2023年上海市大学市北高考数学五模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笃或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题般”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.己知抛物线C：直线产小苫）仅＞0）与。分别用交于点儿M与。的准线相交于点N,

若MM二|MN|,贝必=（）

2.陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视

图，则该陀螺的表面积为（）

A.(7+2⑹兀

C.00+4返)汽

3.已知椭圆;+与=1（。＞方＞0）的左、右焦点分别为耳、居，过石的直线交椭圆于A，8两点，交y轴于点股,

a-b-

若A、M是线段AE的三等分点，则椭圆的离心率为（）

4.设集合A={-l,0J2},8=卜卜2/+5工+3>()},则AD8=

A.{0,1,2}B.{0,1}

C.{1,2}D.{-1,0,1}

5.若直线2x+4），+m=0经过抛物线>，=21的焦点.则机=（

1

B.——C.2

2

6.若两个非零向量入B满足8+4仅田二（）,且忖+闸=2忖叫，则£与加夹角的余弦值为（)

31

C.一D.±-

5队±122

Av

7.(2-l)(2-2y的展开式中8’的项的系数为（）

A.120B.80C.60D.40

8.方程2（x—1）sin乃工+1=0在区间［-2,4］内的所有解之和等于（）

A.4C.8D.10

9.在棱长为。的正方体中，E、尸、M分别是48、AD.A4的中点，又P、。分别在线段4出、

A仅上，且A「=AQ=m（0<"?<。），设平面MErn平面MPQ=/,则下列结论中不成立的是（）

A.|〃平面BDD冉|B.IVMC

C.当〃7=2时，平面MPQJLMMD.当〃［变化时，直线，的位置不变

2

10.已知命题〃：“关于％的方程/-4汇+。=0有实根”，若力为真命题的充分不必要条件为a>3〃z+1,则实数，〃

的取值范围是（）

A.［1,4-x）B.（1,+?）C.（fl）D.（-oo,l］

11.在平面直角坐标系xOv中，已知4，比,是圆/+）,2=〃2上两个动点，且满足西•殂二一段（〃£4），设A”,8.

到直线6y+〃（〃+l）=0的距离之和的最大值为勺，若数列」

的前〃项和5“<tn恒成立，则实数m的取值

范围是（）

3323

B.—,4-00C.一,+8—.4-00

432

12.函数g(x)=Asin(s+0)(A>O,O<0<2;r)的部分图象如图所示，已知g(())=g(系卜,函数

的图象可由y=g(x)图象向右平移g个单位长度而得到，则函数、f(x)的解析式为()

A./(x)=2sin2xB./(x)=2sin^2x+y

C./(x)=—2sinxD.f(.V)=2sin2x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在数列伍」中，已知q=l,%・为+1=2"(〃wN*),则数列｛4｝的的前2〃+1项和为S2“M=.

14.等差数列｛〃“｝(公差不为0),其中％,即，4成等比数列，则这个等比数列的公比为___.

15.如图所示，在△AB。中，AB=AC=2fAD=DC，DE=2EB»AE的延长线交5c边于点尸，若A尸改^一],

2,.2卜力2+]

16.若双曲线Cr二一上二1(〃>0.〃>0)的顶点到渐近线的距离为三,则一一的最小值______.

a~从2瓜1

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=l+cosr,

17.(12分)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为J.(/为参数)，以坐标原点。为极点，X轴

y=l+sinz

的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为，直线/交曲线。于A,〃两点，Q为A8中

点.

(1)求曲线c的直角坐标方程和点p的轨迹G的极坐标方程：

(2)若|A8|.|OP|=6，求。的值.

八x=3+tcosa

18.(12分)在直角坐标系.r0y中，直线/的参数方程为｛6.(/为参数).以坐标原点为极点，x轴正半

y=2+fsina

轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为夕=2cos8.

(1)求直线/和圆C的普通方程；

I1

(2)己知直线/上一点M(3,2),若直线/与圆C交于不同两点A,3,求画+口间的取值范围.

19.(12分)在平面四边形AC3。(图①)中，AABC与均为直角三角形且有公共斜边人设48=2,

N347)=30°,NB4C=45c,将A/WC沿AS折起，构成如图②所示的三棱锥C'一/W。，且使C'。=

(1)求证：平面CA8J•平面D48;

(2)求二面角A—CO-8的余弦值.

