“学海拾珠”系列之二百六十九：股价路径凸性与未来收益预测

引言 4股价路径凸性 6市场整体层面的实证结果 7样本内检验 7样本外检验 9预测包含性检验 9新冠疫情的影响 9企业层面的实证结果 10投资组合收益 10短期反转 11因子模型调整后收益 12投资组合特征 12稳健性检验 13子样本分析 13买卖价差反弹 13收益加速指标 14FAMA-MACBETH回归 14潜在解释机制 15风险因素 15流动性不足与错误定价 15市场整体层面 15企业层面 16行为偏差解释 17凸性指标的分解 17市场整体层面 17投资者预期与历史益 18投资者预期与未来益 19投资者预期与凸性 20企业层面 21排名与历史收益 21排名与未来收益 22排名与凸性 227结论 23风险提示： 24图表1文章框架 4图表2市场收益预测回归结果 8图表3投资组合回报 图表4按凸性和滞后收益双重分组后的未来收益 图表5价值权重投资组合经因子模型调整后的收益 图表6组合特征 图表7FAMA-MACBETH截面回归 图表8整体层面的解释 图表9公司层面的解释 图表10道琼斯工业平均指数收益预期与历史收益关系 图表道琼斯工业平均指数收益预期与未来收益关系 图表12道琼斯工业平均指数收益预期与凸性 图表13FORCERANK排名与历史收益 图表14FORCERANK排名与未来 图表15FORCERANK排名与凸性 引言图表1文章框架整理稳健的股票收益异象之一（Rosenberg和Rudd，1982；Rosenberg、Reid和Lanstein，1985；Jegadeesh，1990；Lehmann，1990）。关于这一异象有两种可能的解释，且二者并不一定相互排斥。一种解释认为，短期反转是对流动性供给的补偿（Campbell、Grossman和Wang，1993；Pástor和Stambaugh，2003；Avramov、Chordia和Goyal，2006；Nagel，2012）。另一种解释则指出，反转是由对市场热潮、新信息的过度反应，或是认知偏差驱动的（Shiller，1984；Black，1986；Stiglitz，1989；SummersSummers，1989；Subrahmanyam，2005）。过去的收益包含着关于未来收益的信息，同时也是近期股价走势一阶导数的衡量指标。但有理由认为，股价走势的二阶导数，即其曲率，同样具有预测能力。例如，Greenwood、Shleifer和You（2019）研究了行业层面的泡沫，发现最终崩盘的价格上涨，其股价走势的加速度通常高于未崩盘的价格上涨。在本文中，我们证明了股价走势的曲率（我们称之为股价路径凸性）包含凸性都能显著负向预测未来收益。这种关系与凸性估算期内的累积收益无关，且不受已知收益预测因子、微观结构摩擦或非流动性因素的影响。我们的证据表明，凸要理解凸性，可以参考詹森不等式。我们通过三个步骤实证估算股价路径凸性：首先，计算凸性估算期内首个和最后一个交易日收盘价的中点；其次，用该中点减去估算期内所有每日收盘价的平均值；最后，为了使不同股票的凸性具有可比性，我们将上述差值除以第一步得到的中点。正凸性代表股价路径呈凸形，负凸性则代表股价路径呈凹形。我们首先分析了市场整体层面凸性的收益预测能力。样本内检验显示，凸性每0.40%15（Welch和Goyal，2008）50%R²R²值介于0.39%0.61%R²R²在确立了市场整体层面凸性与未来收益的关系后，我们转向个股层面的分析。我们发现，买入凸性最低的五分之一股票、同时卖空凸性最高的五分之一股票构建的市值加权投资组合，月均收益为0.84%（t统计量为6.29）。这种关系在不同的回溯期和持有期内均成立。例如，基于10），10天0.64%（t7.31）550.37%（t4.94）重要的是，凸性的收益预测能力独立于短期收益反转效应。我们将样本同时按未来月均收益都会显著下降。具体而言，在不同的过去收益组别中，凸性最低与最0.78%0.97%（t4.605.69。当我们1050.81%0.96%（t5.636.41收益（0.84%）和夏普比率（0.23）是大多数因子的两倍以上。在经济衰退期间，这种超额收益更为显著，月均收益达到1.60%（t统计量为3.18），夏普比率为0.34。