北京市第六十五中学2025-2026学年度下学期3月学情自测九年级数学试题(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页北京市第六十五中学2025-2026学年度下学期3月学情自测九年级数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）

A.五棱柱 B.圆柱 C.长方体 D.五棱锥2.北京冬奥会期间，共有近1.9万名赛会志愿者和20余万人次城市志愿者参与服务，他们默默奉献并积极传递正能量，共同用实际行动生动地诠释了“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神.将1.9万用科学记数法表示应为（）A. B. C. D.3.如图，已知，那么∠4的度数为（

）

A. B. C. D.4.从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学去参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率是（）A. B. C. D.5.如图，直线，直线与分别交于点，过点作于点．若，则的大小为（

）

A. B. C. D.6.已知a、b表示如表第一行中两个相邻的数，且a＜＜b，那么a的值是（）x33.13.23.33.43.53.63.73.83.94x299.6110.2410.8911.5612.2512.9613.6914.4415.2116A.3.5 B.3.6 C.3.7 D.3.87.如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则AB两地之间的距离约为（）

A.1000sinα米 B.1000tanα米 C.米 D.米8.如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点C是的中点；④k的值是2．其中正确结论有（

）

A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④二、填空题：本题共8小题，共18分。9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是

．10.分解因式：

．11.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差S2，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是

．甲乙丙丁

7887s211.20.91.812.图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为

．

13.如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为

．

14.如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是100，则四边形的面积为

．

15.如图，下面是“作一个，使得”的尺规作图方法．（1）作一条线段；（2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧在线段上方交于点；（3）连接，，则．上述判定的依据是

．16.某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与的对应关系如下：投入n（万元）渠道123456甲5075乙35598095105110丙254560707884丁2043648092100(1)如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向

渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）；(2)如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为

千人．三、计算题：本大题共2小题，共8分。17.计算：．18.解不等式组，并写出它的所有整数解．四、解答题：本题共10小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题5分)

已知，求代数式的值．20.(本小题5分)小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗?小刚经过查阅资料得知，白帝城是现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州．假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度约为，从宜昌到荆州的速度约为．从奉节到荆州的水上距离约为．经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多．根据小刚的假设，回答下列问题：

(1)奉节到宜昌的水上距离是多少？(2)李白能在一日（）之内从白帝城到达江陵吗？说明理由．21.(本小题5分)

在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数的图象的一个交点为．(1)求一次函数的表达式；(2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出的取值范围．22.(本小题5分)如图，在中，，延长至，使得，过点，分别作，，与交于点，连接．

(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，求的长．23.(本小题7分)为增进学生对营养与健康知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下图是这20名学生第一次活动和第二次活动成绩情况统计图．

(1)①学生甲第一次成绩是85分，则该生第二次成绩是______分，他两次活动的平均成绩是______分；②学生乙第一次成绩低于80分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表乙的点；(2)为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，A，B，C三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成6组：，，，，，）：

已知这三人中只有一人正确作出了统计图，则作图正确的是

．(3)假设有400名学生参加此次活动，估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数为

．24.(本小题5分)如图，过外一点作的切线，切点为点，为的直径，点为上一点，且，连接，，线段交直径于点，交于点，连接．

(1)求证：；(2)若，，求半径的长．25.(本小题7分)某农科所的科研小组在同一果园研究了甲、乙两种果树的生长规律．记果树的生长时间为（单位：年），甲种果树的平均高度为（单位：米），乙种果树的平均高度为（单位：米）．记录的部分数据如下：x0.01.02.03.04.05.06.07.08.09.010.01.002.505.007.509.009.649.879.959.9810.0010.001.504.245.675.955.996.006.006.006.006.006.00对以上数据进行分析，补充完成以下内容．(1)可以用函数刻画与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象；

(2)当甲种果树的平均高度达到8.00米时，生长时间约为

年（结果保留小数点后一位）；当乙种果树的平均高度为5.00米时，两年后平均高度约为

米（结果保留小数点后两位）；(3)当甲、乙两种果树的平均高度相等时，生长时间约为

年（结果保留小数点后一位）．26.(本小题7分)

