2025-2026学年云南省新纪元云贵发展中心高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年云南省新纪元云贵发展中心高二（下）第一次月考数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设函数f（x）在x=x0处存在导数为2，则=（）A.2 B.1 C. D.62.曲线y=x+ln（-x）在点x=-1处的切线斜率为（）A.1 B.0 C.2 D.-13.一辆赛车在跑道上做速度测试，已知测试的速度V（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数关系为V（t）=0.3t2+0.2t（0≤t≤10），则在t=5s时刻，赛车的加速度为（）A.3m/s2 B.3.2m/s2 C.6m/s2 D.8.5m/s24.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一.且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A.

B.

C.

D.5.已知x=1函数f（x）=x3-3ax+3的极小值点，那么函数f（x）的极大值为（）A.2 B.3 C.4 D.56.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为（）A.R B.2R C. D.7.若函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A.（0，e） B.（e，+∞） C.（0，e] D.[e，+∞）8.已知a=6-ln2-ln3，b=e-ln3，c=e2-2，则（）A.a＞b＞c B.b＞a＞c C.b＞c＞a D.c＞a＞b二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.若函数f（x）在x=x0处存在导数，则的值（）A.与x0有关 B.与h有关 C.与x0无关 D.与h无关10.下列函数求导正确的是（）A.已知f（x）=xlnx+x,则f′（x）=2+lnx

B.已知f（x）=e2x，则f′（x）=2e2x

C.已知，则f′（x）=lnx

D.已知f（x）=x3+sinx,则f′（x）=3x2+cosx11.函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a,b,c,d∈R）的图象如图所示，则下列结论正确的有（）A.a＞0

B.b＜0

C.c＞0

D.a+b+c＜0三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当d=2时，气球体积的瞬时变化率为______.13.直线y=kx+b与函数y=ex-2和y=ex-1的图象都相切，则k+b=

.14.某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x（x＞0）千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为f（x）千元与g（x）千元，其中f（x）=2x,g（x）=4ln（2x+1），如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投

千元.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数的图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=3平行，其中a为常数.

（1）求a的值；

（2）求不等式f（x2-1）＜f（5x-7）的解集.16.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ADD1A1的周长为12，CD=2AD=2x（x＞0），长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V（x）.

（1）求V（x）的表达式；

（2）若自变量x从1变到2，求V（x）的平均变化率；

（3）若V（m）=2m2，求V（x）在x=m处的瞬时变化率.17.(本小题15分)

设函数f（x）=axlnx,其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为l.椭圆与直线l交于A，B两点，且.

（1）求a的值以及直线l的方程.

（2）当a∈（0，1]时，求函数f（x）的极值.18.(本小题17分)

已知函数f（x）=x+sinx．

（1）设P，Q是函数f（x）的图象上相异的两点，证明：直线PQ的斜率大于0；

（2）求实数a的取值范围，使不等式f（x）≥axcosx在上恒成立．19.(本小题17分)

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）.

（1）当a=1时，求f（x）的极值；

（2）若，证明：f（x）有2个零点；

（3）若∀x＞0，g（x）=x2-f（x）≥0，求a的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】2π

13.【答案】

14.【答案】1.5

15.【答案】a=2

x∈（2，3）

16.【答案】解：（1）（1）因为四边形ADD1A1的周长为12，所以2AD+2AA1=2x+2AA1=12，

所以AA1=6-x,

因为AA1=6-x＞0，x＞0，所以0＜x＜6，

所以V（x）=2x•x•（6-x）=12x2-2x3（0＜x＜6）．

（2）若自变量x从1变到2，则V（x）的平均变化率为．

（3）由12m2-2m3=2m2（0＜m＜6），得m=5，

V′（x）=24x-6x2，

则V′（5）=24×5-6×25=-30，

所以V（x）在x=m处的瞬时变化率为-30．

17.【答案】解：（1）易知函数f（x）的定义域为（0，+∞），

可得f′（x）=alnx+a,

此时f′（1）=a,

又f（1）=0，

所以y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程y=a（x-1），

联立，消去y并整理得（2+a2）x2-2a2x+a2-4=0，

因为，

所以，

整理得a2=1或a2=4，

解得a=±1或a=±2，

所以直线l的方程为x±y-1=0或2x±y-2=0，

（2）因为函数f（x）的定义域为（0，+∞），

又a∈（0，1]，

所以a=1，

可得f′（x）=lnx+1，

令f′（x）=0，

解得，

当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．

所以当时，函数取得极小值，没有极大值．

18.【答案】（1）证明：∵f（x）=x+sinx

∴f'（x）=1+cosx≥0

∴函数f（x）在R上单调递增

设P（x1，y1），Q（x2，y2）则，即kPQ＞0

∴直线PQ的斜率大于0；

（2）解：依题意得，设，

1°当a≤0时，Q（x）≤0恒成立；

2°当a＞0时，Q'（x）=（a-1）cosx-axsinx-1，

①0＜a≤2时，Q'（x）≤0，Q（x）在上单调递减，

所以Q（x）≤Q（0）=0恒成立；

②a＞2时，注意到当时，x≥sinx，

于是Q（x）=axcosx-x-sinx≥axcosx-2x=x（acosx-2），

必存在，使得当x∈（0，x0）时，有Q（x0）＞0，不能使Q（x）≤0恒成立．

综上所述，实数a的取值范围为a≤2．

19.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x,定义域为，

当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

所以当x=1时，f（x）取极大值，且极大值为f（1）=-1，没有极小值．

（2）证明：方法一：f（x）的定义域为，

因为，所以当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．

当时，f（x）取到极大值，也是最大值．

因为，所以，

因为，所以f（x）在区间上有且只有1个零点，

所以f（x）在区间上有且只有1个零点．

因为，

令m（x）=2lnx-x（x＞e），所以在（e,+∞）上恒成立，

所以m（x）在（e,+∞）上单调递减，即m（x）＜m（e）=2-e＜0，所以．

所以f（x）在区间上有且只有1个零点，

所以f（x）在区间上有且只有1个零点．

综上所述，当时，f（x）有2个零点．

方法二：f（x）的定义域为（0，+∞），由f（x）=0，得．

令，则，

当x∈（0，e）时，n′（x）＞0，n（x）单调递增，当x∈（e,+∞）时，n′（x）＜0，n（x）单调递减．

所以当x=e时，n（x）取到极大值，也是最大值．

又n（1）=0，当x→+∞时，n（x）＞0，且n（x）→0，

所以当时，直线y=a与的图象有2个交点，

即当时，f（x）有2个零点．

（3）由，

设h（x）=2x2+ax-1，则Δ=a2+8＞0，所以h（x）=0有2个不同的根x1，x2（x1＜x2），

因为，所以x1＜0＜x2．

当x∈（0，x2）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（x2，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，

所以x=x2时，g（x）取到极小值g（x2），