为了验证凸性并非只是捕捉了已知收益预测因子的信息，我们采用Fama-MacBeth（1973）1个月收益（即短期反转）45稳健t-11.15）。由于凸性更侧重近期的价格变化，有观点认为其预测能力可能仅源于月末收益。但我们发现，即使控制了滞后1天、5天或10天的收益，凸性与未来1个月收益之间的负向关系仍然显著。这表明凸性的预测能力并非短期收益反转的伪装。为探究凸性与未来收益负向关系背后的原因，我们考虑了三种解释。首先是风险因素：尽管时变风险可以解释有效市场中的收益可预测性，但我们的研究结果与这一解释不符。具体来说，（1）我们的结果在极短的时间内依然成立，而基于风险的解释在短期内合理性较低（Lehmann，1990）；（2）在控制了包含系统性风险因子的资产定价模型后，这种关系仍未消失；（3）该关系在经济衰退期间反而（LakonishokShleiferVishny，1994）（Baba-Yara、Boons和Tamoni，2024）。其次是流动性供给因素：零投资凸性组合的收益与交易性流动性因子的相关性并不强，且在控制个股非流动性后，凸性的预测能力依然稳健。此外，市场整体层面的结果在非流动性较低时更为显著，而个股层面的结果在流动性最好的股票中同样成立。这些发现表明，非流动性不太可能是主要驱动因素。最后是错误定价因素：在市场整体层面，当错误定价更可能发生的月份之后，凸性的预测能力会增强。在个股层面，凸性与未来收益的负向关系在年轻公司和分析师关注度较低的公司中更为显著——这类公司通常更容易出现错误定价（HirshleiferHsu和Li，2013）在本文的最后一部分，我们研究了可能导致这种错误定价的行为偏差。通过分解凸性，我们发现它是价格变化的加权平均，且近期价格变化的权重更高。这种加权平均方式常被用于建模外推型投资者的信念（Barberis，2018），因此我们进一步检验了凸性与未来收益的负向关系是否由过度外推驱动。我们利用基于调查的短期收益预期数据来分析这一关系。在市场整体层面，我们研究了道琼斯工业平均指数的1个月收益预期，发现短期收益预期与过去的收益正相关，这表明投资者在形成预期时会外推过去的收益。我们采用文献中常用的非线性回归框架（如Greenwood和Shleifer，2014；Cassella和Gulen，2018；Da、Huang和Jin，2021），将预期分解为预测部分（代表原始预期中的外推成分）和残差部分²。我们发现，外推成分与未来收益负相关，这表明对近期收益的过度重视会导致过度外推。这一发现说明，过度外推在一定程度上解释了凸性与未来收益的负向关系。支持这一结论的是，我们发现凸性与预期的外推成分显著正相关，但与残差成分无关。在外推成分对凸性的一元普通最小二乘回归中，R²值超过了40%。Forcerank（Da等，2021）ForcerankR²股价路径凸性本文旨在探究股价走势的曲率是否包含关于未来收益的重要信息。为此，我们构建了一个用于捕捉该曲率的变量，称之为股价路径凸性，简称凸性。我们通过三个步骤计算凸性。为便于理解，假设我们计算的是月度凸性：第一步，计算当月首个和最后一个交易日收盘价的中点；第二步，用该中点减去当月所有每日收盘价的平均值；第三步，为使不同股票的凸性具有可比性，将上述差值除以第一步得到的中点。具体公式如下：𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑥𝑖𝑡𝑦

=+𝑃𝑁𝑖𝑡)/2−++…+

(1)𝑖𝑡

(𝑃1𝑖𝑡+𝑃𝑁𝑖𝑡)/2𝑖𝑡为股票𝑖𝑡个月++…+𝑖在第𝑡）负），凹形。我们采用价格变动而非收益率来估算凸性，主要有两方面原因：其一，近期研究显示，投资者至少会在一定程度上以美元金额而非百分比来衡量股价变动（Shue和Townsend，2021）；其二，使用价格变动能更准确地捕捉我们关注的股价路径动态特征。我们可以通过一个简化示例来说明这一点：假设某股票月初价格为20美元，101101200.24Greenwood等（2019）），0.50（0%-50%）再假设另一种情形：同一只20美元的股票，前10天每天下跌1.50美元，后10天每天上涨1美元，月末收盘价为15美元，此时按我们的方法计算的凸性为0.42。