20.(12分)已知公差不为零的等差数列｛%｝的前〃项和为S“，%=4,牝是生与的等比中项.

(1)求S,,；

(2)设数列也“｝满足4=4，b,H年,求数列也,｝的通项公式.

21.(12分)在直角坐标系中，已知圆M:(x—©2+()，—1)2=/+],以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标

系，已知直线夕sin(0+?)=&平分圆M的周长.

(1)求圆M的半径和圆M的极坐标方程：

(2)过原点作两条互相垂直的直线4,g其中(与圆M交于O,A两点，1；与圆M交于O,B两点,求△0A8面积

的最大值.

22.（10分）如图，在四棱锥。一ABC。中,平面4BCD平面/MO.AD//BC.AR=RC=AP=-ADfZADP-30^

2

NBA。=90°，E是/7）的中点.

(1)证明：PD1PB;

(2)设AO=2,点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为半，求二面角A3-P的余弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据抛物线的定义以及三角形的中位线，斜率的定义表示即可求得答案.

【详解】

显然直线y=>0)过抛物线的焦点唱,0)

如图，过心w作准线的垂直，垂足分别为aD,过M作AC的垂线，垂足为E

根据抛物线的定义可知MD=M尸，AC=AFt又4必=MN,所以“为AN的中点，所以Af。为三角形N4C的中位线,

故MD=CE=EA=-AC

2

设M尸=，，贝忆心。AF=AC=2t,所以/1M=3。在直角三角形AEM中，ME=AM2-AE2=^t2-t2=272/

Hi、1，,,.._ME2y/2t.rr

所以k=tanZ.MAE=----=--------=2V2

AEt

故选：c

【点睛】

本题考查求抛物线的焦点弦的斜率，常见于利用抛物线的定义构建关系，属于中档题.

2.C

【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，

【详解】

由题意可知几何体的直观图如图：

上部是底面半径为1,高为3的圆柱，下部是底面半径为2,高为2的圆锥,

几何体的表面积为：4^+-x4^-x2\/2+2^x3=(10+4\/2)^,

2

故选：C

【点睛】

本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.

3.D

【解析】

根据题意，求得AM,8的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.

【详解】

由已知可知，M点为AR中点，A为BM中点,

故可得为+%人=2x”=0,故可得x.=c；

代入椭圆方程可得;+《=1,解得)，=士2，不妨取以=工，

a~b~aa

<,2>

故可得4点的坐标为C—,

Ia)

(h2\(62、

则M0»—,易知8点坐标-2c,一丁;，

I24I2a]

将4点坐标代入椭圆方程得/=5/,所以离心率为正，

5

故选：D.

【点睛】

本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得A民M点的坐标，属中档题.

4.A

【解析】

解出集合B,利用交集的定义可求得集合AC18.

【详解】

因为3=卜卜2.12+53+3>0}=卜疝2-5*-3<0}=7-5<:\<3»,又A={-1,0,1,2},所以AcB={0,1,2}.

故选：A.

【点睛】

本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.

5.B

【解析】

计算抛物线的交点为[J，(),代入计算得到答案.

【详解】

1(I)I

)，=2/可化为d=5)，，焦点坐标为(0?1，故〃2=-5.

故选：B.

【点睛】

本题考查了抛物线的焦点，属于简单题.

6.A

【解析】

rr

设平面向量2与万的夹角为e,由已知条件得出“二1|,在等式忖+q=2/一同两边平方，利用平面向量数量积的运

算律可求得cos0的值，即为所求.

【详解】

设平面向量I与否的夹角为凡•.•R+B）•伍-5）=7-片=同2-用=0,可得口=忖，

在等式忖-4二2卜-q两边平方得7+2d.B+片=4/_87B+4心化简得cos。=白

故选：A.

【点睛】

本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.

7.A

【解析】

化简得至IJ（2、-1）（2—2'丫=2、•（2—2l）5-（2-2'）',再利用二项式定理展开得到答案.

【详解】

（2r-I）（2-2v）5=2v-（2-2X）5-（2-2、）'

展开式中81的项为2'C；2'（一2'y-C；22（一2、）'=120x8二

故选：A

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.

