广西柳州市2026届高三数学上学期第二次模拟考试含解析

广西柳州市2026届高三数学上学期二模试题

一、单选题

1．已知zi12i，i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．样本数据10，12，15，16，22，26，27，34的第60%分位数是（）

A．26B．25C．24D．22

3．设集合A{x∣1x2}，Bx∣x22，则AB（）

A．{x∣2x1}B．{x∣1x2}

C．{x∣2x2}D．{x∣2x2}

4．准线方程为x1的抛物线的标准方程为（）

A．y24xB．x24yC．y24xD．x24y

5．已知x0，y0，则（）

111112

A．x2y22xyB．C．xyxyD．≤

xyxyxyxy

ππ

6．设函数f(x)cos(x)(0)，若f(x)f()对任意的实数x都成立，则的最小值为（）

64

1248

A．B．C．D．

3333

7．函数f(x)0.3xx的零点所在区间是（）

A．(0,0.3)B．(0.3,0.5)C．(0.5,1)D．(1,2)

8．某商场要在大厅顶悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，A，B，C，D为该正方体的顶

点，AA1，BB1，CC1为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面.若平面ABC与平面平行，且直绳索AA1

的长度为23米，则点D到平面的距离为（）

238343

A．米B．米C．23米D．米

333

二、多选题

11

9．已知sin，sincos，则（）

63

15

A．cossinB．sin

26

1

C．3tan2tanD．sin2sin2

12

10．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，APB120，PA4，点C在底面圆周上，

且二面角PACO为45，则（）.

A．该圆锥的侧面积为43πB．该圆锥的体积为8π

C．AC42D．PAC的面积为8

2

x2

11．已知点P为双曲线C:y1右支上一点，l1，l2为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作PAl1，

4

PBl2，垂足依次为A，B，过点P作PM∥l2交l1于点M，过点P作PN∥l1交l2于点N，O为坐标原点，

则下列结论正确的是（）

4

A．OPABB．PAPB

5

C．5S△PAB4S△PMND．MN1

三、填空题

12．已知直线l的一个方向向量为v3,3，则直线l的倾斜角为.

13．为了检测学生的身体素质指标，从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进

行检则，则每一类都被抽到的概率为；

211π*

14．若函数fxx22xmsinmxmN在0,4上恰有3个零点，则符合条件的m的个

443

数为.

四、解答题

15．设等差数列an的前n项和为Sn，且a22，S515.

(1)求an的通项公式；

an

(2)设bn2an，求数列bn的前n项和Tn.

a

16．已知函数fxlnx.

x

(1)当a1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；

(2)若fx有极小值，记fx的极小值为ga，证明：gaea1.

17．如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1底面ABC，ABBB12，AC23，B1BA60，

点D是棱A1B1的中点，BC4BE，DEBC.

(1)证明：ACBB1；

(2)求直线BB1与平面DEA1所成角的正弦值.

x2y23

18．已知椭圆G:1ab0的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点E的坐标为1,0，且E

a2b22

为OB的中点.

(1)求椭圆G的方程；

(2)斜率不为0的动直线l过点E交椭圆G于C，D两点，直线AC，BD交于点M，直线AD，BC交于点N.

（i）设直线BC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，证明k1k2为定值；

（ii）以MN为直径的圆被x轴所截得的弦长是否为定值?如果是定值，请求出定值；如果不是定值，请说

明理由.

19．某中学手工社团每周开展劳动实践活动，制作并展示手工艺品，社团每周需要准备一定数量的手工材

料包（如陶土、布料等）.根据过往活动记录，发现参与活动的学生对手工材料包的需求量相对稳定，每周

对手工材料包的不同需求量（单位：份）及对应概率如下表：

需求量（份）0123

1311

概率P

105510

若以手工材料包的库存作为供给量，为了减少资源浪费，每周末社团会清点材料库存：若手工材料包全部

被领用，则在周末及时采购2份新材料包，只要手工材料包还有1个存货，就不采购新的材料包.记Xn为第

n周开始时社团的材料包供给量，假设X12.