而若采用收益率计算，凸性仍为0.50（累计收益率-25%减去前两周收益率-75%）。可见，两种情形下股价走势差异显著，但基于收益率的凸性定义无法区分第二种情形中更陡峭的下跌与回升，而基于价格变动的定义则能准确捕捉这些动态变化。需要明确的是，我们并不否认基于收益率的定义能有效捕捉泡沫期股价走势的加速特征，但由于我们的研究对象涵盖了正收益和负收益的所有个股股价路径，因此认为基于价格变动的凸性指标更契合本文的研究需求。市场整体层面的实证结果500系。具体而言，我们利用CRSP（spindx）50015个预测变量的数据则来自AmitGoyal7202212月。分析凸性的描述性统计及其与其他预测变量的相关性：凸性分布近似对称，均值和中位数略低于0；除与波动率存在一定相关性外，凸性与其他变量的相关性均较弱。样本内检验2的A=𝛼+𝛽𝑥𝑡+𝜀𝑡+1 (2)其中，𝑟𝑡+1为下一期标普500指数的对数超额收益，𝑥𝑡为预测变量。理论研究通常会对可预测性场景下系数𝛽的符号提供指引，因此我们遵循Inoue和Kilian（2005）的方法，采用单侧备择假设进行检验。为保证不同预测变量之间的可比性，我们采取了两步处理：第一，对凸性（CON）、净股权扩张（NTIS）、3个月国库券利率（TBL）、长期政府债券收益率（LTY）和通货膨胀率（INFL）取负值，使所有预测变量的检验假设保持一致（𝐻0:𝛽=0，𝐻𝐴:𝛽>0）；第二，将所有预测变量标准化为均值为0、标准差为1的变量。我们采用普通最小二乘法（OLS）估计模型（2），并根据Newey和West（1987）的方法调整t统计量（报告在系数下方），以解决异方差和自相关问题。2标准误调整的滞后阶数按照公式4(𝑇)9确定（其中T为样本期的月份数），该方100法由Andrews（1991）、Newey和West（1994）提出，并在全文中统一使用，通常会将滞后阶数设为6。未报告的检验显示，我们的结论对不同滞后阶数的选择具有高度稳健性。图表2市场收益预测回归结果Price-PathConvexityandShort-HorizonReturnPredictability》2A11TBL（TMSINFLA）AR²0.85%R²Campbell和Thompson（2008）0.50%R²在月样本外检验（Welch和Goyal，2008）2的BOSR²̂+1=̂𝑡+𝑡𝑡 (3)̂𝑡和𝑡t）S估计t本外R²的计算方式遵循Campbell和Thompson（2008）𝑇(𝑡−𝑡2𝑅2=1−𝑡=1

(4)𝑂𝑆

∑𝑇

(𝑡−𝑡2𝑡=1t-1t-1期及（MSPE）MSPE，则其样本外R²为正。我们采用ClarkWest（2007）提出的MSPE调整检验统计量，检验原假设𝐻0:𝑅2≤0对备择假设𝐻𝐴:𝑅2>𝑂𝑆0。

𝑂𝑆2B栏报告了各预测变量的样本外R²（HansenTimmerman，2012；RossiInoue，2012）197511980119851月R²平，但三个估计值的显著性水平均不低于88%。相比之下，其他预测变量的样本外R²几乎全为负，即使少数为正的估计值也不具有显著性。预测包含性检验接下来，我们通过预测包含性检验（forecastencompassingtests），验证凸性是否比其他15个预测变量包含更强的收益预测信息。我们将市场收益的最优组合预测定义为：基于凸性的样本外预测与基于其他某一预测变量的样本外预测的加权平均：+1=(1−𝜆)𝑟̂𝑖 +(5)𝑡+1 𝑡+1其中，𝑟̂𝑖是基于15个预测变量中某一变量i的预测回归拟合值，𝑟̂𝐶𝑂𝑁是基于凸𝑡 𝑡性的预测回归拟合值，且0≤𝜆≤1。若𝜆=0，则说明基于变量i的预测完全包含了基于凸性的预测，即凸性未提供额外的预测信息；若𝜆>0，则说明凸性包含了变量i未捕捉到的市场收益信息。HarveyLeybourne和Newbold（1998）变量i𝐻0𝜆=0𝜆>0）（RapachStraussZhou，2010）𝜆2的C19851月且变量i=0.7289%新冠疫情的影响尽管图表2前三栏的结果在几乎所有情况下都具有显著性，但最后三栏显示，新冠疫情暴发初期的股价异动对结果产生了不成比例的负面影响。具体而言，当样本中剔除2020年3月和4月的数据后，我们的结果显著增强。