2026年34届数学竞赛B卷试题答案

2026年34届数学竞赛B卷试题答案

一、单项选择题（10题，每题2分）1.设函数f(x)=x²-2ax+a²+1在区间[0,2]上的最小值为1，则实数a的值不可能是（）A.0B.1C.2D.32.若等差数列{aₙ}的前n项和Sₙ满足S₅=15，S₁₀=55，则S₁₅=（）A.120B.135C.150D.1653.已知复数z满足|z-1|=1，且z≠0，则|z-2i|的最小值为（）A.√5-1B.√5+1C.2D.14.平面向量a,b满足|a|=1，|b|=2，(a+2b)·(a-b)=-6，则a与b的夹角为（）A.π/6B.π/3C.2π/3D.5π/65.若sinα+cosα=1/3，α∈(0,π)，则sin2α+cos2α=（）A.-1/9B.-17/9C.1/9D.17/96.已知双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√3x，焦距为4，则双曲线的方程为（）A.x²/1-y²/3=1B.x²/3-y²/1=1C.x²/1-y²/2=1D.x²/2-y²/1=17.从5名男生和3名女生中任选3人参加比赛，至少选1名女生的概率为（）A.16/35B.23/35C.46/56D.10/568.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB=AC=2，∠BAC=90°，则三棱锥的外接球表面积为（）A.8πB.12πC.16πD.20π9.设a=log₂3，b=log₃4，c=log₄5，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a10.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)=x，则f(7/2)=（）A.1/2B.-1/2C.3/2D.-3/2二、填空题（10题，每题2分）11.计算：lg2+lg5+2^log₂3=______12.若x+1/x=3，则x³+1/x³=______13.已知直线l过点(1,2)且与直线2x-y+1=0垂直，则直线l的方程为______14.数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1，则a₅=______15.若函数f(x)=x³-3x+k在R上有三个零点，则k的取值范围是______16.已知椭圆x²/4+y²/m=1的离心率为1/2，则m=______17.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，组成一个三位数，其中偶数的个数为______18.若tanα=2，则(2sinα+cosα)/(sinα-2cosα)=______19.已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，若a⊥b，则x=______20.设f(x)是周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(2026)=______三、判断题（10题，每题2分）21.函数f(x)=x³是奇函数且在R上单调递增（）22.若a>b>0，则1/a<1/b（）23.等差数列的前n项和Sₙ一定是关于n的二次函数（）24.复数z满足|z|=1，则z的共轭复数等于1/z（）25.过点(0,1)且与x轴平行的直线方程是y=1（）26.若α是三角形内角，则sinα>0（）27.双曲线x²/4-y²/9=1的离心率为√13/2（）28.从5个不同元素中任取2个的组合数是10（）29.若向量a与b共线，则存在实数λ使得a=λb（）30.函数f(x)=sinx+cosx的最大值为√2（）四、简答题（4题，每题5分）31.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(x)在区间[t,t+1]上的最小值g(t)的表达式。32.证明：等差数列{aₙ}中，若m+n=p+q，则aₘ+aₙ=aₚ+a_q（m,n,p,q∈N）。33.已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，且过点(2,1)，求椭圆C的方程。34.解不等式：|2x-1|<x+2。五、讨论题（4题，每题5分）35.设a,b,c为正实数，且a+b+c=1，证明：1/a+1/b+1/c≥9，并讨论等号成立的条件。36.已知函数f(x)=e^x-ax，讨论f(x)的单调性。37.平面几何中，证明：三角形的三条中线交于一点，且该点将每条中线分为2:1的两段。38.组合数学中，从n个不同元素中任取k个的排列数P(n,k)与组合数C(n,k)的关系是什么？推导P(n,k)的公式，并说明其实际意义。一、单项选择题答案1.D2.A3.A4.B5.B6.A7.B8.B9.A10.A二、填空题答案11.412.1813.x+2y-5=014.3115.(-2,2)16.3或16/317.2418.不存在（或无穷大）19.-220.2三、判断题答案21.√22.√23.×24.√25.√26.√27.√28.√29.×30.√四、简答题答案31.f(x)=(x-1)²+2，对称轴x=1。①t≤0时，t+1≤1，g(t)=f(t+1)=t²+2；②0<t<1时，1∈[t,t+1]，g(t)=2；③t≥1时，g(t)=f(t)=t²-2t+3。综上，g(t)=t²+2(t≤0)；2(0<t<1)；t²-2t+3(t≥1)。32.设公差为d，aₘ=a₁+(m-1)d，aₙ=a₁+(n-1)d，故aₘ+aₙ=2a₁+(m+n-2)d；同理aₚ+a_q=2a₁+(p+q-2)d。因m+n=p+q，故等式成立。33.e=√3/2→c=√3a/2，b²=a²/4。代入(2,1)得4/a²+4/a²=1→a²=8，b²=2。椭圆方程为x²/8+y²/2=1。34.不等式等价于：①2x-1<x+2→x<3；②-(2x-1)<x+2→x>-1/3；③x+2>0→x>-2。交集为-1/3<x<3。五、讨论题答案35.证明：由柯西不等式，(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)²=9，因a+b+c=1，故1/a+1/b+1/c≥9。等号成立当且仅当a/1=b/1=c/1，即a=b=c=1/3。讨论：若a,b,c不全相等，不等式严格成立，体现均值不等式的等号条件与变量对称性的关联。36.f’(x)=e^x-a。①a≤0时，f’(x)>0恒成立，f(x)在R上单调递增；②a>0时，x=lna时f’(x)=0，x<lna时递减，x>lna时递增。综上，a≤0时单调递增；a>0时，在(-∞,lna)递减，(lna,+∞)递增。37.设中线AD、BE交于G，取BC中点D、AC中点E，DE∥AB且DE=AB/2，△AGB∽△DGE（相似比2:1），故AG=2GD。同理中线CF也过G，分中线为2:1。讨论：该点为重心，其分中线比2:1是几何计算（如面积、体积）的关键性质。38.关系