(1)求X3的分布列；

(2)记nPXn1,PXn2为第n周开始时供给量Xn的概率向量，随着n的增大，若n1n，则n

趋向一个定常态分布，记这个定常态分布为.

（i）求该材料包的定常态分布；

（ii）从长远来看，求该材料包需求量大于供给量的概率.

参考答案

1．A

【详解】因为zi12i2i，

所以z在复平面内对应的点为2,1，在第一象限.

故选：A.

2．D

【详解】从小到大排列的样本数据10，12，15，16，22，26，27，34，共8个数据，

因为80.64.8，所以数据的第60%分位数是第五个数据值22.

故选：D.

3．B

【详解】由x22，得到2x2，所以Bx∣2x2，

所以AB{x∣1x2}.

故选：B.

4．C

【详解】因为抛物线准线方程为x1，

所以可设抛物线的标准方程为y22pxp0，

p

则1，即p2，

2

所以抛物线的标准方程为y24x.

故选：C

5．C

【详解】A：当xy0时，x2y22xy，所以不正确；

111yx1

B：，

xyxyxy

111

因为x0，y0，所以当xy1时，，

xyxy

111111

当xy1时，，当xy1时，，因此不正确；

xyxyxyxy

C：因为x0，y0，所以有xy2xyxy，正确；

2

112yx2xyxy

D：因为x0，y0，所以有0，

xyxyxyxy

112

即，所以不正确.

xyxy

故选：C

6．B

ππ

【详解】由f(x)f()对任意的实数x都成立，得f(x)在x处取得最大值，

44

ππ2

则2kπ,kN，解得8k,kN，

463

2

所以的最小值是.

3

故选：B

7．B

【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：y0.3x在R上单调递减，yx在0,单调递增，

所以fx0.3xx在定义域上单调递减，

显然f010,f0.30.30.30.30.50,f0.50.30.50.50.50，

所以根据零点存在性定理可知fx的零点位于0.3,0.5.

故选：B

8．D

【详解】设点D到平面ABC的距离为d，

根据正方体的性质可知：点B到平面ADC的距离为2，

因为VDABCVBACD，

11

所以SdS2，

3ABC3ACD

由正方体可得ABBCAC222222，

1111

所以2222sin60d222，

3232

23

解得d，

3

23

所以点D到平面ABC的距离为，

3

又因为平面ABC与平面平行，直绳索AA1的长度为23米，

2343

所以点D到平面的距离为23.

33

故选：D

9．BC

11

【详解】A选项，已知sin=sincoscossin，sincos，

63

111

则cossin，A错误；

362

115

B选项，sinsincoscossin，B正确；

326

1

tansincos2

C选项，3，所以3tan2tan，C正确；

tancossin13

2

D选项，sin2sin22sincos2cossin4sincoscossin

112

4，D错误；

323

故选：BC.

10．BCD

【详解】如图，取AC中点D，则ODAC,PDAC，

OD平面AOC，PD平面PAC，

由二面角定义可知，PDO45，又POD90，所以POOD，

在PAB中，PAPB4,∠APB120，

所以PBA30，POOD2,BOCO16423，

所以PD22，AC2OC2OD2212442，C正确；

1

所以S22428，D正确，

PAC2

S侧=π23483π，A错误；

1

V12π28π，故B正确.

3

故选：BCD.