A250%tAB2R²估4倍；C2100%99%。综上，图表2的结果有力地证明：凸性与市场未来收益显著负相关，且作为收益预测变量，其表现优于一系列已被广泛研究的传统预测变量。企业层面的实证结果CRSP（）CRSP/Compustat（NYSE）（AMEX）或纳斯达克（NASDAQ）上市的美国本土普通股（股票代码shrcd为10exchcd1、23）196372022年12月。我们遵循Shumway（1997）整股价低于5美元的观测值。分析凸性的描述性统计量及其与控制变量的相关性：凸性的分布近似对称，均值和中位数均接近0；凸性与各控制变量的相关性较低，表明它能提供这些变量之外的独特信息。投资组合收益196361个月、105CON1，最高的组记为CON5。图表3的A组报告了按1个月期凸性分组的投资组合收益和夏普比率。凸性最低的组（CON1）月均收益为1.24%，凸性最高的组（CON5）月均收益为0.41%。买入CON1、卖空CON5的零投资组合，月均收益为0.84%（t统计量为6.29）0.230.80。图表3投资组合回报Price-PathConvexityandShort-HorizonReturnPredictability》3的BC100.64%（t7.31）54.94）18.5%。总体而言，图表3表明价格路径凸性在多个时间维度上对未来收益具有显著的预测能力。短期反转本部分检验凸性与未来收益的负向关系在赢家股和输家股之间是否存在差异。图表4报告了按凸性和滞后收益双重分组后的未来收益。4的A111、卖空CON50.97%（t4.605.69）（CON1）CON2CON3和CON4定关系，但在CON511图表4按凸性和滞后收益双重分组后的未来收益Price-PathConvexityandShort-HorizonReturnPredictability》4的BC1010（B组55（C组综上，图表4表明，近期价格路径的二阶导数（即曲率，也就是凸性）包含的未来收益预测信息，与一阶导数（即收益）的信息是相互独立的。因子模型调整后收益为确保研究结果不受已知收益预测因子的影响，图表5报告了价值权重投资组合经因子模型调整后的收益。其中，CAPM、FF3（法玛-弗伦奇三因子模型）和FF5（法玛-弗伦奇五因子模型）的阿尔法值，分别由投资组合超额收益对市场超额收益、三因子（市场超额收益+市值因子SMB+价值因子HML）、五因子（三因子+盈利因子RMW+投资因子CMA）回归得到。其他阿尔法值则在五因子模型基础上，进一步加入动量因子UMD（Carhart，1997）、短期反转因子SREV（Lehmann，1990；Jegadeesh，1990）、长期反转因子LREV（DeBondt和Thaler，1985）或流动性因子LIQ（Pástor和Stambaugh，2003，样本始于1968年1月）回归得到。图表5显示，无论采用哪种因子模型，零投资组合的月均阿尔法值至少为0.81%，仅比原始收益低几个基点。等权重投资组合经相同因子模型调整后，阿尔法值几乎无变化。综上，这些因子模型无法解释零投资组合的收益。图表5价值权重投资组合经因子模型调整后的收益Price-PathConvexityandShort-HorizonReturnPredictability》投资组合特征6的A（动量因子UMD）20个基（SMBHML、RMW、CMALREV、LIQ）图表6组合特征Price-PathConvexityandShort-HorizonReturnPredictability》6的B1.55%总体而言，图表6表明，凸性零投资组合的收益和夏普比率均显著优于多个经典因子。稳健性检验本小节简要介绍一系列稳健性检验的结果。子样本分析凸性零投资组合在不同子样本中的未来1个月收益：在样本的前半段和后半段，组合收益均具有统计显著性；在更早的美国样本区间（1926年7月至1963年6月）（Schwert，2003）0.76%（t5.29），12-120.75%（t5.40）。这些结果共同表明，研究结论在不同样本区间和不同市值规模的企业中均稳健。买卖价差反弹由于凸性与未来收益的关系是短期的，一个潜在担忧是该负向关系可能由买卖价差反弹导致，但我们的分析表明并非如此。