8.C

【解析】

画出函数），=5访兀丫和■■二的图像，y=sinnx和），=一；^■■二■均关于点（1,0）中心对称，计算得到答案.

Z（X—1）Z（X—1）

【详解】

2（x-l）sin^x+l=0,验证知x=l不成立，故sin乃■二一1

2（1）

画出函数V=sin心和），=~-的图像,

2（x-l）

易知：y=sin心和），=-永匕均关于点（1,0）中心对称，图像共有8个交点,

故所有解之和等于4x2=8.

本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点（1,0）中心对称是解题的关键.

9.C

【解析】

根据线面平行与垂直的判定与性质逐个分析即可.

【详解】

因为4P=4。=〃?,所以「。//42，因为£、尸分别是从以4。的中点,所以即//8。,所以「。//曰7,因为面加后产0

面MPQ=/，所以PQ〃痔〃/.选项A、D显然成立；

因为BD//EF〃/,BD上平面ACG%，所以11平面ACC./A,.因为MCu平面ACC.A，所以/_LMC,所以B项成

立；

1

易知AC}1平面MEF,A。平面MP。,而直线4G与4。不垂直，所以C项不成立.

故选：C

【点睛】

本题考查直线与平面的位置关系.属于中档题.

10.B

【解析】

命题p：a<4,即为〃>4,又为真命题的充分不必要条件为。>3阳+1,故3〃?+1>4=>m>1

11.B

【解析】

由于4,纥到直线4+6)，+〃(〃+1)=0的距离和等于4，小中点到此直线距离的二倍，所以只需求4,优中点到此

宜线距离的最大值即可。再得到4,纥中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和儿,乩中点到此直线

距离的最大值的关系可以求出见。再通过裂项的方法求的前〃项和，即可通过不等式来求解机的取值范围.

【详解】

由可•西=一上，得〃•〃“54％0纥=一£,.・./4。纥=120。.设线段48〃的中点。“，则|oc“|=g,...G

22〜

在圆Y+y2=?上，A〃B“到直线为+，§)，+〃(〃+1)=0的距离之和等于点。”到该直线的距离的两倍，点C”到直

线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆12+),2=?的圆心(0,0)到直线X+6),+〃(〃+1)=0

的距离为而可二二+n~\2-111<11A

a-2--------+—=〃~+2〃，---=-----------=——―--------

n2

"22ann+2/121〃〃+2,

11I)3

+------------

2n+1〃+24

m>—.

4

故选：B

【点睛】

本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题.

12.A

【解析】

rr»0

由图根据三角函数图像的对称性可得彳=；-2><9=£，利用周期公式可得0,再根据图像过p0,(0,73),即

2662I。/

可求出0，A,再利用三角函数的平移变换即可求解.

【详解】

,，—―,T54_TC7T

由图像可知二二二—x—=—,即/二不，

2662

?77

所以丁二J,解得口=2,

co

Asin[2x—+*J=0,

所以g+0=女花(攵eZ),由0＜夕＜2不，

所以8或?，

又g⑼=6

所以Asin*=\/i,(/4＞0),

所以夕=三，A=2,

即g(x)=2sin(2x+半｝

因为函数y=/(x)的图象由)，=g(工)图象向右平移1个单位长度而得到，

所以丁=/(x)=2sin[2(x-][+^=2sin2.r.

故选：A

【点睛】

本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换，需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则，属

于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2,,+2-3

【解析】

由已知数列递推式可得数列[an]的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列，求其通项公式，得到邑”,

再由先讨=51+应用求解•

【详解】

解：由4=La”・见+]=2"(〃wN"),

得<*q=2"T(〃..2),

...4=2(〃..2),

an-l

则数列｛&｝的所有奇数项与偶数项分别构成以2为公比的等比数列.

2一,〃为奇数

n

22,〃为偶数

•••S2n=(q+/+•••++(%+/+…

=(1+2+2?+...+2"')+(2+2。+...+2")

I_2〃

=3(1+2+22+…+2"T)=3«------=3・2”-3・

1-2

，邑*=%+%向=3・2”-3+2”=22-3.

故答案为：2皿-3.

【点睛】

本题考查数列递推式，考查等差数列与等比数列的通项公式，训练了数列的分组求和，属于中档题.

14.4

【解析】

根据等差数列关系，用首项和公差表示出必6,解出首项和公差的关系，即可得解.