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当时，求的最小值；②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围．27.(本小题5分)在中，，．D为边BC上一动点，点E在边AC上，．点D关于点B的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE，PF，EF．

(1)如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；(2)如图2，当点D与点B，C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例．28.(本小题7分)在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”．

(1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是

；(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围；(3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围．

1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】x≠3

10.【答案】

11.【答案】丙

12.【答案】10

13.【答案】

14.【答案】16

15.【答案】三边分别相等的两个三角形全等（）

16.【答案】【小题1】甲【小题2】180

17.【答案】解：原式=​​​​​​​=3.

18.【答案】解：由第一个不等式得2x+2≤5x+8，解得x≥-2，由第二个得4x-10＜x-1解得x＜3∴不等式组的解集为-2≤x＜3，它的整数解为-2、-1、0、1、2．

19.【答案】解：

=+

=+

=，

∵x-3y-2=0，

∴x-3y=2，

∴原式==3．

20.【答案】【小题1】设奉节到宜昌的水上距离是．根据题意得：，解得．答：奉节到宜昌的水上距离为．【小题2】∵，∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵．

21.【答案】【小题1】解：把代入得：∴，解得：，∴点，把点代入得：，解得：，∴一次函数的表达式为；【小题2】解：如图，对于，当时，，把，代入得：，解得：，对于，当时，，把，代入得：，解得：，观察图象得：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，的取值范围为．

22.【答案】【小题1】证明：∵，，∴四边形是平行四边形．∴．∵，∴．∵，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是矩形．【小题2】∵在中，，，∴设，，∴，∴，在中，，，∵，∴，解得，，∴．

23.【答案】【小题1】解：①由统计图可以看出横坐标为85的直线上只有一个点，其纵坐标为90，因此这两次的平均分是（85+90）÷=87.5（分）．故答案为：90，87.5．②如图所示，符合题目要求的范围在直线x=80的左边，直线y=90以上，在图中圈出的就是所求．（答案不唯一）

【小题2】B【小题3】180

24.【答案】【小题1】证明：为的切线，．．为的直径，．．，．．又，．．【小题2】连接．为的切线，．，．，．．．设，则．在中，，，．为直径，．，，．．在中，，．，．解得．．半径的长为．

25.【答案】【小题1】解：如图，根据对应和的值在图上描点，然后用光滑的曲线连接即可．【小题2】

/（答案不唯一）​​​​​​​/（答案不唯一）【小题3】/（答案不唯一）

26.【答案】【小题1】解：把点代入得：，；【小题2】解：由（1）知抛物线为，抛物线的对称轴为直线，而关于直线的对称点是，由抛物线对称性得：点坐标；【小题3】解：①如图：当时，，抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为，由图象知：当图象为对称图形时有最小值，又，，，，，过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，，，顶点坐标为，的最小值为；②点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点，由（1）知抛物线为，，，，又抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，根据、点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论的取值：（Ⅰ）当，且时，即图象在对称轴左侧时，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，，解得，又，，且，；（Ⅱ）当，且时，即图象在对称轴右侧时，此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小，，解得，又，，且，，（Ⅲ）当，且时，即最低点是抛物线顶点且点纵坐标大时，此时，，，解得，又，，，，；（Ⅳ）当，且时，即最低点是抛物线顶点时且点纵坐标大，此时，，，解得，又，，，，综上所述，当时，，同理可得：当时，也符合条件，的取值范围为或．

27.【答案】【小题1】解：，．理由如下：

​​​​​​​由题意知三点重合∴，∵∴，∵∴∴为线段的中点∵是中点∴是的中位线∴，∴∴．【小题2】解：，的关系仍成立．证明：如图2，连接，作于，轴，过作交于，交于，由题意知，是的中位线，，是等边三角形，四边形是矩形，设，∴，，，，，，，，，在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得在中，由勾股定理得∴∴∵∴∴．

28.【答案】【小题1】

【小题2】解：的弦，的半径为．∴是等边三角形，设则∴在的圆环内如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单