0.66%（t4.93）收益加速指标在第二节中，我们区分了本文的凸性指标与Greenwood等人（2019）提出的收益加速指标。不过，由于他们认为收益加速衡量了价格路径的凸性，有必要明确两个指标的关系。首先，我们计算两个指标的相关性：1个月期收益加速被定义为当月累计收益减去当月前10天的累计收益。在企业层面，凸性与收益加速的相关系数为54.3%25254（）Fama-MacBeth回归10（Hou、Xue和Zhang，2020）7的A-0.42（t-6.91）10.42%）-0.44（t统计量为-9.12），显著性进一步提升；再加入滞后1个月收益后，凸性系数几乎无变化，这再次验证了凸性的预测能力独立于短期反转效应。在接下来的四列中，我们加入上月价格波动相关控制变量（非流动性、特质波动率、偏度、最大日收益），凸性系数的显著性仍未受影响；最后一列加入所有控制变量后，凸性系数的显著性达到最高。图表7Fama-MacBeth截面回归Price-PathConvexityandShort-HorizonReturnPredictability》7的B1天、510110.35%总体而言，图表7表明，即使控制所有已知的收益预测特征，凸性与未来收益仍保持显著的负向关系。尽管凸性受月末后半段价格变动的影响，但控制短期收益后，其预测能力并未消失。前文已证实，无论是在市场整体层面还是企业层面，价格路径凸性与未来收益均呈负相关。本节探讨这一负相关关系的三类潜在解释。潜在解释机制前文已证实，无论是在市场整体层面还是企业层面，价格路径凸性与未来收益均呈负相关。本节探讨这一负相关关系的三类潜在解释。风险因素如Fama和French，1988；Campbell和Cochrane，1999）第一，本文的收益预测效应在极短时间窗口内依然存在（图表3），而短期之内企业估值的系统性变动可能性极低（Lehmann，1990）；第二，用通常与风险相关的因子进行回归时，本文的研究结果基本不受影响（图表5）；第三，凸性零投资组合在经济下行期的表现反而更强（图表6），这与风险补偿逻辑相悖——风险因子应在经济下行期表现更差（Lakonishok等，1994）；第四，在更长期限内，凸性对未来收益的预测效应消失，而风险因素通常在长期更能解释收益的可预测性（Baba-Yara等，2024）。综上，我们认为风险因素并非本文实证结果的驱动因素。接下来我们探讨流动性不足和错误定价两类解释，先从市场整体层面分析，再延伸至企业层面。流动性不足与错误定价接下来我们探讨流动性不足和错误定价两类解释，先从市场整体层面分析，再延伸至企业层面。市场整体层面/500Da（2014）的方法，Amihud（2002）衡量流（IPO）（S）8图表8整体层面的解释Price-PathConvexityandShort-HorizonReturnPredictability》1个月收益。1个月收益。图表9公司层面的解释Price-PathConvexityandShort-HorizonReturnPredictability》图表图表9的A组和B组报告了流动性代理变量的检验结果：A组用Amihud（2002）非流动性指标，B组用买卖价差。每组的最后两行显示，尽管凸性与未来收益的负向关系在流动性最差的股票中最强，但在流动性最好的股票中仍具有统计显著性。这一结果与前文部分结论略有差异：图表显著性。这一结果与前文部分结论略有差异：图表5显示，在投资组合层面控制Pástor和Stambaugh（2003）交易流动性因子后，凸性与未来收益的关系不受影响；图表7显示，在回归层面控制Amihud（2002）指标后，结果也未改变。综合来看，我们认为流动性不足并非本文结论的核心驱动因素，但可能起到次要或辅助作用。图表9的C组和D组报告了错误定价代理变量的检验结果：C（Hirshleifer等，2013）12IBESDCRSP（Kumar，2009；Hirshleifer等，2013）9素”这一结论。前文结果表明错误定价是核心驱动因素，这自然引出一个问题：是什么样的行为偏差导致了这种错误定价？为回答这一问题，我们首先对凸性指标进行分解。