11．ABD

22

【详解】设Px0,y0,x02，且x04y04，

x02y0x02y0

又l1:x2y0，l2:x2y0，则PA,PB，

55

22

x2yx2yx04y04

则PAPB0000，故B正确；

5555

直线PA:y2xx0y0，直线PB:y2xx0y0，

y2xx0y04x02y02x0y0

联立，得A,，

x2y055

y2xx0y04x02y02x0y0

联立，得B,，

x2y055

22

24x2y4x2y2xy2xy

则AB00000000

5555

2222

4y4x16x0y0

00，

5525

222

又OPx0y0，所以OPAB，故A正确；

11

直线PM:yxxy，直线PN:yxxy，

200200

1

yxx0y0x02y0x02y0

联立2，得M,，

24

x2y0

2

225x2y

则x02y0x02y000，

OM

2416

1

yxx0y0x02y0x02y0

联立2，得N,，

24

x2y0

2

225x2y

则x02y0x02y000，

ON

2416

1

2

12tan4

设MON2，因为tan，所以tan22，

221

1tan13

4

16

tan224

则sin29，

216

1tan215

9

因为四边形ONPM为平行四边形，

22

115x2y5x2y4

所以SSOMONsin20000

PMNOMN2216165

22

x04y041

，

882

1142248

SPAPBsinAPBsinπ2sin2，

PAB22555525

故5S△PAB4S△PMN，故C错误；

22

2x02y0x02y0x02y0x02y0212

MN4y0x0

22444

155

x24x2x24441，等号成立时P2,0，

040404

故MN1，故D正确.

故选：ABD

12．5

6

【详解】因为直线l的一个方向向量为v3,3，

3

所以斜率k，

3

35

设倾斜角为，则ktan，所以.

36

故答案为：5

6

3

13．

7

【详解】

解：从游泳类1项，球类3项，田径类4项共8项项目中随机抽取4项进行检测，则每一类都被抽到的方

112121

法共有C1C3C4C1C3C4种，

4

而所有的抽取方法共有C8种，

112121

C1C3C4C1C3C4303

故每一类都被抽到的概率为4＝＝，

C8707

3

故答案为：．

7

14．5

211π

【详解】令f(x)0，则x22xm0或sinmx0，

443

2

由Δ22m8m，

1

当m8时，yx222xm在0，4上没有零点，

4

1π

则ysinmx在0，4上应有3个零点，

43

1ππππ7π10π

因为mx,m，所以2πm3π，即m，

4333333

10π

与m8联立得8m，因为mN*，所以m的值依次为9，10；

3

21

当m8时，yx22xm在0，4上有1个零点2，

4

ππ2π7π

而ysin2x在0，4上有3个零点,,，不满足题意；

3636

1

当1m8时，yx222xm在0，4上有2个零点，

4

1π

故ysinmx在0，4上应有1个零点，

43

21

因为mN*，所以该零点与yx22xm的零点不相同，

4

ππ4ππ4π

所以0m<π，即m，与1m8联立得m，

33333

因为mN*，所以m的取值依次为2，3，4，

综上得符合条件的m的个数是5．

故答案是：5．

15．(1)ann

n2n

(2)2n12

2

【详解】（1）设等差数列an的公差为d.

aad2

21

由题意可得54，解得a11，d1，

S55a1d15

2

则an1(n1)1n.

ann

（2）由（1）可知ann，则bn2an2n，

123n

故Tnb1b2b3bn2122232n

2122232n(123n)

n

212(1n)nn2n

2n12.

1222

16．(1)y1

(2)证明见解析

1

【详解】（1）当a1时，fxlnx，

x

11x1

所以fx的定义域为0,，f11，fx，

x2xx2

所以f10，即在点1,1处的切线斜率为0.

由点斜式可知曲线yfx在点1,f1处的切线方程为y10，即y1.

aa1xa

（2）由fxlnx知fx的定义域为0,，且fx.

xx2xx2

xa

①当a0时，fx0恒成立，fx是增函数，没有极小值，不符合题意.

x2

xa

②当a0时，若x0,a，则fx0，所以fx在0,a上单调递减；

x2

xa

若xa,，则fx0，所以fx在a,上单调递增，

x2

所以fx有极小值，且极小值为fa1lna，所以ga1lna.

a1

要证gae，即1lnaea1，只需证ea11lna0.

1

令haea11lnaa0，则haea1，

a

1

由复合函数的单调性知haea1在0,上单调递增，

a

1

又h1e110，

1

所以当a0,1时，ha0，ha单调递减；

当a1,时，ha0，ha单调递增，

所以haea11lnaa0在a1时取得极小值，也是最小值，

所以hah1e111ln10，即haea11lna0，

即gaea1.

17．(1)证明见解析；

(2)15.

10

【详解】（1）连接DA，EA，DA11，AA12，DA1A60，

由余弦定理可得DA1222212cos603.

222

满足DADA1AA1，所以DADA1，即DAAB.