【详解】

设等差数列｛6｝的公差为〃，

由题意得：a2=^106»贝Ij(q+d)2=q(q+5d)整理得d=3%,%=q+d=4%,所以&=4

a

故答案为：4

【点睛】

此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.

22

15.

9

【解析】

11—•4(■1■—•—.A2

过点。做。G||A/,可得所=一4尸，BF=-BC,4尸=一八8+-4。由人尸8。=-£可得(：05/胡。=一，可

655553

mmmra54Ui®11Ui10皿皿

得AE-AC=-(-4B+-AC)-AC,代入可得答案.

655

【详解】

解：如图，过点r＞做。G||A",

空="=」,故。尸,可得：

6=，4EF=-AFt

AFAC226

—BF-一BE」,生=四」可得BP=UC,

同理:

FGED2GCCDI5

AF=AB+BF=AB+-BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

5555

由标gC=-t^(^^+-ACY(AC-AB)=-AC1--AB-¥-ABAC=--,

5555555

可得：,X4-±X4+2X2X2COSNBAC=-±,可得：coszlBAC=—,

55553

______5________s4_1______?______1____222122

AEAC=-AFAC=-(-AI3+-AC)AC=-AI3AC+-AC=-x2x2x-+-x4=—

6655353369

22

故答案为：y.

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，由题意作出OGIIA/是解题的关键.

16.2

【解析】

根据双曲线的方程求出其中一条渐近线y=2―顶点（&o）,再利用点到直线的距离公式可得由

/?2+1c2-a2+13九利用基本不等式即可求解

y/Sa

【详解】

由双曲线C：xy=1(〃>0,h>0.

a-b1

可得一条渐近线y一个顶点包,0）,

\ab\\ab\b

所以--=-,解得c=2a，

c2

b2+\c2-a2+\3f72+l

则二岛+/2,

当且仅当〃=时，取等号,

3

所以H■的最小值为2.

y/3a

故答案为：2

【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(x-1)2+(>'-1)2=1,p=V2cos•(2)a=—^a=—

<4八2)1212

【解析】

(1)根据曲线C的参数方程消去参数/,可得曲线。的直角坐标方程，再由|0。|=垃，|O"=|OC|cosNPOC,

可得点P的轨迹G的极坐标方程；

(2)将曲线C极坐标方程求，与直线I极坐标方程联立,消去。，得到关于P的二次方程，由P的几何意义可求出\AB\,

而(1)可知|0片=及85(0-?)，然后列方程可求出々的值.

【详解】

(1)曲线C的直角坐标方程为"-1)2+()，-1了=1,

圆C的圆心为C,DC=五，设夕(0招)，所以NPOC=。—?，

则由[O/]:|OqcosNPOC,即2=JIcos0<8<g为点P轨迹G的极坐标方程.

(2)曲线C的极坐标方程为P1-2立pcos("?)+l=0,

将/：6=a(0<a<g)与曲线C的极坐标方程联立得，p2-2V2pcosa-三+1=0,

71\

设A（/?[,a）,8（p2，a）

2;

所以=3-夕J={8cos[a_iJ_4=2^2cos2|^a---1,

/\

\OP\=>/2cosa--,

<4）

由IA3||0P|=G,&P2^2cos2^cr-^-lx\/2cos°一（=仙,

＜孙，]，上述方程可化为16谭一8〃/_3=0，解得〃?=立.

令cosg?

)2

.（乃），3乃乃乃工八]71715乃f7T

由cosa——=——,——<a——<—,所以a---=±—,即。=丁或a=一

（412444461212

【点睛】

此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求

解能力，考查数形结合思想，属于中档题.

18.(1)xsina-ycosa+2cosa-3sina=0,x2+v2-2x=0；(2)^4生旦

•7\MA\\MB\7

【解析】

p2=x2+y2

分析：(1)用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式"',可化极坐标方程为直角坐标方程：

pcos，=x

(2)把直线/的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，其中参数/的绝对值表示直线上对应点到M的距离，因此有

|A14|=|r,|,\MB\=\t2\t直接由韦达定理可得向+而，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0,这样可得a满足

的不等关系，由此可求得向+历可1的取值范围.

x=3+tcosa

详解：(1)直线/的参数方程为，

y=2+tsma'

普通方程为内ina-.ycosa+2cosa-3sina=0,

将夕=+)LcosO=-代入圆C的极义标方程p=2cos，中,

P

可得圆的普通方程为X2+/-2X=0,

Y—34-tCCSC

(2)解:直线/的参数方程为一。.代入圆的方程为/+)，2-2工=0可得:

y=2+tsma

r+(4cosa+4sina)f+7=0(*),

7

且由题意6+G=T(co$a+sina),/,­/2=,

11=1MM二钾』na+8sa|.