行为偏差解释前文结果表明错误定价是核心驱动因素，这自然引出一个问题：是什么样的行为偏差导致了这种错误定价？为回答这一问题，我们首先对凸性指标进行分解。凸性指标的分解省略下标后，凸性可大致定义为两种平均日价格变动的差值：省略下标后，凸性可大致定义为两种平均日价格变动的差值：(6)其中，第一个平均值是日价格变动的加权平均，权重从近期到远期线性递减—（Barberis，2018）；第二个平均如Greenwood和Shleifer，2014；Da等，2021）。在探讨凸性与投资者预期的关系之前，我们首先需要明确：短期收益预期在多大程度上具有（1）外推性，以及（2在探讨凸性与投资者预期的关系之前，我们首先需要明确：短期收益预期在多大程度上具有（1）外推性，以及（2）与未来收益的相关性。我们从市场整体层面展开分析。具体而言，我们使用耶鲁国际金融中心提供的道琼斯工业平均指数（DJIA）1个月期收益预期调查数据。调查问题为：“你预期未来一个月该指数的百分比变化19991199382022250%（占总0.14%）DJIA预期数据的描述性统计：个人和机构投资者的平均预期月收益均略高于0%，中位数略高于均值；对单日存在多个观测值的情况取平均后，统计特征与原始数据一致。后续分析均使用平均后的预期数据，而未报告的结果显示，使用原始数据的结论在定性上无差异。收益的反应越强；参数λ越大，表明投资者对近期收益的权重越低。我们分别用DJIA过去4收益的反应越强；参数λ越大，表明投资者对近期收益的权重越低。我们分别用DJIA过去4周、8周、12周和16周的收益进行估计。10bλ，而是报告DOX=1-λ（CassellaGulen，2018）——DOX下的DOX为滞后𝑗期的周收益，权重𝑤𝑗由λ决定。b越大，表明投资者预期对历史𝑡−𝑗,𝑡−𝑗+1𝑅w其中，𝐸𝑥𝑝𝑡为第𝑡日的平均1个月收益预期，𝑁为历史周收益的滞后阶数，(7)基于投资者预期与外推性的相关研究（Greenwood和Shleifer，2014；CassellaGulen，2018；Da2021）图表10道琼斯工业平均指数收益预期与历史收益关系Price-PathConvexityandShort-HorizonReturnPredictability》另一个值得注意的结果是两类投资者的另一个值得注意的结果是两类投资者的b和DOX估计值存在差异：参考Da等（2021）b*DOX综上，图表综上，图表10的非线性回归结果表明，个人和机构投资者在形成未来1个月收益预期时，均会外推历史收益。接下来我们分析投资者预期与未来实际收益的关系，将DJIA未来21接下来我们分析投资者预期与未来实际收益的关系，将DJIA未来21天（1个月）的收益对前一日的平均预期进行回归。图表11道琼斯工业平均指数收益预期与未来收益关系图表11的A图表11的A组前三列显示，原始平均预期与未来收益呈负相关，但不显著；后六列中，我们用过去4周收益将原始预期分解为拟合值（外推性成分）和残差项（非外推性成分），参考Cassella等（2023）的做法，将拟合值视为投资者预期中的外推部分。中间三列显示，外推性成分与未来收益的负相关关系显著，且系数绝对值至少是前三列的两倍，𝑅2至少是前三列的六倍；最后三列显示，残差项与未来收益无显著关联，系数和𝑅2均接近0。的BCD8周、1216分解原始预期，结果与A综上，图表11的结果表明，投资者预期中的外推性成分与未来1个月收益负相关，这意味着外推行为存在过度外推的特征。结合凸性与未来收益的负相关关系，我们推测，对历史收益的过度外推可能也是凸性与未来收益负相关的部分原因。12的12的A4（21天10.26图表12道琼斯工业平均指数收益预期与凸性Price-PathConvexityandShort-HorizonReturnPredictability》49%9。12B、CD8周、1216B组和C组的𝑅231.29%41.21%综上，图表12的结果表明，凸性与投资者预期中的外推性成分显著正相关。由于过度外推通常会导致未来收益反转（如Barberis等，2015），这一发现支持了“过度外推历史收益部分解释了凸性与未来收益的负相关关系”的观点。11Forcerank102016320182143325录（每场竞赛平均有1.4万条排名