因为平面ABB1A1平面ABC，且交线为AB，由DAAB，DA平面ABB1A1，得DA平面ABC.

由BC平面ABC，得DABC，DAAC.

因为DEBC，DADED，且DA，DE平面DAE，

所以BC平面DAE.由AE平面DAE，得BCAE.

设BEt，CE3t，有BA2t2AC2(3t)2，解得：t1，即BE1.

所以BC4，满足BA2AC2BC2，即ACAB.

又因为DAAC，DAABA，且DA，AB平面ABB1A1，

所以AC平面ABB1A1.

由BB1平面ABB1A1，得ACBB1.

（2）以A为坐标原点，AB,AC,AD分别为x,y,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.

33

，，，

D0,0,3E,,0A11,0,3

22

53

，.

DA11,0,0EA1,,3

22

设平面DEA1的法向量nx,y,z，

x0

nDA10

由，即53，

nEA10xy3z0

22

取z1，得到平面PBD的一个法向量n0,2,1.

又BB1AA11,0,3，

设直线BB1与平面DEA1所成角的大小为，

nBB1315

则.

sincosn,BB1

nBB15410

15

所以直线BB1与平面DEA1所成角的正弦值为.

10

x2

18．(1)y21

4

(2)（i）证明见解析；（ii）是定值，23

【详解】（1）因为点E的坐标为1,0，且E为OB的中点，

所以B2,0，即a2.

c3

又离心率e，所以c3，

a2

所以b2a2c2431，

x2

所以椭圆G的方程为y21.

4

（2）（i）因为直线l过点E1,0，可设直线l的方程为xmy1，Cx1,y1,Dx2,y2，

2

x2

y122

由4消去x得4my2my30.

xmy1

22m3

所以Δ2m44m2316m2480，yy,yy.

124m2124m2

因为直线BC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，

y1y2

所以k1,k2，

x12x22

y1y2y1y2

所以k1k2.，

x12x22x12x22

2m3

将xmy1，yy,yy代入得

124m2124m2

y1y2y1y2y1y2

2

my112my212my11my21my1y2my1y21

3

23

4m，

32m

m2m14

4m24m2

3

即kk为定值.

124

（ii）是定值.

y

1

因为A2,0，Cx1,y1,由两点式可得直线AC的方程为yx2；

x12

y2

因为B2,0，Dx2,y2，由两点式可得直线BD的方程为yx2.

x22

y1y2

因为直线AC，BD交于点M，所以xM2xM2，

x12x22

y1y2

将xmy1代入得xM2xM2，

my13my21

4my1y22y16y2

整理得xM.

3y2y1

2m33

由yy,yy得my1y2y1y2，

124m2124m22

3

4y1y22y16y2

所以4my1y22y16y22.

xM4

3y2y13y2y1

yy

同理，直线AD的方程为y2x2，直线BC的方程为y1x2，

x22x12

3

4y1y22y26y1

联立可解得4my1y22y26y12，

xN4

3y1y23y1y2

因此M4,yM,N4,yN，所以直线MN垂直于x轴，

yMyNyy

以MN为直径的圆的圆心为4,，半径rMN，

22

22

2yyyMyN

所以圆的方程为x4yMN，

22

22

2yy

令y0，可得MNyMyN.

x4yMyN

22

y6y6y

111

将xM4代入直线AC的方程yx2得yM，

x12x12my13

6y2

同理得yN.

my23

6y16y236y1y2

则yMyN2.

my13my23my1y23my1y29

3

36

2m32

将yy,yy代入得yy4m3，

122122MN32m

4m4mm23m9

4m24m2

2

所以x4yMyN3，解得x43，

故弦长为434323，是定值，

即以MN为直径的圆被x轴所截得的弦长是定值，为23.

19．(1)分布列见解析

239

(2)（i）,；（ii）

5550

1

【详解】（1）当第一周需求量为0时，X2，此情况概率为P；

2010

3

当第一周需求量为1时，X211，此情况概率为P；

215

1

当第一周需求量为2时，X2222，此情况概率为P；

225

1

当第一周需求量为3时，因为供给量只有2份，全部领完，X2222，此情况概率为P；

2