\MA\\MB\|V2|T

因为方程(*)有两个不同的实根，所以△=16(cosa+sina)—-28>0,

即卜ina+cosa|>,

71

又sina+cosaV2sin|a+—e［一夜,拒］,

所以bina+cosa|G,6.

L4

因为|sina+cosa|e,V2,所以1|sina+cosae

2币11/6

所以----<1------7+]------[4--------.

7\MA\\MB\7

点睛：(1)参数方程化为普通方程，一般用消参数法,而消参法有两种选择:一是代入法，二是用公式cos2«+sin2cz=l;

x=pcosO

(2)极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式」y=psinO；

/+y2=p2

⑶过代G)，。)的直线/的参数方程为.r:+改口。a为参数)中参数’具有几何意义：直线上任一点〃对应

参数，，则归根=建

19.(1)证明见解析；(2)-

35

【解析】

(1)取A8的中点。连接CO,。。，证得C'O_LZX),从而证得C6_L平面ABD,再结合面面垂直的判定定理，

即可证得平面CABJ•平面DAB;

(2)以。为原点，ABt0C所在的直线为『轴，z轴，建立的空间直角坐标系，求得平面AC'。和平面3C'。的法向

量，利用向量的夹角公式，即可求解.

【详解】

(1)取A3的中点0,连接C'O,DO,

在山△ACS和mAA/M中，A8=2,则C'O=&O=1,

又CfD=0，所以CO2+DO2=CD2,即C'O±OD,

又C'OJLAZ?,KABDOD=O,人仇OOu平面ABD,所以C'O_L平面ABD,

又C，Ou平面CAN,所以平面C'48_L平面0/45

(2)以。为原点，AB,OC所在的直线为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

(fj])

则A(0,-1,0),3(0,1,0),。(0,0,1),D—,-,0,

\/

所以AC’=(0,1,1)，8c1'=((),CD=冬;,7,

设平面ACD的法向量为〃产(斗，肉4),

y+4=0

77,1AC…（7=0

则J，代入坐标得1

勺±C7T%CD=0-^x\+2y,~z,=0

令4=1,得力=-1,X]=J5,所以〃I=（6,一1,1）,

设平面8c'。的法向量为〃2=("2，Z2)，

-y+z=0

n±BCnBC=O22

22代入坐标得‘75i

%1C'Dn2c'D=0-yx2+T3?2-22=0

令z,=i,得)，2=i,工，=正，所以小=(€」/

-33

>/3x^+(-l)xl+lxl

所以cos〈%,%}=

J3+1+LJ；+l+l

所以二面角A-CD-B的余弦值为—YU.

本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中

熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算

问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

20.(1)(2)〃=3'2""-9.

2

【解析】

(1)根据题意，建立首项和公差的方程组，通过基本量即可写出前〃项和;

(2)由(1)中所求，结合累加法求得2.

【详解】

4+2d=42d=4,

(1)由题意可得22

(4+4r/)=(%++lOd)'2d=ayd.

q=2

又因为d±0,所以)，，所以儡=〃+L

〃(2+〃+1)n2+3n

S

22

(2)由条件及(1)可得a=4=3.

由己知得b-x2Z,+1,2=3x2"(〃之2)

所以a=(4—2-i)+(〃i一)+…+(A—4)+4

=3(2"+2"T+2n-2+L+22)+3=3X2W+,-9(H>2).

又4=3满足上式，

所以a=3x2”-J9

【点睛】

本题考查等差数列通项公式和前〃项和的基本量的求解，涉及利用累加法求通项公式，属综合基础题.

21.(1)72»p=2(sin6>+cos0(2)2

【解析】

先求出〃=1,再求圆的半径和极坐标方程；⑵设1co=a、h：()=a+%,I