三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）

17、(1)卜8，-g）u（L+8）

（2）当〃>1时，不等式的解集为8-,+8）；当4=1时，不等式的解集为卜«工1}；当Ovavl时，不等式

ka

（1

的解集为（-81）U-,+8

\Cl

【解析】（D根据题意可得。>0,且-1,3是方程〃戈2-（〃+1口+8=（）的两个实数根，利用韦达定理得到方程组,

求出。，b,进一步可得不等式法2一,a+4<0等价于_3%2-工+4<0,即3f+x—4>0,最后求解不等式即可;

(2)当》=0时，时，不等式等价于(x-L)(x-l)>0,从而分类讨论a=\fOva<l二种情况即可求

a

出不等式所对应的解集

【小问1详解】

解：••・”的不等式/。)<。的解集为(-1,3),

且—1,3是方程0?一(。+1比+/?=0的两个实数根，

.•.(—1)+3="1,(-1)x3=-,解得〃=1,b=3

aa

*,,不等式bx~—cix+4<0等价于—3%2—x+4v0，即3x~4-x-4>0，

4

故(x-l)(3x+4)>0,解得--或x>l,

3

所以该不等式的解集为1-8,-g)u(l，+8);

【小问2详解】

解：当人=0时，不等式/(x)>o等价于ar?-(a+l)x+l>0,即(*―l)(x—1)>0,

又。>0,所以不等式等价于(工一」)(/-1)>0,

a

当L=i,即。=1时，不等式为(工一1)2〉0,解得xwl；

a

当,<1,即时，解不等式得工<1或入〉1；

aa

当,>1,即Ovavl时，解不等式得/<1或

aa

综上，当4>1时，不等式的解集为卜8,£|U(l，+8),

当。=1时，不等式的解集为

当0<〃<1时，不等式的解集为(-8,l)U(_，+8)

18、(1)最小正同期为"，对称轴方程为x=W+^(ZeZ)

212

_2_

【解析】(1)利用三角函数的恒等变换公式将/*)二685(21-3]-25亩185工化为只含有一个三角函数形式，

\3)

即可求得结果;

(2)将g(幻=/(工-。)-/(工-卷)展开化简，然后采用整体处理的方法，求得答案.

【小问1详解】

f(x)=>^cos^2x-yl-2sinxcosx

=G—cos2x+—sin2x-sin2x

\22/

=——cos2x+—sin2x

22

=sin2x+—,

I3j

所以/(x)的最小正同期为V二4.

2

令2x+£=左4+C(AeZ),得对称轴方程为X=—+—(A-eZ).

32212

【小问2详解】

由题意可知g(x)=sin2x++cos2x=sin+~cos=s*n2x+y,

因为XW0,y,所以+,

故一等Wsin(2x+()W1,所以一■|wg(x)《6,

故g(x)在0弓上的值域为-牙6.

19、(1)46(2)n的最大值为14

【解析】(1)对于集合P7,有n=7.当k=4时，P„={^|mGIn,kGL}中有3个数(1,2,3)与

In={b2,3…，n}中的数重复，由此求得

集合P7中元素的个数为7x7-3=46

(2)先证当n>15时,Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集.否则，设A和B为两个不相交的稀疏集,使AUB=P„2I„

不妨设1WA,则由于1+3=22,・・・3CA,即3cB.同理可得，6£A,10GB.又推出15WA,但1+15=42,

这与A为稀疏集相矛盾

再证PM满足要求.当k=l时，Pr=｛岌|meii4,kGIu｝=li4,可以分成2个稀疏集的并集

事实上，只要取Ak｛1,2,4,6,9,11,13｝,Bi=｛3,5,7,8,10,12,14),则Ai和少都稀疏集，KAIUBI=II4

当k=4时,集合｛关ImWLa｝中，除整数外,剩下的数组成集合《，4-I，…，考｝,可以分为下列3个稀疏集的并:

159IL_371工

A2={—?>?了BD2七f，/攵}

当k=9归，集合｛关ImWI.｝中，除整数外，剩下的数组成集合｛寺|51314,

333

可以分为下列3个稀疏集的并:

,,14510邕2V8llJJ)

A飞,?甘3'3B3={3333f3

集合C=｛关11n

最后,eiu,keii4,且krl,4,9｝中的数的分母都是无理数,

它与Pn中的任何其他数之和都不是整数,

因此，4A=A!UA2UA3UC,B=BIUB2UB3,则A和B是不相交的稀疏集，且AUB二P|4

综上可得，n的最大值为14

3

20、(1)。=1(2)-

2

【解析】

(1)由奇函数定义求。；

(2)代入后结合对数恒等式计算.

【详解】(1)因为函数/(x)为奇函数,

所以/a)+/(r)=沁2一、+。2*+。1(1—6Z),2V+_1i=-

-----=-----1------=------------------------=0恒成立,

2—12-12r-l1-2V2r-l

可得a=I.

2)+1

(2)由(1)可得f(x)=

2V-1

*2$.I5+163

所以/(嗟25)=尹“=------=—=—

5-142

【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查对数恒等式，属于基础题.

r